連娟麗（泉州市泉港區(qū)山腰中心小學(xué)，福建泉港362801）

滲透數(shù)學(xué)模型思想培養(yǎng)學(xué)生思維能力

連娟麗
（泉州市泉港區(qū)山腰中心小學(xué)，福建泉港362801）

“模型思想”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)的基本的數(shù)學(xué)思想之一。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教師要通過在新知探究、數(shù)學(xué)活動和鞏固運(yùn)用中逐步滲透數(shù)學(xué)模型思想，使學(xué)生感悟“模型思想”方法，培養(yǎng)思維能力，體驗(yàn)有價值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

滲透；模型思想；培養(yǎng)；思維能力

數(shù)學(xué)模型思想是數(shù)學(xué)知識的核心內(nèi)容，更是學(xué)生思維發(fā)展和終身學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)怎樣有效、合理地滲透數(shù)學(xué)模型思想來促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展呢？筆者結(jié)合日常教學(xué)實(shí)踐，談一些做法。

一、在探究過程中滲透“模型思想”，發(fā)展思維能力

概念、法則、規(guī)律及數(shù)學(xué)問題解決等數(shù)學(xué)知識的形成過程，都要建立核心要素——數(shù)學(xué)思維方法，它是數(shù)學(xué)模型的靈魂。只有設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練活動，引導(dǎo)學(xué)生多角度抓住隱含在問題中的數(shù)學(xué)思想，才能優(yōu)化問題的解決，發(fā)展學(xué)生思維水平，建立正確的數(shù)學(xué)觀，發(fā)展和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識。教學(xué)中不但要重視知識技能的結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的過程中科學(xué)、合理、有效地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

案例：北師版小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊《數(shù)學(xué)好玩--優(yōu)化》教學(xué)“烙餅”片段

1.創(chuàng)設(shè)烙餅情境

師：淘氣的媽媽要讓大家嘗嘗她最拿手的烙餅。計(jì)劃要烙12張餅。

師：最快烙好12張餅要多長時間？

師：有困難？沒關(guān)系，要懂得知難而“退”，從簡單數(shù)字入手，尋找其中有沒有規(guī)律？

2.探究雙數(shù)張餅優(yōu)化烙法師：就從2張餅開始探究吧！2張餅可以怎樣烙？師：用一雙手當(dāng)2個餅，桌子當(dāng)鍋，烙一烙，并算一算花了多長時間？

師：誰愿意上臺演示？（生邊烙邊說第一次3分鐘，第二次3分鐘）

師：2張餅同時烙，只要烙2次，這樣就節(jié)省了6分鐘。達(dá)到最省時的優(yōu)化方法，稱它為“2張同時烙”。

師：那4張餅怎么烙？

師：同桌合作，用2雙手當(dāng)4張餅烙一烙。

師：那么6張餅?zāi)兀?/p>

師（小結(jié)）：當(dāng)烙餅的個數(shù)是雙數(shù)時，就2張2張同時烙，這樣花的時間最少。

3.探究單數(shù)張餅優(yōu)化烙法

師：研究完雙數(shù)烙餅優(yōu)化方法，接下來要研究什么？（單數(shù)）若烙3張餅，怎樣烙才能盡快烙好？

課件出示要求：

（1）同桌先討論再操作（借助學(xué)具袋里的3個小圓片試著烙一烙）。

（2）算一算，所需烙餅的時間？比較哪種方法合理？

（學(xué)生動手操作學(xué)具活動）

匯報(bào)方法（指名上臺演示烙法）：

生1：先2張同時烙，再烙第3張（師板書6+6=12（分））

生2：3張輪流烙，烙三次，需要9分鐘（師板書3+3+ 3=9（分））

3張輪流烙的過程：

師：通過比較，哪種方案更省時？

師：把這種省時的方法叫做“烙3張餅的最佳方法”。

師：請同學(xué)們用這種方法再烙一烙，驗(yàn)證一下鍋里是不是總有2張餅？

師：找到了烙3張餅的最佳方法，那5張餅又有什么省時的方法？

生：先同時烙2張，再運(yùn)用烙3張餅的最佳方法烙剩下的3張。師：表達(dá)的真清楚！烙5張餅可以轉(zhuǎn)化成“2+3”。師：那烙7張餅?zāi)兀?/p>

師（小結(jié)）：如果烙餅數(shù)是單數(shù)時，先2張2張地烙，剩下最后3張就可以用烙三張的最佳方法烙，這樣就最省時。

4.探究規(guī)律--構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

師：借助同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的最佳烙餅方法整理在表格上，觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：餅數(shù)=次數(shù)

生2：餅的張數(shù)×每面的時間=最少所用的時間

生3：這個規(guī)律前提條件必須是鍋?zhàn)疃嘀荒芾?個餅。

（師及時肯定考慮問題完整性。）

師：按照這樣的規(guī)律，8張呢？（24分鐘）

師：那現(xiàn)在大家快速告訴老師，烙12張餅最短需要多少時間？（36分鐘）

師：給a個人每人一張餅?zāi)兀孔疃绦枰嚅L時間？

上述片段在構(gòu)建“烙餅”最優(yōu)化方法的過程中，隱含著與之相伴的多種數(shù)學(xué)思想方法。一是拋出問題：最快烙好12張餅要多長時間？旨在幫助學(xué)生掌握“化繁為簡”的解題方法。二是烙5張餅可以轉(zhuǎn)化成“2+3”的“轉(zhuǎn)化”方法。三是先由雙數(shù)、單數(shù)分開研究，層層推進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知水平；再觀察表格發(fā)現(xiàn)規(guī)律；最后用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決更多的實(shí)際問題，舉一反三，觸類旁通，構(gòu)建了“烙餅”最優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)模型。在培養(yǎng)學(xué)生的探究意識的同時重視提煉與體驗(yàn)不同的數(shù)學(xué)思想方法，可以加快模型的構(gòu)建，提升了建模的理性高度，優(yōu)化思維能力，體驗(yàn)有價值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。

二、在活動體驗(yàn)中滲透“模型思想”，提升思維能力

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)需要學(xué)生親身體驗(yàn)、經(jīng)歷建構(gòu)知識點(diǎn)的過程。在數(shù)學(xué)活動中教師是引導(dǎo)者和組織者，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷“問題情境--建立模型--求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動過程。不但符合課程標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中模型思想的基本要求；而且也有利于學(xué)生在活動過程中理解、掌握有關(guān)知識與技能，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，感悟存在于數(shù)學(xué)知識中的模型思想方法。這一過程更有利于學(xué)生思維能力的提升。［1］

案例：北師版小學(xué)數(shù)學(xué)第五冊《什么是周長》片段教學(xué)。教師在學(xué)生理解“圍圖形一周”含義的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生動手操作，使學(xué)生聽覺、觸覺、視覺等多種感官協(xié)同作用，形成對“周長”的本質(zhì)屬性的充分感知，為完成對“周長”特征的提取、抽象奠定基礎(chǔ)。

活動一：摸一摸。

師：把手指當(dāng)作螞蟻也在樹葉上體驗(yàn)一周，好不好？

（學(xué)生邊摸樹葉邊線邊說）

師：誰來摸一摸，這片樹葉的邊線一周是從哪兒到哪兒？（生到黑板前指一周）

師：注意看他從這一點(diǎn)開始，一直沿著邊線指，然后又回到了這一點(diǎn)，他指得對嗎？

生：對?！?/p>

活動二：描一描。

師：生活中有很多物體需要描繪在圖紙上，你們能選一種物體也描出它外圍的一周嗎？

（學(xué)生描一描活動）

（學(xué)生作品展示）

師：說一說，描的時候要注意什么？（沿著外圍、起點(diǎn)回到起點(diǎn)）

師：沿著物體的外圍描一周，留下了一個圖形。（用手勢比劃）樹葉一周的長度是樹葉的周長，數(shù)學(xué)書封面一周的長度是數(shù)學(xué)書封面的周長。

師：像這樣物體表面或圖形外圍的一周的長度叫做周長。（板書）

上述教學(xué)片段讓學(xué)生經(jīng)歷“摸一摸”“描一描”“概念揭示”的數(shù)學(xué)活動，充分感知體驗(yàn)一周，以直觀形象促進(jìn)對抽象的“周長”認(rèn)識，符合小學(xué)生以形象思維為主的特點(diǎn)，這種經(jīng)歷“實(shí)物表象--模型表象--圖形表象”的教學(xué)程序，提升和豐富學(xué)生的“一周”表象，建立了清晰的“周長”表象，有效地構(gòu)建“周長”概念的數(shù)學(xué)模型。這樣教學(xué)抓住事物的本質(zhì)特征和規(guī)律，從感性認(rèn)識到理性的升華，促使學(xué)生思維深度的提升，有效地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。［2］

三、在鞏固運(yùn)用中滲透“模型思想”，拓展思維能力

數(shù)學(xué)模型來源于生活又應(yīng)用服務(wù)于生活。在鞏固應(yīng)用時，當(dāng)學(xué)生掌握了基礎(chǔ)知識以及基本的數(shù)量關(guān)系后，嘗試運(yùn)用于解決實(shí)際問題，又將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，達(dá)到會一題通一類的效果，構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型。教師要有針對性選編一些典型的數(shù)學(xué)問題或生活實(shí)際問題，分析解決一種問題的價值不在于這個問題的本身，而在于提升解決這類問題的模型，更重要是拓展學(xué)生的思維能力。正如日本數(shù)學(xué)家米山國藏說過：“作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時隨地地發(fā)生作用，使人終身受益?！保?］

例如：在教學(xué)《雞兔同籠》一課，學(xué)生探究了“逐一列表法”“跳躍列表法”“取中列表法”“假設(shè)法”等數(shù)學(xué)思維方法，在鞏固運(yùn)用模型解決問題環(huán)節(jié)，筆者是這樣設(shè)計(jì)的。

師：其實(shí)類似“雞兔同籠”這種解決問題的方法，在生活中有著廣泛的應(yīng)用?？?，在乒乓球比賽中也有這類的數(shù)學(xué)問題。

課件出示：9張乒乓球臺上同時有30人正進(jìn)行單打和雙打乒乓球比賽。進(jìn)行單打和雙打比賽的球臺各有幾張？（注：單打指2人打，雙打指4個人同時打。）

師：從題目中你知道哪些信息？

師：思考一下：可以把什么看作“雞”，什么看作“兔”？

生：把單打看作“雞”，把雙打看作“兔”。

師：那你能用“雞兔同籠”的方法來解決這個問題嗎？

生1：9張乒乓球臺相當(dāng)于9個頭，30人可以看成相當(dāng)于有30只腳，所以用假設(shè)法是：9×4=36（人）36-30=6（人）單打球臺6÷（4-2）=3（張）雙打球臺9-3=6（張）

生2：用取中列表法和跳躍列表法，找到單打球臺有3張，雙打球臺有6張。

師：生活中，哪兒還有類似這樣的規(guī)律呢？能舉例嗎？……

在鞏固拓展運(yùn)用中，像求球臺問題、租船問題和搬運(yùn)問題等，雖然不是明顯的雞兔同籠問題，但是問題本身隱藏著與雞兔同籠問題的聯(lián)系。分析當(dāng)情境故事變化了所得到的數(shù)學(xué)模型思想是一樣的，即原認(rèn)知模型不變應(yīng)數(shù)學(xué)問題形式變，不斷豐富和拓展，促進(jìn)對模型的內(nèi)化，就領(lǐng)悟到了數(shù)學(xué)模型思想的價值。由解決一個典型的問題，用同樣的數(shù)學(xué)思路引領(lǐng)相關(guān)問題的解決，即無形地滲透一種數(shù)學(xué)規(guī)律的思想?？梢?，模型思想不能獨(dú)立存在，而是結(jié)合到具體的數(shù)學(xué)知識中，讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境--建立模型--解決問題--拓展運(yùn)用”的學(xué)習(xí)過程，逐步領(lǐng)悟的，從模糊到清晰的感悟建模過程，拓展數(shù)學(xué)思維。

［1］王光明.新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］趙云峰.培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的五個策略［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010（2）.

［3］錢陽輝.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)［EB/OL］.［2016-5-20］.http：//www. xxsx.cn/item.aspx？iid=4028.

（責(zé)任編輯：陳志華）