張文景,馮志剛

(江蘇大學 理學院,江蘇 鎮(zhèn)江　212013)

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遞歸分形插值曲面的變差

張文景,馮志剛

(江蘇大學 理學院,江蘇 鎮(zhèn)江212013)

在求解函數(shù)圖像維數(shù)過程中，分形插值函數(shù)的變差可以代替盒維數(shù)公式中最少盒子數(shù),從另一個角度得到函數(shù)圖像的盒維數(shù)公式.從研究二元連續(xù)函數(shù)的變差性質(zhì)入手,給出了矩形區(qū)域上遞歸分形插值曲面(RFIS)的變差估計,為遞歸分形圖形維數(shù)的研究提供一種新方法.

二元遞歸分形插值函數(shù);二元連續(xù)函數(shù);分形插值曲面;變差

MSC 2010：37C45;28A80;41A05

分形插值是分形幾何理論及其應(yīng)用研究中的一個重要內(nèi)容,由美國數(shù)學家Barnsley[1]首先提出,在圖像壓縮、非光滑曲線和曲面的擬合等研究領(lǐng)域中顯示出了獨特的優(yōu)越性.1989年,在原分形插值的基礎(chǔ)上Barnsley[2]首先介紹遞歸分形插值函數(shù)并給出平面上遞歸分形插值函數(shù)圖像的計盒維數(shù)公式.和傳統(tǒng)的插值函數(shù)相比,遞歸分形插值函數(shù)是發(fā)展起來的一種更靈活、更優(yōu)越的分形插值函數(shù),更能刻畫出自然界中復雜的隨機性和不確定性.沙震等[3]對Barnsley的遞歸FIF(分形差值函數(shù))分形維數(shù)加以改進,去掉關(guān)聯(lián)矩陣不可約的限制條件,得出新的維數(shù)公式.

變差是刻畫粗糙程度的一種重要參數(shù),用來研究各種尺度下函數(shù)的粗糙度,而粗糙度在材料學、力學等學科領(lǐng)域中有著非常廣泛的應(yīng)用[4-7].求分形圖像的維數(shù)是分形理論研究的重要內(nèi)容,計算盒維數(shù)一般都是按照它的定義來證明的,即找出覆蓋圖像的最少盒子數(shù).而引入變差的概念,通過研究平面上連續(xù)分形函數(shù)的變差性質(zhì),可以得到平面上連續(xù)函數(shù)圖像的計盒維數(shù)計算公式,為計算函數(shù)圖像的計盒維數(shù)提供了新的工具.

文志英[8]研究了平面上連續(xù)函數(shù)變差的性質(zhì),并給出平面上連續(xù)函數(shù)圖像的計盒維數(shù)計算公式.馮志剛等[9]研究了一類分形插值函數(shù)δ-變差的性質(zhì),用δ變差代替維數(shù)定義中的最少盒子數(shù),得到了一種證明分形圖形維數(shù)的新方法.Feng[10]介紹了矩形區(qū)域上分形插值曲面的構(gòu)造方法,并給出了二元連續(xù)函數(shù)的振幅以及變差的定義,證明了二元分形插值函數(shù)變差的一些性質(zhì),并運用連續(xù)函數(shù)圖像的盒維數(shù)與變差的關(guān)系,得出了分形曲面的維數(shù)公式.徐惠等[11]討論了一類網(wǎng)格上二元連續(xù)分形插值曲面,研究二元連續(xù)函數(shù)的振幅與變差性質(zhì),給出變差估計從而得到分形插值曲面計盒維數(shù)的準確值.王偉從連續(xù)函數(shù)的變差性質(zhì)入手,得到了一元遞歸分形插值函數(shù)的變差性質(zhì),運用變差階的估計得到遞歸分形插值曲線的維數(shù)定理.

本文在上述文獻基礎(chǔ)上討論二元連續(xù)函數(shù)的變差性質(zhì),研究矩形區(qū)域上二元遞歸分形插值函數(shù)(δ,γ)變差的估計,為遞歸分形插值曲面的維數(shù)計算進一步提供理論基礎(chǔ).

1　二元遞歸分形插值函數(shù)

考慮矩形區(qū)域上的二元遞歸分形插值函數(shù).給定閉區(qū)間I=J=[0,1],0=x0

(1)

其中sij為給定的常數(shù),φij(x,y)為D上的二元連續(xù)函數(shù).可得一個遞歸迭代函數(shù)系(RIFS)

(2)

(3)

其中對任意i,j=1,2,…,MN,規(guī)定

(4)

2　二元連續(xù)函數(shù)的變差

根據(jù)連續(xù)函數(shù)(δ,γ)-變差定義,Feng[10]證明了下面的引理.

引理1[10]令z=f1(x,y),z=f2(x,y)分別為D上的二元連續(xù)函數(shù),C1,C2為給定的任意常數(shù),有

1)Vc1f1+c2;δ,γ(D)=|c1|Vf1;δ,γ(D),

2)Vf1;δ,γ(D)-Vf2;δ,γ(D)≤Vf1+f2;δ,γ(D)≤Vf1;δ,γ(D)+Vf2;δ,γ(D).

引理2[10]令D=[a,b]×[c,d],z=f(x,y)為D上二元連續(xù)函數(shù),a

(5)

其中Vf(D)=supDf(x,y)-infDf(x,y).

3　遞歸分形插值曲面的變差

(6)

其中s=A-1(x)∈Ik,t=B-1(x)∈Jl.在區(qū)間D′上,有

(7)

證由式(1)得

(8)

由式(8)和引理1 得

(9)

由定理1得

(10)

(11)

φij為D上的連續(xù)可微函數(shù)且φij?Pr,令Mij=max(x,y)∈I×J|φij(x,y)|,則

(12)

由引理2

(13)

由式(9-13)得不等式(7)左邊可證.

由引理2得

(14)

類似地，由式(9-12)和式(14),可證不等式(7)右邊.

[1]BARNSLEY M F.Fractal everywhere[M].New York:Academic Press,1988.

[2]BARNSLEY M F,ELTON J H,HARDIN D P.Recurrent iterated function systems[J].Constr Approx,1989,5:3-31.

[3]沙震,阮火軍.Bamsley-Elton Hantin的一個定理的修正[J].高校應(yīng)用數(shù)學學報A輯,2000,15(2):157-162.

SHA Z,RUAN H J.A revision of the theorem of the Bamsley-Elton Hantin[J].Appl Math J Chinese Univ Ser A,2000,15(2):157-162.

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[13]BOUBOULIS P,DALLA L.A general construction of recurrent bivariate fractal interpolation surfaces and computation of their box-counting dimension[J].Japprox Theory,2006，141：99-117.

(責任編輯：王蘭英)

Variation of recurrent fractal interpolation surface

ZHANG Wenjing,FENG Zhigang

(College of Science,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China)

To calculate the dimension of grap of function, the minimum boxes can be replaced by the variation of fractal interpolation function, and the box-dimension formula can be proved from another angle.Based on the study of the properties of variation of bivariate continuous function,the variation of recurrent fractal interpolation function is estimated on the rectangular domain,which provides a new method to study dimension of recurrent fractal graph.

bivariate recurrent fractal interpolation function;bivariate continuous function;fractal interpolation surface;bivariate.

10.3969/j.issn.1000-1565.2016.04.003

2015-06-25

國家自然科學基金資助項目(51079064)

張文景(1988—)，女，江蘇徐州人，江蘇大學在讀碩士研究生.E-mail:656780786@qq.com

馮志剛(1962—)，男，江蘇常州人，江蘇大學教授，主要從事分形幾何理論的研究.E-mail:zgfeng@ujs.edu.cn

O184

A

1000-1565(2016)04-0349-04