張艷

（南通大學 理學院，江蘇南通226000）

數(shù)學分析課程教學中的兩點體會

張艷

（南通大學 理學院，江蘇南通226000）

對數(shù)學分析課程教學的現(xiàn)狀與未來發(fā)展趨勢的研究，是從事其課程教學的教師們一直關注的問題，文章結合教學實踐和探索實踐，闡述了在教學過程中對教學觀念，教學方法和教學模式等方面的體會和進行改革的思考。

數(shù)學分析；教學改革；思考

以微積分為主要教學內容的數(shù)學分析課程，是一門非常重要的專業(yè)基礎課程。它既是中學數(shù)學知識的深入與延續(xù)，又為后繼專業(yè)課，如常微分方程，復變函數(shù)，實變函數(shù)和泛函分析等分析類課程的學習提供必要的理論基礎。對于數(shù)學師范專業(yè)來說，數(shù)學分析還承擔著發(fā)展學生的思維能力，培養(yǎng)學生分析、觀察和處理問題能力，鍛煉學生養(yǎng)成良好的思考習慣，培養(yǎng)他們用數(shù)學分析的有關理論和知識居高臨下地分析和處理中學教材的任務。

文章結合數(shù)學分析課程的教學實踐，以及我校數(shù)學師范專業(yè)教學改革的探索實踐，談談在數(shù)學分析教學過程中的兩點體會。

一、上好數(shù)學分析導論課，做好入門教育

對于剛進入大學的一年級新生而言，數(shù)學分析課程的抽象程度遠遠大于中學數(shù)學課程。它使用了大量的抽象符號和數(shù)學語言，其中絕大部分對于大學新生們來講是完全陌生并難以理解的。為了讓學生更好地接受數(shù)學分析課程，而不是從一開始就因為困難而排斥，必須做好入門教育。這不僅關系到這門課的整個教學，也關系到學生們的后繼學習。做好入門教育的關鍵就是上好導論課。

數(shù)學分析導論課要解決“為何學”，“學什么”，“如何學”這三大問題。首先，對“為何學”的討論是要讓學生明白數(shù)學分析課程的重要性。通過對數(shù)學分析課程與數(shù)學專業(yè)其他主要課程之間聯(lián)系的分析（見圖1），讓學生明確學好數(shù)學分析的必要性。

圖1　數(shù)學分析與數(shù)學專業(yè)主要課程的聯(lián)系

圖2　數(shù)學分析課程主要內容

其次，“學什么”自然是要讓學生了解數(shù)學分析的主要內容（見圖2）。用一句話來概括的話，數(shù)學分析應該是以實數(shù)的連續(xù)性為基礎，以極限為工具，以無窮小分析為主要方法來研究函數(shù)分析性質（連續(xù)性、可微性、可積性）的一門學科。

至于“如何學”則是要對剛步入大學校門的新生們作學習方法指導。對他們而言，抽象層次的驟然提高，相比中學更快的課堂節(jié)奏，對課后自學能力的更高要求，都將成為他們學習數(shù)學分析過程中面臨的巨大挑戰(zhàn)。因此，對如何在預習中找出問題、帶著問題去聽課、適時做好課堂筆記、經過思考提出問題、獨立做題、歸納與提高等作一定的指導，是很有必要的。

此外在數(shù)學分析導論課教學中，應給學生提供必要的參考書目，指導學生通過閱讀與數(shù)學分析課程相關的文獻資料進行課后自學。這樣可引導學生逐漸養(yǎng)成利用各種資源查閱資料的習慣，幫助他們開闊視野，同時還有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和科研能力，為日后撰寫科研論文打下基礎。

上好數(shù)學分析導論課，不僅能很好地激發(fā)學生的求知欲和學習興趣，而且能使學生大致明了今后的學習任務和目標，了解數(shù)學分析課程的學習方法和思維方式，為日后更好地學習該課程開個好頭。

二、注重基本概念、定理教學，打下扎實基礎

數(shù)學分析課程的顯著特點是概念多、定理多、證明多、關聯(lián)性強。李大潛教授曾指出:數(shù)學教育本質上是一種素質教育。學習數(shù)學，不僅要學到許多重要的數(shù)學概念、方法和結論，更要領會到數(shù)學的精神實質和思想方法［1］。在這樣的理論指導下，我們以兩個基本概念定理的教學方案為例，討論如何在進行基本概念和重要定理的教學過程中，有意識地加強對學生科學思維方法的訓練，以及解決問題的能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

數(shù)列極限的“ε-N”定義一直是數(shù)學分析入門教學的一個難點?！唉?N”語言使很多學生感到數(shù)學分析深不可測，從而對該課程望而卻步。為了行之有效地講好“ε-N”語言，我們可以遵循從特殊到一般的認識規(guī)律。先從實例中抽象出較易被學生接受的數(shù)列極限描述性定義：隨著下標n的無限增大，數(shù)列的通項an會與某個常數(shù)a無限接近。隨即嘗試用精確的數(shù)學語言對描述性定義中的兩個“無限”進行進一步解讀:接近程度可以用| an-a|來表示，所謂“無限接近”就是指|an-a|可以“無限小”；所謂| an-a|可以“無限小”，究竟小到什么程度呢？這個程度可以由我們自己來決定。也就是可以小于事先任意給定的，無論多小的正數(shù)……這樣由定性到定量，逐漸增加其定量的成份，一步一步引導學生自行歸納總結出數(shù)列極限的“ε-N”定義：liman=a?對對?ε，總存在正整數(shù)N，使得當n＞N時，有|an-a|＜ε。為了讓學生對定義有更直觀的認識，我們給出定義的另一種表述，即其幾何解釋：任給ε＞0，若在U（a；ε）之外，數(shù)列｛an｝中的項至多只有有限項，則稱數(shù)列｛an｝收斂于極限a。

隨后的教學難點就是如何應用定義解決問題，即如何運用“ε-N”語言來證明一些極限結論。在此過程中，“適當放大法”的正確使用尤為關鍵。所謂“適當放大法”，一般分兩步:第一步，先找出n的一個函數(shù)（fn），滿足limf（ n）=0，使得|ana|＜（n），此為“放大”。第二步，對任意ε＞0，證明存在N＞0，使得當n＞N時成立（fn）＜ε。授課時，要提醒學生注意，初學者易犯的錯誤是數(shù)列｛（fn）｝不滿足limf（ n）=0，即不等式放大過頭了。據上述的“適當放大法”，在用“ε-N”語言驗證liman=a時，對任意ε＞0，將|an-a|適當放大后化為

圖3　二分法算法實現(xiàn)

而由（fn）＜ε易求出N，當n＞N時（fn）＜ε，即有|an-a|＜ε。

對“ε-N”定義的教學并未就此結束，我們應該繼續(xù)討論定義的延伸——對偶法則：如何刻畫liman≠a？對學生進行數(shù)學符號語言的訓練，是數(shù)學分析課程教學中的必要環(huán)節(jié)。

定義否命題的正面敘述遵循對偶法則。

數(shù)學分析中的一些概念和定理，學生被動接受時感到很枯燥，為激發(fā)他們的學習興趣，可以考慮采取理論與實踐相結合的手段［2］。比如在連續(xù)函數(shù)的零點定理（根的存在定理）教學中，在定理延伸部分，介紹求解方程f（x）=0的近似方法——二分法時，可以鼓勵學生運用MATLAB軟件進行編程實現(xiàn)（見圖3）。

上述兩點體會僅為作者在教學實踐中的粗淺認識。基礎教育課程改革在很多方面對數(shù)學教師提出了新的要求。高校數(shù)學師范專業(yè)的培養(yǎng)目標是為國家基礎教育事業(yè)的發(fā)展培養(yǎng)德才兼?zhèn)涞母咚刭|的一流數(shù)學師資。因此，數(shù)學分析教學的一個重要任務，就是必須使學生掌握對中學教材具有居高臨下處理能力。教好數(shù)學分析這一基礎課程對培養(yǎng)和提高學生的這種能力起著不可低估的作用，積極推進數(shù)學分析的教學革新，探索更科學的教學處理方法任重道遠［3］。

［1］李大潛.數(shù)學科學與數(shù)學教育芻議［J］.大學數(shù)學，2004，20（4）：1-8.

［2］杜其奎，陳金如.“數(shù)學分析”課程教學的改革與實踐［J］.中國科技縱橫，2010（23）：95-96.

［3］張艷，沈亞良.師范專業(yè)數(shù)學分析教學改革的思考［J］.高師理科學刊，2014，34（1）：29.

［4］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析［M］.北京:高等教育出版社（第四版），2010.

The study of the state and future development about Mathematical Analysis attracts flocks of teachers. This paper discusses the experience during the teaching process of Mathematical Analysis.

Mathematical Analysis；transformation of education；thought

G642

A

2096-000X（2016）21-0121-02

張艷，南通大學理學院數(shù)學系講師，現(xiàn)主要從事數(shù)學分析課程教學和偏微分方程方面的研究。