導(dǎo)數(shù)是一個(gè)特殊函數(shù)，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要方法，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想.隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的要求逐漸加強(qiáng)，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時(shí)的不可缺少的工具.其內(nèi)容主要涉及到導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算等.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，尤其對(duì)研究一些非初等函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點(diǎn)、含參數(shù)恒成立、實(shí)際問題中的最優(yōu)化等問題，導(dǎo)數(shù)為我們提供了一般性的簡(jiǎn)捷方法，所以以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯處命題，是高考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)交匯試題的顯著特點(diǎn)和命題趨向.導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)教材之后，給函數(shù)問題注入了生機(jī)和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考中函數(shù)問題的命題空間.筆者就函數(shù)、導(dǎo)數(shù)在高考中的考查熱點(diǎn)歸納如下.

考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

例1（1）（2016年高考天津卷10）已知函數(shù)f（x）=（2x+1）ex，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f′（0）的值為.

解析：∵f′（x）=2·ex+（2x+1）ex=（2x+3）ex，∴f′（0）=3.

考點(diǎn)分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于容易題.求已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，必須牢記基本函數(shù)的求導(dǎo)公式，同時(shí)需掌握導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的原則和方法：（1）原則：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo).（2）方法：①連乘積形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；②分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；③對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；④根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；⑤三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo).

（2）（2016年高考山東卷10）若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=f（x）具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（）

A. y=sinxB. y=lnx

C. y=exD. y=x3

解析：由函數(shù)的圖象在兩點(diǎn)處的切線互相垂直可知，存在兩點(diǎn)處的切線斜率的積，即導(dǎo)函數(shù)值的乘積為-1.當(dāng)y=sinx時(shí)，y′=cosx，有cos0·cosπ=-1，所以函數(shù)y=sinx圖象存在兩點(diǎn)x=0，x=π使條件成立，故A正確；而函數(shù)y=lnx，y=ex與y=x3的導(dǎo)函數(shù)分別為y′=1x（x>0），y′=ex和y′=3x2，它們的值均為正，不符合題意，故選A.

考點(diǎn)分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線的位置關(guān)系，本題給出常見的三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，突出了高考命題注重基礎(chǔ)的原則.解答本題，關(guān)鍵在于將直線的位置關(guān)系與直線的斜率、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相聯(lián)系，使問題加以轉(zhuǎn)化，利用特殊化思想解題，降低難度.本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用等.

考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用

例2（1）（2015年新課標(biāo)Ⅱ卷16）已知函數(shù)y=x+lnx在點(diǎn)（1，1）處的切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，則a=.

解析：先求出y=x+lnx在點(diǎn)（1，1）處的切線方程，然后利用根的判別式或?qū)?shù)法求a的值.

方法1：由y=x+lnx得y′=1+1x，

所以曲線y=x+lnx在（1，1）處的切線的斜率k=2，故切線方程為y=2x-1，

∵y=2x-1與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，聯(lián)立y=2x-1，y=ax2+（a+2）x+1，

消去y得ax2+ax+2=0，則a≠0且Δ=a2-4×2a=0，∴a=8.

方法2：同方法1，得曲線y=x+lnx在（1，1）處的切線方程為y=2x-1.

∵y=2x-1與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，

設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），∴y0=2x0-1.①

由y′=2ax+（a+2），得2ax0+（a+2）=2.②

由題意知a≠0，

由②可得x0=-12，把x0=-12代入①，得y0=-2，即切點(diǎn)為（-12，-2）.

∴（-12，-2）在曲線y=ax2+（a+2）x+1上，故a=8.

考點(diǎn)分析：本題考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線，考查了直線與曲線相切的處理方法，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、處理問題的能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題.

（2）（2016年高考新課標(biāo)Ⅲ卷16）已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=e-x-1-x，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為.

解析：當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，則f（-x）=ex-1+x.又因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）=ex-1+x所以f′（x）=ex-1+1，則切線的斜率為f′（1）=2，所以切線方程為y-2=2（x-1），即y=2x.

考點(diǎn)分析：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)解析式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義.難度屬中等.本題題型可歸納為“已知當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=f（x），則當(dāng)x<0時(shí)，求函數(shù)的解析式”.有如下結(jié)論：若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)的解析式為y=-f（x）；若f（x）為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為y=-f（-x）.

考點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

例3（2016年高考北京卷18）設(shè)函數(shù)f（x）=xea-x+bx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=（e-1）x+4，

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

解析：（1）因?yàn)閒（x）=xea-x+bx，所以f′（x）=（1-x）ea-x+b，

由題意得f（2）=2e+2f′（2）=e-1，即2ea-2+2b=2e+2-ea-2+b=e-1，解得a=2，b=e.

（2）由（1）知f（x）=xe2-x+ex，

由f′（x）=e2-x（1-x+ex-1）和e2-x>0，

知f′（x）與1-x+ex-1同號(hào)，

令g（x）=1-x+ex-1，則g′（x）=-1+ex-1，

所以當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，g′（x）<0，g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）>0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；

故g（1）=1是函數(shù)g（x）的最小值，從而g（x）>0，x∈（-∞，+∞），

故f′（x）>0，x∈（-∞，+∞），

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞），無單調(diào)減區(qū)間.

考點(diǎn)分析：用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的間斷點(diǎn).

考點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值

例4（1）（2016年高考四川卷6）已知a是函數(shù)f（x）=x3-12x的極小值點(diǎn)，則a=（）

A. -4B. -2C. 4D. 2

解析：f′（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2），

令f′（x）=0得x=-2或x=2，

易得f（x）在（-2，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，故f（x）極小值為f（2），

由已知得a=2，故選D.

考點(diǎn)分析：本題考查函數(shù)的極值.在可導(dǎo)函數(shù)中函數(shù)的極值點(diǎn)x0是方程f′（x）=0的解，但x0是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，需要通過這點(diǎn)兩邊的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性來判斷，在x0附近，如果xx0時(shí)f′（x）>0，則x0是極小值點(diǎn)；如果x0，x>x0時(shí)，f′（x）<0，則x0是極大值點(diǎn).

（2）（2015高考陜西卷12）對(duì)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a為非零常數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是（）

A. -1是f（x）的零點(diǎn)

B. 1是f（x）的極值點(diǎn)

C. 3是f（x）的極值

D. 點(diǎn)（2，8）在曲線y=f（x）上

解析：若選項(xiàng)A錯(cuò)誤時(shí)，選項(xiàng)B、C、D正確，f′（x）=2ax+b，因?yàn)?是f（x）的極值點(diǎn)，3是f（x）的極值，所以f′（1）=0f（1）=3，即2a+b=0a+b+c=3，解得：b=-2ac=3+a，因?yàn)辄c(diǎn)（2，8）在曲線y=f（x）上，所以4a+2b+c=8，即4a+2×（-2a）+a+3=8，解得：a=5，所以b=-10，c=8，所以f（x）=5x2-10x+8，因?yàn)閒（-1）=5×（-1）2-10×（-1）+8=23≠0，所以-1不是f（x）的零點(diǎn)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B、C、D正確，故選A.

考點(diǎn)分析：本題主要考查的是函數(shù)的零點(diǎn)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于難題.解題時(shí)一定要抓住重要字眼“有且僅有一個(gè)”和“錯(cuò)誤”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.解推斷結(jié)論的試題時(shí)一定要萬分小心，除了作理論方面的推導(dǎo)論證外，利用特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，也可作必要的合情推理.

考點(diǎn)5導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值

例5（2016年高考江蘇卷17）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐PA1B1C1D1，下部分的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1（如圖所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的四倍.

（1）若AB=6m，PO1=2m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？

（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？

解析：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.

因?yàn)锳1B1=AB=6，

所以正四棱錐PA1B1C1D1的體積

V柱=13·A1B21·PO1=13×62×2=24（m3），

正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積V柱=AB2·OO1=62×8=288（m3），

所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288

=312（m3）.

（2）設(shè)A1B1=a（m），PO1=h（m），則0

因?yàn)樵赗t△PO1B1中，OB21+PO21=PB21，

所以（2a2）2+h2=36，即a2=2（36-h2）.

于是倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=a2·4h+13a2·h=133a2h=263（36h-h3），（0

從而V′=263（36-3h2）=26（12-h2）.

令V′=0，得h=23或h=-23（舍）.

當(dāng)00，V是單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)23

故h=23時(shí)，V取得極大值，也是最大值.

因此，當(dāng)PO1=23時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大.

考點(diǎn)分析：對(duì)于高次函數(shù)求最值，一般可利用導(dǎo)數(shù)法.這類問題往往出現(xiàn)在應(yīng)用題中，難度一般.

考點(diǎn)6導(dǎo)數(shù)與不等式

例6（1）（2015高考福建卷10）若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=-1，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）>k>1，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（）

A. f（1k）<1kB. f（1k）>1k-1

C. f（1k-1）<1k-1D. f（1k-1）>kk-1

解析：由已知條件，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-kx，則g′（x）=f′（x）-k>0，故函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，且1k-1>0，故g（1k-1）>g（0），所以f（1k-1）-kk-1>-1，f（1k-1）>1k-1，所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C，選項(xiàng)D無法判斷；構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-x，則h′（x）=f′（x）-1>0，所以函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增，且1k>0，所以h（1k）>h（0），即f（1k）-1k>-1，f（1k）>1k-1，選項(xiàng)A，B無法判斷，故選C.

考點(diǎn)分析：聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，常可使問題變得明了，屬于難題.

考點(diǎn)7導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)

例7（2015年高考新課標(biāo)1卷21）已知函數(shù)f（x）=x3+ax+14，g（x）=-lnx.

（1）當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解析：（1）設(shè)曲線y=f（x）與x軸相切于點(diǎn)（x0，0），則f（x0）=0f′（x0）=0，即x30+ax0+14=03x20+a=0

解得x0=12，a=-34，

因此，當(dāng)a=-34時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線.

（2）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）=-lnx<0，故h（x）=min{f（x），g（x）}≤g（x）<0，

所以h（x）在（1，+∞）沒有零點(diǎn).

當(dāng)x=1時(shí)，若a≥-54，則f（1）=a+54≥0，h（1）=min{f（1），g（1）}=g（1）=0，

故x=1是h（x）的零點(diǎn).

若a<-54，則f（1）=a+54<0，

h（1）=min{f（1），g（1）}=f（1）<0，故x=1不是h（x）的零點(diǎn).

（ⅰ）若a≤-3或a≥0，則f′（x）=3x2+a在（0，1）無零點(diǎn)，故f（x）在（0，1）單調(diào)，而f（0）=14，f（1）=a+54，所以當(dāng)a≤-3時(shí)，f（x）在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，1）無零點(diǎn).

（ⅱ）若-3

①若f（-a3）>0，即-34

②若f（-a3）=0，即a=-34，則f（x）在（0，1）有唯一零點(diǎn)；

③若f（-a3）<0，即-3

綜上，當(dāng)a>-34或a<-54時(shí)，h（x）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a=-34或a=-54時(shí)，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)-54

考點(diǎn)分析：研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，歸根到底是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)問題.這類問題往往含有參數(shù)，考查分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想，具有一定的難度.

考點(diǎn)8導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

例8（2016年高考新課標(biāo)Ⅰ卷21）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析：（1）f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）

=（x-1）（ex+2a）.

（i）設(shè)a≥0，則當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）>0.

所以在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增.

（ii）設(shè)a<0，由f′（x）=0

得x=1或x=ln（-2a）.

①若a=-e2，則f′（x）=（x-1）（ex-e），所以f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增.

②若a>-e2，則ln（-2a）<1，故當(dāng)x∈（-∞，ln（-2a））∪（1，+∞）時(shí)，f′（x）>0；

當(dāng)x∈（ln（-2a），1）時(shí)，f′（x）<0，所以f（x）在（-∞，ln（-2a）），（1，+∞）單調(diào)遞增，在（ln（-2a），1）單調(diào)遞減.

③若a<-e2，則ln（-2a）>1，故當(dāng)x∈（-∞，1）∪（ln（-2a），+∞）時(shí)，f′（x）>0，當(dāng)x∈（1，ln（-2a））時(shí)，f′（x）<0，所以f（x）在（-∞，1），（ln（-2a），+∞）單調(diào)遞增，在（1，ln（-2a））單調(diào)遞減.

（2）（i）設(shè)a>0，則由（1）知，f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，

又f（1）=-e，f（2）=a.取b滿足b<0且b2

則f（b）>a2（b-2）+a（b-1）2=a（b2-32b）>0，所以f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；

（ii）設(shè)a=0，則f（x）=（x-2）ex，有一個(gè)零點(diǎn)2；

（iii）設(shè)a<0.若a≥-e2，則由（1）可知，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，

又當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）<0，故f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)；

若a<-e2，則由（1）知f（x）在（1，ln（-2a））單調(diào)遞減，在（ln（-2a），+∞）單調(diào)遞增，

又當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）<0，故f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，a的取值范圍為（0，+∞）.

考點(diǎn)分析：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用包括導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的一切相關(guān)問題，這類問題綜合性強(qiáng)，難度較大.本題第一問是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，對(duì)含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的確定，通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論，要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡(jiǎn)；第二問是求參數(shù)取值范圍，由于這類問題常涉及到導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式等知識(shí)，越來越受到高考命題者的青睞，解決此類問題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.

（作者：吉俊杰，如皋市第一中學(xué)）