蘇煥程，張　君，程良平，程亦涵，冷　魁

(中國航天科工集團8511研究所，江蘇 南京 210007)

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·工程應用·

一種基于余數周期的PRI精確估計算法

蘇煥程，張君，程良平，程亦涵，冷魁

(中國航天科工集團8511研究所，江蘇 南京 210007)

針對傳統脈沖重復間隔(PRI)分選算法在估計PRI方面存在的不足，提出了一種對PRI周期信號的周期進行精確估計的算法。該算法首先從待分選脈沖序列中提取出屬于一部雷達的脈沖樣本，然后利用同余方程的余數周期性質對該雷達脈沖序列的PRI進行精確的估計。相對于傳統的PRI估計算法，該算法有效地消除了TOA量化誤差對PRI估計造成的影響，可以精確地估計出雷達脈沖序列的準確PRI數值，從而能夠更好地滿足信號分選算法的處理需求。理論推導及仿真實驗均表明了該算法的有效性。

信號分選；脈沖重復間隔；余數周期；量化誤差

0　引言

傳統的PRI分選算法的處理流程可分為脈沖重復間隔(PRI)估計和脈沖序列抽取兩部分[1-2]，即先通過PRI估計得到一個可能的雷達輻射源PRI，再以該可能的PRI為參考對脈沖序列進行抽取，從而實現對雷達輻射源的分選。目前的研究重點基本都集中在對PRI的快速、準確的估計上，這是由于如果不能準確地估計出PRI，則后續(xù)的脈沖序列抽取會出現抽取錯誤、抽取不徹底以及脈沖斷裂[3]等問題，最終導致信號分選失敗、或者雷達輻射源參數估計不準。

傳統的PRI估計算法的處理流程可以分為PRI粗估計和PRI精估計兩部分，PRI粗估計是在沒有成功匹配到任何脈沖之前，對原始脈沖序列進行首次處理后得到一個可能的PRI，而這個PRI往往與真實PRI之間存在較大偏差，但是可以基本滿足接下來脈沖序列抽取的要求，例如經典的統計直方圖法、累積差值直方圖法(CDIF)、序列差值直方圖法(SDIF)、PRI變換法及其改進算法等[4]；而PRI精估計則是在PRI粗估計的基礎上再次進行的估計，它通常建立在已經成功抽取得到的部分脈沖序列的基礎上，故往往可以得到比PRI粗估計更好的精度，例如算術平均法[5]、最小鄰聚類法、最佳擬合直線法[6]等。但是以上PRI精估計算法都沒有考慮到雷達截獲系統由于自身TOA量化精度對PRI測量造成的影響，導致估計得到的PRI不能消除量化誤差。該量化誤差在脈沖序列抽取過程中被不斷累積放大，導致出現脈沖抽取錯誤或抽取不徹底的情況。為了解決這一問題，本文提出了一種對PRI周期信號進行精確估計的算法。該算法建立在PRI粗估計的基礎上，利用同余方程的余數周期性質，對通過PRI粗估計抽取得到的部分脈沖序列進行處理，從而得到精確的PRI估計結果。與傳統的PRI精估計算法相比，該算法可以有效地消除雷達截獲系統TOA量化誤差對PRI估計結果產生的影響，并且可以大幅度減少PRI精估計所需要的算法運算量。本文提出的算法適用于重頻固定、重頻參差以及重頻組變等重復周期變化相對固定的雷達輻射源信號。

1　相關算法

PRI粗估計算法的估計結果通常偏差較大，需要依靠PRI精估計進行再次修正，故本文只對傳統的PRI精估計算法的原理進行分析。

假定雷達截獲系統輸出到內部信號分選模塊的脈沖序列的TOA量化精度為Δ(Δ>0)，則對于一部PRI固定為NΔ+Φ(0≤Φ<Δ，N為正整數)的雷達輻射源信號，信號分選模塊接收到的第i個脈沖(i>0)的TOA可以表示為：

(1)

式中，η是一個常數，這個值的引入是由于雷達輻射源TOA起始點的隨機性導致的。

不失一般性，假設η=0，則T(i)可表示為：

(2)

當iΦ滿足MΔ≤iΦ<(M+1)Δ，且(i+1)Φ≥(M+1)Δ時，M為非負整數，序號為i的脈沖與序號為i+1的脈沖之間的TOA滿足：

(3)

而當iΦ不滿足以上關系時，則序號為i的脈沖與序號為i+1的脈沖之間的TOA滿足：

(4)

假定不考慮雷達截獲系統的測量誤差，則完成首次脈沖抽取后，得到的脈沖序列的脈沖間隔為N或N+1，兩者的比例關系與雷達截獲系統的量化精度、雷達輻射源的實際PRI數值、具體采用的脈沖抽取方式均相關。為了便于接下來的分析，不妨假設脈沖間隔N與N+1的比例關系為L∶K，其中L、K為非負整數。

傳統的PRI精估計算法主要包括算術平均法、最小鄰聚類法以及最佳擬合直線法，下面對以上各個估計算法的估計結果進行分析。

算術平均法的原理是對脈沖序列抽取得到的脈沖計算相鄰脈沖之間的脈沖間隔，然后對計算得到的脈沖間隔求其均值。根據以上對脈沖間隔N與N+1的比例關系的假定，可以得到算術平均法的PRI精估計的結果為N+K/(L+K)。

最小鄰聚類法的原理是對脈沖序列抽取得到的脈沖計算相鄰脈沖之間的脈沖間隔，然后對計算得到的脈沖間隔進行聚類，找到最大類。對于信號分選模塊，如果類間距離大于1個量化單位，則所有的脈沖間隔將歸屬為同一個類，如果取類中心為類元素的平均值，那么最小鄰聚類法將與算術平均法等效，得到的PRI精估值結果同樣為N+K/(L+K)。

最佳擬合直線法的原理是對脈沖序列抽取得到的所有脈沖的TOA進行直線擬合，最佳擬合直線就是各個TOA點偏離該直線的偏差所構成的總偏差最小的1條直線，并以擬合后的直線兩點之間的間距作為PRI精估值。在目前提出的各個擬合算法中，對最佳擬合的定義并不一致，但擬合后的直線顯然在y=Nx與y=(N+1)x之間，且與L、K的比例關系相關，不妨設擬合后的直線為：y=(N+Ω)x，其中Ω是L、K的函數，則可以得到最佳擬合直線法的PRI精估值結果為N+Ω。

通過以上分析，我們得到了在雷達截獲系統測量誤差較小的條件下，3種傳統的PRI精估計算法的估計結果為N+K/(L+K)或N+Ω。

根據雷達截獲系統模型，雷達輻射源的實際PRI應當為N+Φ/Δ。對于算術平均法和最小鄰聚類法，要準確地估計出雷達輻射源的PRI，則必須保證K/(L+K)等于Φ/Δ；而對于最佳擬合直線法，則必須保證Ω等于Φ/Δ。然而在實際信號分選過程中，由于雷達輻射源的準確PRI是個未知數，從而導致Φ也是一個未知數，故對上述的L和K所要求的比例關系在算法層面是無法保證的。

綜上所述，傳統的PRI精估計算法得到的PRI估計結果必然與真實PRI之間存在一個偏差，不妨設為Φ′。如果信號分選模塊在進行脈沖序列抽取時以該PRI數值為參考進行脈沖抽取，且設置的匹配容差為Γ(Γ<Φ′M)，則當脈沖序列中發(fā)生連續(xù)M+1根脈沖丟失時，顯然脈沖抽取將失敗。

2　本文算法

2.1余數周期

同余方程的余數周期性是指對于同余方程an≡cn(modb)，(a、b、n為正整數,c為整數，且a>b,a、b互質)，0≤cn

如果從數列的角度來描述上述同余方程的余數周期性，那么可以建立以下定理。

定理1：對于首項等于公差的等差數列xn=na(n、a為正整數)，如果各項都對b求模(b為正整數且與a互質)，則得到的余數數列c1，c2，…，ci，…，(0≤ci

實際上，對于首項不等于公差的等差數列也具有余數數列周期循環(huán)的性質，下面證明定理2。

定理2：對于等差數列xn=d+na(n、a、d為正整數)，如果各項都對b求模(b為正整數，且與a互質)，則得到的余數數列c1，c2，…，ci，…，(0≤ci

例如，對于等差數列xn=11+100×n：111，211，…，11+100×n，…，如果該數列對7進行求模，則得到余數數列ci為：6，1，3，5，0，2，4，6，1，3，5，0，2，4，…，余數數列以6，1，3，5，0，2，4為循環(huán)節(jié)周期循環(huán)，且對于?i，滿足ci=ci+7。

2.2算法原理

在定理2的基礎上，再對雷達截獲系統輸出到內部信號分選模塊的脈沖序列進行分析。

在實際的雷達截獲系統中，由于其內部信號檢測模塊的算法處理需要，TOA的量化單位Δ不一定是一個整數，但通常可表示為分數形式的有理數，不妨記為p/q，p和q為正數，則可將(1)式轉換為：

(5)

對于內部的信號分選模塊，雷達輻射源信號的準確PRI應當是N+Φ/Δ，即N+Φq/p。

既然我們關心的是如何能精確地估計出雷達輻射源的實際PRI，則可以構造一個偏差函數：

(6)

式中，Y(n,m)=(T(n+m)-T(n))/m

(7)

顯然Ζ(n,m)的值越小，則表示與雷達輻射源信號的準確PRI越接近，其最小值為零。

不妨令m=kp，并代入(6)、(7)式，得：

(8)

(9)

式中，k為任意正整數。

根據模運算的性質，(5)式可以轉換為：

(10)

(11)

將(10)式代入(9)式，可得：

Y(n,kp)=(T(n+kp)-T(n))/p=(λ(n+kp)-λ·(n+kp)modp-λ(n)+λ(n)modp)/(kp2)

(12)

顯然，λ(i)是一個首項為ηq，公差為(Np+Φq)的等差數列。不妨假定等差數列λ(i)各項對p求模后得到的余數數列為c1，c2，…，則可得λ(n)modp=cn，λ(n+kp)modp=cn+kp。

根據定理2可知cn=cn+kp，并將(11)式代入(12)式，化簡后可得：

Y(n,kp)=(kp(Np+Φq))/(kp2)=N+Φq/p

(13)

代入(8)式，可得：Ζ(n,kp)=0

(14)

根據以上分析結果，可以得出結論：對于任意整數n，如果令m=kp，則偏差函數Ζ(n,m)=0，達到偏差函數的最小值。

通過對偏差函數的構造可知，實際上函數Y(n,m)等價于雷達輻射源的第n+m根脈沖的TOA減去第n根脈沖的TOA的差值除上m，而偏差函數表示的是Y(n,m)與真實PRI的近似程度。

根據以上分析，可以得到一個非常重要的結論：對于截獲的PRI固定的雷達輻射源脈沖序列，如果用脈沖個數間隔為整數倍量化精度分子的2個脈沖的TOA相減，并除上所間隔的脈沖個數，得到的值等于雷達輻射源的PRI數值。

2.3算法流程

在實際信號分選過程中，由于計算精度有限，導致cn=cn+kp+ξ，其中ξ是與系統計算精度相關的殘差，將其代入(12)式，化簡后可得：

Y(n,kp)=(ξ+kp(Np+Φq))/(kp2)=N+Φq/p+

ξ/(kp2)

(15)

代入(6)式得：Ζ(n,kp)=ξ/(kp2)

(16)

即得到的PRI數值與真實值之間存在一個估計殘差ξ/(kp2)，為了使這個估計殘差趨近于零，顯然k值越大越好。

基于以上分析過程，下面給出基于余數周期的PRI精確估計算法的處理流程：

Step1將雷達截獲系統輸出到信號分選模塊的脈沖序列的TOA量化精度表示為分數形式p/q；

Step2通過PRI粗估計結果，在脈沖序列中選擇2個脈沖間隔等于PRI粗估計結果的脈沖(在容差范圍內)，并標記為序號1和2，以這兩個脈沖為基準進行脈沖匹配，并記錄所有匹配成功的脈沖序號；

Step3如果匹配失敗，則以2倍的PRI粗估計結果進行匹配，如果匹配成功則以上次匹配成功的脈沖序號加2作為本次匹配成功的脈沖序號，同理進行N倍的PRI粗估計結果匹配(N可設置)；

Step4檢測匹配成功的脈沖序列，找到脈沖間隔數最大且是整數倍p的2個脈沖，將2個脈沖的TOA之差除脈沖間隔，將相除結果作為新的PRI估計結果進行匹配，并不斷重復Step4直到匹配結束；

Step5以最后一次得到的PRI估計結果作為雷達輻射源信號的PRI精確估計結果。

3　仿真結果

3.1算法有效性分析

下面對本文提出算法的有效性進行仿真驗證。

仿真信號源為一部PRI固定為1999μs的雷達輻射源信號，雷達截獲系統的TOA量化精度為11μs，不考慮系統的測量誤差。

不防假定雷達截獲系統截獲的首脈沖的TOA為341854μs，則后續(xù)截獲的脈沖序列的TOA分別為343853μs，345852μs，… ，(341854 + 1999×i)μs，經過雷達截獲系統量化后輸出到信號分選模塊的脈沖序列的TOA分別為31077，31259，31441，31622，31804，… ，341845+1999×i。

根據本文提出的算法的原理，構造一個新的偏差函數Y(i)：

Y(i)=|X(i)-1999/11|

(17)

式中，X(i)=(T(i)-341854)/(i-1)，表示的是截獲的脈沖序列第i根脈沖的TOA減去首脈沖TOA的差值再除上間隔脈沖個數。

顯然，Y(i)的數值越小，則表示X(i)與射源的真實PRI越接近，得到Y(i)函數如圖1所示。

如圖1所示，Y(i)是一個非單調函數，但是可以發(fā)現在所有i等于12，23，34，… 的點上，即滿足與首脈沖序號之差等于整數倍量化精度11的點上，函數Y(i)的值均等于零，即函數X(i)完全等價于雷達輻射源的真實PRI。

從仿真結果可以看出，本文提出的通過間隔整數倍量化精度分子數值的2個脈沖估算雷達輻射源精確的PRI的算法是有效可行的。

圖1　PRI偏差函數圖

3.2算法性能比較

下面將本文提出的算法與傳統的算術平均法、最小鄰聚類法以及最佳擬合直線法三種PRI精確估計算法的性能進行對比，如表1所示。

仿真信號源為1000部PRI固定、參差或組變的雷達輻射源信號，PRI在50μs～50ms之間隨機，首脈沖到達時間在0～10μs之間隨機，信號的持續(xù)時間為10s，雷達截獲系統的TOA量化精度在1～10μs之間隨機。

表1　四種估計算法性能比較

從表1的仿真結果可以看出，本文所提出的基于余數周期的PRI精估計算法的PRI估計偏差為0且運算量只有幾十個指令周期，性能明顯優(yōu)于其他3 種傳統的PRI精估計算法。

4　結束語

本文提出了一種基于余數周期的PRI精確估計算法，該算法能夠克服傳統PRI估計算法的不足，有效地消除雷達截獲系統的TOA量化誤差，精確地估計出雷達輻射源的真實PRI，同時可以大幅度地減少算法所需的運算量。但是，該算法也具有自身的局限性，即算法要求雷達截獲系統截獲的脈沖序列中至少要有2個脈沖滿足其序號之差等于整數倍的量化精度分子值。■

[1]楊文華,高梅國.基于PRI的雷達脈沖序列分選方法[J].現代雷達,2005,27(3):50-59.[2]關一夫,張國毅,劉志鵬.一種基于脈沖樣本序列的PRI周期信號分選算法[J].電訊技術,2014,54(7):915-920.

[3]何艾玲,陶榮輝,蔡英武,等.基于截距分析的改進雷達信號分選算法[J].信息與電子工程,2012,10(1):88-92.

[4]欒超.雷達信號分選關鍵技術研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學, 2012.

[5]曹陽.基于PRI 的高密度脈沖信號分選算法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學,2008.

[6]朱紅亮.脈沖重頻分選算法的研究[D].西安：西安電子科技大學, 2010.

[7]孫梁.余數周期表和輾轉相除法[J].凱里學院學報,2008,26(3):125-128.

An accurate estimation algorithm for PRI based on remainder of the cycle

Su Huancheng, Zhang Jun, Cheng Liangping, Cheng Yihan, Leng Kui

(No.8511 Research Institute of CASIC, Nanjing 210007, Jiangsu, China)

For the defects in estimating pulse repetition interval(PRI) of traditional PRI de-interleaving algorithms, a new algorithm of estimating the period of PRI periodic signals is put forward. The algorithm firstly extracts the pulse sample sequence of certain radar from the raw pulse sequence, and then executes precise period estimation process based on the remainder of the cycle. Compared with the traditional PRI estimating algorithms, this algorithm accurately estimates the PRI with TOA quantization error removing, which satisfies the requirement of the de-interleaving process. Both theoretical derivation and simulation results verify the validity of the proposed algorithm.

signal sorting; PRI; remainder of the cycle; quantization error

2016-03-18；2016-05-17修回。

蘇煥程(1983-)，男，高工，主要研究方向為電子對抗信息處理。

TN971+.1

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