韋民紅，李素文，朱旋，竇德召，邵芬

（淮北師范大學物理與電子信息學院，安徽淮北235000）

現(xiàn)代控制理論的教學探討

韋民紅，李素文，朱旋，竇德召，邵芬

（淮北師范大學物理與電子信息學院，安徽淮北235000）

從現(xiàn)代控制理論研究的特點和面臨的問題出發(fā)，研究如何運用對照和比較、計算機技術、多種考核方式以及互動教學等多種教學方法，將抽象的東西變得容易接受，提高學生的學習興趣和積極性，從而提高現(xiàn)代控制理論這門課的教學效果.

能控；能觀；現(xiàn)代控制；教學方法

0 引言

現(xiàn)代控制理論是以狀態(tài)空間法為主，研究系統(tǒng)狀態(tài)的運動規(guī)律，并按所要求的各種指標最優(yōu)為目標來改變這種運動規(guī)律的一門專業(yè)基礎課程，也是“自動控制原理”的后續(xù)課程，它使用的數(shù)學工具主要是線性代數(shù)、矩陣理論等.現(xiàn)代控制理論的分析設計有別于傳統(tǒng)的單輸入單輸出系統(tǒng)的分析設計，它的目的在于掌握現(xiàn)代控制理論和基本方法，以便進行復雜的多輸出多輸入系統(tǒng)的分析和設計，同時為進一步學習其他相關課程打下基礎.我校在大三下學期開設這門課程，教材采用由天津大學劉豹等主編的現(xiàn)代控制理論第3版，本課程具有跨學科、數(shù)學公式多、數(shù)學推導煩瑣、難以理解等特點［1］.如何激發(fā)學生對課程的學習興趣和提高學生的創(chuàng)新能力，是探討的重點問題.

1 教學探討

1.1 對照和比較的引入

由于學生在前期已經(jīng)學習過自動控制理論、信號與系統(tǒng)等課程的學習，這里將經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論加以對照和比較，信號與系統(tǒng)中拉氏變換與Z變換的對照和比較，分析它們的不同與聯(lián)系，這樣有助于學生對現(xiàn)代控制理論課程的學習和理解.

例如：對于控制系統(tǒng)的處理，論是經(jīng)典控制理論還是現(xiàn)代控制理論，都需要進行數(shù)學建模，都可以建立高階微分方程作為控制系統(tǒng)的模型，如式（1）所示，然而它們又有所區(qū)別，經(jīng)典控制理論由微分方程得到傳遞函數(shù)模型，如式（2）所示，它只適用于單輸入單輸出模型，而現(xiàn)代控制理論不僅可以用于單輸入單輸出模型，而且多應用于多輸入多輸出模型，它建立的是狀態(tài)空間表達式，如式（3）所示.接著它們都需要對所建立的模型進行求解，這些分析過程基本一致.經(jīng)典控制理論使用的數(shù)學工具主要是拉氏變換、Z變換，而現(xiàn)代控制理論使用的數(shù)學工具主要是線性代數(shù)和矩陣理論，需要學生有較強的數(shù)學功底.

再例如：對于連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣的求取，可以采用信號與系統(tǒng)的拉氏變換，，如式（4）所示；而對于離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣的求取，則采用Z變換，如式（5）所示.二者在形式上有著很大的相似性，通過這樣的對照和比較可以加深學生對新知識的印象，從而提高學生的理解，提高課堂教學的效率.同樣，對于講解時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣的性質時，可以結合定常系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的性質加以對照比較描述，把逗號“，”換成減號“—”加以記憶，這樣以來，學生就更容易學習這些性質，有助于學習效率的提高.

1.2 計算機軟件的引入

現(xiàn)代數(shù)學及計算機技術的快速發(fā)展為現(xiàn)代控制理論的應用提供一個強大的平臺，為培養(yǎng)學生的綜合分析能力，提高學生對內容抽象、理論性強、不容易理解的現(xiàn)代控制理論課程的學習，利用MATLAB強大的計算功能，可以容易地建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式、進行能控能觀性的判別、結構分解、狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器的設計以及零極點配置，還能分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并巧妙地繪制相應的響應曲線，動態(tài)地演示這些曲線，使得整個教學過程緊湊、連貫和直觀.將MATLAB實時仿真分析的這些環(huán)節(jié)引入到課堂教學中，這樣可以從知識點演示、實時仿真示范等方面，進行全方位的多媒體教學，從而提高學生的學習興趣，提高學習效率和教學效果［2］.

1.2.1 系統(tǒng)的能控能觀性

設線性系統(tǒng)的動態(tài)方程為｛x′=Ax+Buy=Cx+Du，式中A、B、C、D分別為（n×n）維、（n×p）維、（q×n）維、（q×p）維常數(shù)矩陣.

線性系統(tǒng)的能控性與可能觀性是現(xiàn)代控制理論課程的重要內容之一，判斷控制系統(tǒng)的能控性主要有兩種方法，一種是將一般的狀態(tài)空間表達式通過線性變換，變換成約旦標準型，繼而對B矩陣中是否存在全零行和全零行的位置加以判斷，另一種則是通過秩判別方法進行判別，定理有：系統(tǒng)完全可控的條件是下列（n×np）維可控性矩陣的秩為n，如式（6），系統(tǒng)完全可觀的條件是下列（nq×n）維可觀性矩陣的秩為n，如式（7）.

對于單輸入-單輸出系統(tǒng)還可以通過傳遞函數(shù)是否存在零極點對消，來判斷系統(tǒng)的能控性.這些判斷方法中，第二種方法是經(jīng)典的判斷方法，但是由式（6）可以看出，當系統(tǒng)的維數(shù)增加，或是對于多輸入-多輸出系統(tǒng)，矩陣的計算將是非常麻煩的，這時借助于計算機手段進行判斷是非常容易的.

例如：有一線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程

可以看出，這里的A矩陣是4維的，B矩陣是（4×2），由式（6）判斷其能控性，計算起來是非常麻煩的，而用MATLAB函數(shù)命令ctrb（）驗算式（6）則是非常簡單的，函數(shù)obsv（）驗算式（7）則是非常簡單的，而通常MATLAB的這類程序是固定的，只需將矩陣數(shù)值改變，直接套用即可，所以用MATLAB程序實現(xiàn)系統(tǒng)能控、能觀性的判斷是相當容易、方便的.

輸入程序，運行結果顯示：

由運行結果很容易看出系統(tǒng)是能控且能觀的.

1.2.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性

在經(jīng)典控制理論中，主要有勞斯（Routh）判據(jù)和胡維茨（Hurwitz）判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，奈奎斯特（H.Nyquist）判據(jù)不僅可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性.但是它們不能適用于非線性和時變系統(tǒng)［3］.

1892年，俄國數(shù)學家李雅普諾夫（Lyapunov）提出Lyapunov分析方法對系統(tǒng)判穩(wěn).主要有Lyapunov第一法和第二法.第一法主要是通過解微分方程或求解系統(tǒng)的特征值來進行判穩(wěn).第二法主要是通過構造Lyapunov函數(shù)并判定其正定性來進行系統(tǒng)的判穩(wěn).尤其是第二法，特別適用于非線性和時變系統(tǒng)的判穩(wěn)［3］.

例如：有一線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程

利用Lyapunov第一法，執(zhí)行下述程序可以求出系統(tǒng)矩陣A的特征值d.

運行結果顯示：

由運行結果可以看出，d的實部有大于零的，由Lyapunov第一法可以判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定.執(zhí)行MATLAB函數(shù)命step（），可以得到系統(tǒng)階躍響應曲線，如圖1所示：

＞＞step（A，B，C，D）

圖1 系統(tǒng)階躍響應曲線

由圖1的階躍響應曲線的發(fā)散，可以直觀地看出這個雙輸入-雙輸出系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.利用Lyapunov第二法，執(zhí)行程序如下所示：

運行結果顯示：

由運行結果可以看出，系統(tǒng)不是李雅普諾夫穩(wěn)定.

由以上分析可見，用Matlab進行對系統(tǒng)的能控性、能觀性以及穩(wěn)定性的判別，只需要套用固定的程序，即可直觀、方便地進行判別和分析，對問題地闡述更深入淺出，從而提高學生的興趣，提高教學效果.

1.3 其它

現(xiàn)代控制理論課程為純理論課程，內容相對抽象枯燥，涉及的線性代數(shù)知識較多，如果前期學生的線性代數(shù)基礎沒有打好，或是這些知識已經(jīng)忘記，就會感覺課程內容不易掌握和理解，從而導致學生的學習積極性下降，出現(xiàn)學生聽課不認真、作業(yè)不會做或是抄襲的現(xiàn)象，再加上課程本身為考查課，教師和學生的重視程度不夠，學生不愿意在課后花時間復習線性代數(shù)中的知識，如果教師不在課堂上把這些知識鞏固一下，就會出現(xiàn)教學效果不理想的現(xiàn)象.為了改善這種局面，教師首先必須改變學生的學習態(tài)度，使他們更加重視這門課的學習.

首先，采用不同的考核方式，適當降低試卷分數(shù)在考核中所占的比重，可以加大課堂提問環(huán)節(jié)及論文書寫方面在考核中的比重，通過提問，鼓勵學生們參與，通過寫相關論文，讓同學們寫出自己對現(xiàn)代控制理論這門課的理解及感悟，從而提高學生的積極性.

其次，在課堂講解中不斷穿插所用到的數(shù)學知識，將一些不易掌握和理解、枯燥無味的理論問題引入到相似的實際例子中加以講解說明，通過習題講解，對問題的闡述，做到深入淺出，從而提高學生的學習興趣.

最后，可以通過建立相應的學習群，加強學生與老師的課外互動，制作課外作品，開展相關競賽.適時的進行一些相關最新報道，鼓勵學生報考控制相關的研究生，及參加相關的數(shù)學建模大賽.總之，將現(xiàn)代控制理論與實際應用能力相結合，才能充分調動學生的學習積極性，從而提高這門課的教學效果［4］.

2 結束語

將現(xiàn)代控制理論的教學大綱中要求教學內容與筆者多年的教學經(jīng)驗相結合，分析現(xiàn)代控制理論這門課程教學中存在的問題，探討解決的辦法及改革措施，為培養(yǎng)優(yōu)良的應用型復合人才做出努力.

［1］程啟明，薛陽，賈再一，等.“現(xiàn)代控制理論”課程教學改革的思考與探索［J］.中國電力教育，2013，30（10）：59-64.

［2］周蘭，周少武.Matlab數(shù)字仿真在現(xiàn)代控制理論教學中的應用［J］.當代教育理論與實踐，2014，6（5）：104-106.

［3］劉豹，唐萬生.現(xiàn)代控制理論［M］.3版.北京：機械工業(yè)出版社，2006.

［4］肖小慶，周磊.現(xiàn)代控制理論教學改革研究［J］.高師理科學刊，2014，34（5）：101-104.

Research on the Teaching Method of Modern Control Theory

WEI Minhong，LI Suwen，ZHU Xuan，DOU Dezhao，SHAO Fen
（School of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

Considering the characteristics and the problems of modern control theory research，the paper mainly researches how to use contrast and comparison，the computer technology，multiple evaluation meth?ods as well as the interactive teaching to make the abstract things easier to accept and to improve the stu?dents′learning interest and enthusiasm，thus the teaching effect of the modern control theory can be im?proved.

controllability；observability；modern control；teaching method

G 642

C

2095-0691（2016）03-0092-05

2016-04-08

安徽高校省級自然科學研究重點項目（KJ2015A069）；淮北師范大學重點教研項目（jy14120）

韋民紅（1978-），女，安徽淮北人，博士，副教授，主要研究領域為控制工程與科學.