張湛，汪洋堃，張峰

（1.中國電力工程顧問集團中南電力設(shè)計院，武漢　430071；2.上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上?！?00240）

一種遞推改進的DFT同步相量測量方法的特性分析

張湛1，汪洋堃2，張峰2

（1.中國電力工程顧問集團中南電力設(shè)計院，武漢430071；2.上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上海200240）

針對傳統(tǒng)離散傅里葉變換（DFT）測量算法提出改進方案，以減小電網(wǎng)頻率波動時不同步采樣造成的測量計算誤差。運用采樣點函數(shù)的遞推關(guān)系構(gòu)建特征值方程，選擇數(shù)據(jù)點數(shù)可變的采樣數(shù)據(jù)窗，削弱因系統(tǒng)頻率偏移造成的周期截斷誤差，推導(dǎo)出了遞推改進的同步相量計算公式。在基頻額定值偏移量分別為定值、正弦量、線性函數(shù)值、隨機數(shù)等情況下進行測試，相比傳統(tǒng)DFT算法，改進算法的相角和幅值測量精度均有顯著提升。在此基礎(chǔ)上研究了采樣頻率和采樣策略對算法性能的影響，以及算法對含有諧波信號的應(yīng)用效果。試驗結(jié)果表明，改進的DFT算法的計算精度和實時性均明顯提高。

同步相量測量；離散傅里葉變換；誤差；定頻率采樣

0　引言

同步相量可以反映電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)狀況和動態(tài)行為，在電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)監(jiān)測、暫態(tài)穩(wěn)定預(yù)測和線路故障定位等領(lǐng)域的區(qū)域穩(wěn)定控制、發(fā)電機勵磁控制、系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析和系統(tǒng)自適應(yīng)失步保護等方面發(fā)揮著重要作用［1］，為電力系統(tǒng)運行狀態(tài)的判斷提供重要依據(jù)。同步相量測量是電力系統(tǒng)廣域測量的重要基礎(chǔ)技術(shù)之一，在電力系統(tǒng)的監(jiān)測、保護和控制方面有廣泛應(yīng)用，有助于保證大電網(wǎng)的安全、穩(wěn)定控制，測量的同步性、準確性、實時性是廣域動態(tài)信號測量技術(shù)的基礎(chǔ)和核心。

傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)采集與監(jiān)視控制（SCADA）系統(tǒng)著力于電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)監(jiān)測和控制，測量電壓、電流幅值等穩(wěn)態(tài)參量并進行相應(yīng)的潮流計算與分析，但不能對網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)變化及時做出判別和響應(yīng)。而傳統(tǒng)的微機繼電保護裝置、故障錄波器等故障監(jiān)測保護裝置，由于沒有全網(wǎng)統(tǒng)一時標而缺乏數(shù)據(jù)同步性［2］。

現(xiàn)代同步相量測量裝置（PMU）用于測量帶有精確時標的電壓相量，包括頻率、幅值和相角3個重要參數(shù)［2］。研究有效的同步相量測量算法，對提高廣域網(wǎng)的魯棒性有重要意義。同步相量的測量精度和運算量是評價PMU算法性能優(yōu)劣的重要指標，也是同步相量測量技術(shù)的重點。

同步相量測量的誤差來源主要有：同步脈沖的系統(tǒng)誤差，如同步信號傳輸時延、程序運算處理消耗時間等；測量裝置的硬件電路誤差，如電壓電流互感器、輸電纜、濾波器的相位延遲等；測量算法軟件誤差，如網(wǎng)絡(luò)實時頻率追蹤誤差、浮點處理策略原理性誤差等。其中硬件誤差可以通過提高設(shè)備的性能來減小，軟件算法誤差需要提出更優(yōu)化的測量算法來逼近真實值。常用的同步相量測量算法有過零檢測法、離散傅里葉變換（DFT）法、最小二乘法、卡爾曼濾波法和牛頓法等［3］。其中DFT算法因原理簡明、易于硬件實現(xiàn)、可抑制諧波等特點［4］，成為同步相量測量的基本算法，各國學(xué)者在其基礎(chǔ)上結(jié)合不同技術(shù)方法，提出了GPS鎖相技術(shù)算法、加窗修正算法、一階泰勒模型修正法等，用硬件或軟件同步法對其進行改進優(yōu)化［5］，以獲得更為準確的測量結(jié)果。

采用DFT算法計算同步相量方便快捷，但當(dāng)電力系統(tǒng)頻率偏離額定值時，采樣頻率與基波頻率不同步，會造成頻譜泄漏，進而帶來測量誤差［6］。

本文針對傳統(tǒng)DFT測量算法提出分析和改進方案，以減小電網(wǎng)頻率波動時不同步采樣造成的測量計算誤差，提升頻率和相角的測量精度，并在此基礎(chǔ)上提出迭代遞推傅里葉算法，以減小算法的運算量。

1　傳統(tǒng)DFT同步相量測量算法及改進

1.1傳統(tǒng)DFT同步相量測量方法的誤差分析

電網(wǎng)頻率質(zhì)量的標準，如GB/T15945—1995《電能質(zhì)量電力系統(tǒng)頻率允許偏差》和《全國供用電規(guī)則》規(guī)定：電力系統(tǒng)頻率偏差允許值為±0.2 Hz，電網(wǎng)裝機容量在3000MW以下的，頻率偏差允許浮動范圍為±0.5Hz。當(dāng)采樣頻率不是系統(tǒng)頻率的整數(shù)倍時，單位采樣窗采集的信號點多于或少于單位周期范圍，因而使得相鄰周期的能量多于或少于單位周期能量，即發(fā)生頻譜泄漏［6］。減小這種測量誤差的根本辦法是盡可能精確地追蹤系統(tǒng)實時頻率，使采樣頻率與系統(tǒng)頻率成整數(shù)倍頻關(guān)系，即同步關(guān)系。由式fs=Nf，可以選定采樣窗數(shù)據(jù)點數(shù)，依電網(wǎng)頻率改變采樣頻率；也可以選定采樣頻率，依電網(wǎng)頻率改變采樣窗寬。由于實時改變PMU設(shè)置的采樣頻率時會有較大的硬件誤差，本文選擇變窗寬的定頻采樣進行算法優(yōu)化研究。

1.2改進算法原理

改進的DFT算法考慮實際電力系統(tǒng)動態(tài)變化，將頻率偏移造成的計算誤差考慮到新算法中，設(shè)定變量進行代換推導(dǎo)，得到前后數(shù)據(jù)窗之間的關(guān)系，推導(dǎo)簡要過程如下。

解該方程得到更新后的特征值q，代入式（12）、式（13）得到更新后的XR_new，XI_new。因此，改進算法的幅值、相角計算公式如式（15）、式（16）所示

式中：φ（f0）為基頻旋轉(zhuǎn)因子產(chǎn)生的相角。

改進DFT算法保留了原DFT算法的優(yōu)點，同時考慮電力系統(tǒng)在頻率偏移情況下的誤差原因，構(gòu)建兩部分函數(shù)遞推規(guī)則，通過考察相鄰采樣點間的遞推關(guān)系，推導(dǎo)出了幅值、相角計算公式，在一定程度上提高了精度，同時還保證了工程實踐中實時性的要求。

2　改進算法的性能提升

運用DFT算法進行相量計算時至少需要一個采樣周期的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)采集周期較長，且隨著采樣點數(shù)的增加，計算量顯著增加［7］。本文利用迭代遞推算法對原數(shù)據(jù)窗口計算的相量值進行修正，采樣數(shù)據(jù)窗口中的采樣值計算與修正同步進行。遞推算法是針對單次諧波的提取，使算法的計算量進一步減少，提高算法的實時性［8］，實現(xiàn)單次諧波的在線實時跟蹤。

具體步驟為：對采樣得到的數(shù)據(jù)x（n）（n=0，1，…，N-1）利用離散傅里葉變換定義可以得到k（k=0，1，…，N-1）次諧波分量為

對于后移一個采樣點的采樣數(shù)據(jù)，同樣可以得到以下展開式

觀察式（19），提升后的測量算法是由X（k）來計算相量值后移一個采樣點的傅里葉變換X′（k），只需1次復(fù)數(shù)加法、2次復(fù)數(shù)乘法和1次實數(shù)加法便可得到結(jié)果。采用迭代遞推DFT算法計算新相量時，用傳統(tǒng)算法的兩個采樣值進行加乘運算，依次迭代即可求得更新后的相量，大大減小了計算量。

該迭代遞推算法計算出的相量，電網(wǎng)頻率穩(wěn)定時在復(fù)數(shù)坐標軸上是一個固定的相量，系統(tǒng)頻率發(fā)生變化時，在相量定值左右以一定角度擺動。

提升性能的改進算法具有明顯的優(yōu)勢：首先，計算量不隨采樣點的增加而提高，且隨著數(shù)據(jù)窗內(nèi)采樣點的增加，迭代遞推算法的高效性和優(yōu)越性更為突出；其次，能夠?qū)崿F(xiàn)基波、各次諧波的傅里葉變換，不必對采樣周期加以限制，可從任意點開始進行傅里葉變換；另外，算法采用迭代遞推方式，適用于單次諧波的在線跟蹤。

3　本文算法的仿真結(jié)果與分析

仿真中取電壓信號為x（t）=Ucos（2πft+φ0），基波額定頻率f0=50Hz，基波頻率波動量為Δf，電壓幅值U=5V，初相角φ0=30°。

3.1基頻按不同情況波動時的測量效果

Q/GDW131—2006《電力系統(tǒng)實時動態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)技術(shù)規(guī)范》中，PMU的采樣頻率是常量。由式fs=N（k）f選定采樣頻率fs，隨著電網(wǎng)實際頻率的改變，所加數(shù)據(jù)窗寬不同，但此時N（k）=fs/f很大概率上不是整數(shù)，四舍五入取整使得該方法的計算結(jié)果仍有一定誤差。

本文算法在遞推公式的基礎(chǔ)上選擇數(shù)據(jù)點數(shù)可變的采樣數(shù)據(jù)窗（即定頻變窗寬采樣），進行同步相量測量。實驗中當(dāng)基頻額定值偏移量Δf分別為定值、正弦量、線性函數(shù)值、隨機數(shù)等情況時，以采樣頻率fs=3.2kHz為例，運用本文提出的遞推改進的DFT算法計算電壓同步相量的幅值和相角，并與傳統(tǒng)DFT算法進行比較，如圖1～圖4所示。

圖1　Δf=-0.5Hz時定采樣頻率基波同步相量計算結(jié)果比較

圖1～圖4對比了Δf=-0.5，0.5cos（2π×50t+ 30°），0.5-50t，rand（-0.5，0.5）Hz時改進算法在定采樣頻率變窗寬情況下的測試結(jié)果。各頻率偏移情況下的測量誤差見表1。

圖2　Δf=0.5cos（2π×50t+30°）Hz時定窗寬基波同步相量計算結(jié)果比較

圖3　Δf=（0.5-50t）Hz時定窗寬基波同步相量計算結(jié)果比較

圖4　Δf=rand（-0.5，0.5）Hz時定窗寬基波同步相量計算結(jié)果比較

最大誤差反映算法在極端情況下的特性，平均誤差反映算法的常態(tài)和普遍特性。觀察表1可以發(fā)現(xiàn)，在同一采樣頻率、不同基頻波動情況下，本文算法測得的幅值和相位最大誤差均小于傳統(tǒng)DFT法。比較平均誤差，本文算法計算的相角誤差比傳統(tǒng)DFT法有量級上的顯著提升；除了基頻波動按正弦波動的情況，其他多數(shù)情況下本文算法的幅值測量效果也有較大的改進。

表1　本文算法與傳統(tǒng)DFT算法在不同基頻額定值偏移下的測量結(jié)果對比

3.2采樣頻率對算法的影響

穩(wěn)態(tài)下電力系統(tǒng)頻率波動輕微且波動規(guī)律不明顯，接近隨機變化。本文模擬當(dāng)頻率小幅度隨機變化時，本文算法與傳統(tǒng)DFT算法在不同采樣頻率下的相量測量情況，見表2。

分析表2可得到以下結(jié)論。

（1）在各個采樣頻率下，本文算法相比傳統(tǒng)DFT算法，測量精度均有量級的提升，是對傳統(tǒng)方法的顯著改進。

（2）隨著采樣頻率的增加，兩種方法的幅值、相位測量誤差（用平均誤差來衡量）均呈減小趨勢。其原因在于，采樣頻率的增加減小了窗寬N=［fs/f］取整引起的誤差，進而更大限度減小了非完整周波采樣造成的能量泄漏。

表2　Δf=rand（-0.5，0.5）Hz時不同采樣頻率下兩種算法的誤差對比

（3）對于幅值測量，兩種方法的測量精度均較高。采樣頻率的提高對相角的測量精度提升較大，且本文算法的相角測量精度提升效果更加明顯。

（4）本文算法在更高的采樣頻率下計算結(jié)果更準確，應(yīng)根據(jù)實際的測量精度要求和硬件成本，選擇適當(dāng)?shù)牟蓸宇l率來進行同步相量測量。

3.3不同采樣策略的效果比較

如果將采樣策略改為按實際頻率實時變化采樣頻率，即fs（k）=Nf，采取定窗寬變采樣頻率的方法對信號進行采樣，可以克服可變窗寬方法中采樣頻率非整數(shù)倍頻的問題。在Δf=rand（-0.5，0.5）Hz時，定頻采樣和定窗寬采樣策略在不同采樣頻率等級下的同步相量測量精度對比見表3。

表3　定頻變窗寬與定窗寬變頻采樣的測量效果對比

表3中，將定采樣頻率可變窗寬法和定窗寬變采樣頻率法簡稱為定頻變窗寬和定窗寬變頻。其中，組1是定頻變窗寬時fs=3.2kHz和定窗寬變采樣頻率時N=64設(shè)置下計算的同步相量的誤差；組2和組3分別為fs=16.0kHz，N=320和fs=32.0 kHz，N=640時兩種采樣策略下的計算精度比較。各組試驗的采樣頻率等級接近。

由表3可以看出，用平均誤差來衡量，隨著采樣頻率的提升，兩種采樣策略的計算精度提高，且對定窗寬法的提升效果更顯著。在相近的采樣等級下，fs=3.2kHz，N=64時，定頻變窗寬法的計算精度優(yōu)于定窗寬變頻法；fs=16.0kHz，N=320時，兩種采樣策略的計算效果接近，定頻變窗寬法略有優(yōu)勢；fs=32.0kHz，N=640時，兩種方法的幅值測量精度都滿足系統(tǒng)標準要求，定窗寬變頻法的相角計算結(jié)果更準確。此外，數(shù)據(jù)統(tǒng)計表明，兩種采樣策略的計算精度都優(yōu)于同樣采樣等級下傳統(tǒng)DFT算法的測量效果。

但是，實時變化的采樣頻率對頻率追蹤算法精度和實時性有極高要求，在實現(xiàn)時改變PMU設(shè)置的采樣頻率會有較大的硬件誤差。在一般應(yīng)用場合，定頻變窗寬法的應(yīng)用效果可以滿足系統(tǒng)要求。此外，現(xiàn)行Q/GDW1311—2014《電力系統(tǒng)實時動態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)技術(shù)規(guī)范》中，PMU采樣頻率是常量［9］，綜合考慮應(yīng)用成本和可實現(xiàn)性，本文選取定采樣頻率可變窗寬法進行相量測量。

3.4對含諧波的信號進行測試與分析

實際信號中混有高次諧波的同時，頻率在一定范圍內(nèi)隨機浮動，這對算法的性能要求較高。從圖5可以看出，本文算法對頻率波動反應(yīng)靈敏，相量幅值和相角計算比傳統(tǒng)DFT算法更接近真實值。表4為該種信號在基頻隨機波動時，不同采樣頻率下傳統(tǒng)DFT算法與本文算法的測量誤差對比。

圖5　含諧波待測信號在Δf=rand（-0.5，0.5）Hz時同步相量測量結(jié)果比較

表4　含諧波的信號在Δf=rand（-0.5，0.5）Hz時，兩種算法的測量誤差對比

以上仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)信號發(fā)生小幅度頻偏且信號中存在諧波及頻率波動的干擾狀態(tài)下，本算法的總相量誤差指標較小，說明了本文算法精度高、抗干擾性較強。

由表4和圖5可以看出，遞推改進的DFT算法的計算精度和實時性均明顯提高，可滿足工程應(yīng)用的要求。

4　結(jié)論

本文針對電力系統(tǒng)頻率偏移時不同步采樣造成的周期截斷誤差，提出遞推改進的DFT同步相量測量算法，選擇數(shù)據(jù)點數(shù)可變的采樣數(shù)據(jù)窗，構(gòu)建了采樣點傅里葉變換各部分函數(shù)的遞推關(guān)系，通過相鄰采樣點構(gòu)建的遞推方程解出算法特征值，推導(dǎo)出了改進的幅值、相角計算公式。

（1）用基頻額定值偏移量為定值、正弦量、線性函數(shù)值、隨機數(shù)等算例分別測試算法，研究了當(dāng)基頻在一定范圍內(nèi)隨機波動時，采樣頻率和不同采樣策略對算法性能的影響，以及算法在含諧波信號的應(yīng)用效果。通過比較，發(fā)現(xiàn)隨著采樣頻率的增加，本文算法的測量精度提升。

（2）相比定窗寬變頻采樣策略，本文算法在應(yīng)用成本和可實現(xiàn)性方面有一定優(yōu)勢，相比傳統(tǒng)DFT算法，幅值和相位測量精度有量級的提升，對準確求取同步相量具有一定的實際意義。

（3）本文的迭代遞推算法對數(shù)據(jù)窗口采樣值的計算與修正同步進行，計算量小于改進前的算法，可以應(yīng)用于實時、高采樣頻率場合。

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［9］電力系統(tǒng)實時動態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)技術(shù)規(guī)范：Q/GDW1311—2014［S］.

（本文責(zé)編：劉芳）

TM76

A

1674-1951（2016）09-0013-07

2016-04-06；

2016-07-26

張湛（1966—），男，江蘇溧陽人，工程師，從事電力系統(tǒng)設(shè)計和電力系統(tǒng)智能技術(shù)等方面的研究（E-mail：zhangzhan @csepdi.com）。

汪洋堃（1990—），女，河南洛陽人，在讀博士研究生，從事故障電弧檢測技術(shù)、信號處理算法優(yōu)化等方面的研究（E-mail：queen_wang@sjtu.edu.cn）。

張峰（1968—），男，江蘇溧陽人，教授，博士生導(dǎo)師，工學(xué)博士，從事電工理論與新技術(shù)、故障診斷與檢測技術(shù)、現(xiàn)代軌道交通技術(shù)等方面的研究（E-mail：fzhang@sjtu.edu.cn）。