吳湛擊，車　慧，李少冉，王雨晴

（北京郵電大學信息與通信工程學院，北京 100876）

超奈奎斯特的頻譜效率與參數優(yōu)化分析

吳湛擊，車慧，李少冉，王雨晴

（北京郵電大學信息與通信工程學院，北京 100876）

對超奈奎斯特（faster than Nyquist，FTN）和奈奎斯特系統的頻譜效率進行了對比分析。在絕對帶寬的前提下，首先證明了基于根升余弦函數脈沖的單載波FTN可達速率大于奈奎斯特可達速率，并推導了有子載波間干擾的多載波FTN的頻譜效率公式。本文證明了單載波FTN的頻譜效率大于奈奎斯特系統的頻譜效率，并且證明了單載波FTN的頻譜效率隨著滾降因子的減小而增大。基于頻譜效率公式和數值仿真，本文給出了多載波FTN對于不同滾降因子的最優(yōu)子載波間隔。結果表明，即使存在子載波間干擾，基于最優(yōu)子載波間隔的多載波FTN頻譜效率也高于正交系統（奈奎斯特）的頻譜效率。

超奈奎斯特；容量；帶寬；頻譜效率

網址：www.sys-ele.com

0　引　言

奈奎斯特速率是實現通信系統無碼間干擾的信號最高傳輸速率。當信號以超過奈奎斯特速率進行傳輸時，就會引起碼間干擾，導致系統誤碼性能大幅下降。Mazo提出，采用二進制sinc（t/T）信號波形，碼元速率如果不超過奈奎斯特速率的25%，那么信號的最小歐氏距離不會變化［1］，系統的誤碼性能也不會受到影響［2］。Mazo提出的這種調制方式因信號發(fā)送速率超過了奈奎斯特極限這種調制技術被稱為“超奈奎斯特”（faster-than-Nyquist，FTN）調制。FTN的各信號之間不再具有正交性且可以達到更高的頻譜利用率。囿于當前無線頻譜資源匱乏的瓶頸問題，FTN技術成為5G及未來無線通信系統中新的核心技術［3］，廣泛適用于終端直通（device-to-device，D2D）和大規(guī)模機器通信（massive machine communication，MMC）。

目前，針對FTN解調技術以及相關理論的研究已成為移動通信領域研究關注的重點。其中FTN的頻譜效率是擺在所有理論問題前面最突出和最關鍵的問題之一。文獻［4］從信道容量公式出發(fā)對功率受限條件下FTN調制技術的信道約束頻譜進行了理論分析，結果表明采用FTN技術所能達到的信道頻譜比傳統的Nyquist容量更高。文獻［5］從互信息的角度分析FTN系統的頻譜，指出FTN系統通過壓縮時頻傳輸間隔來提高頻譜效率。文獻［6］對多用戶的FTN調制進行了研究。

單載波FTN僅存在符號間干擾（inter-symbol interference，ISI），不存在載波間干擾（inter-carrier interference，ICI），而多載波FTN存在ICI。對于單載波FTN，本文基于根升余弦函數脈沖和絕對帶寬對其頻譜效率進行了理論分析；將FTN的頻譜效率和香農限進行了對比研究。對于多載波FTN，本文基于信干噪比（signal-to-interference-plusnoise ratio，SINR），推導了多載波FTN的頻譜效率公式。在FTN系統達到最優(yōu)頻譜效率時，給出了同一信干噪下頻譜效率隨著子載波間隔變化的規(guī)律。

1　FTN調制系統模型

單載波FTN調制模型如圖1所示。圖中，a［n］表示星座映射后的數字符號，且星座點符號周期為T，功率為P；h（t）表示成型脈沖，功率譜密度為|H（f）|2，其中H（f）表示h（t）的傅里葉變換。若Sa（t）表示調制后的信號，則有

式中，τ表示時間相關因子。

圖1　FTN調制模型

在式（1）中，τT表示成型脈沖h（t）的發(fā)送間隔。當τ= 1，h（t）的發(fā)送間隔為T，此時成型脈沖h（t）保持正交，即T正交；若τ＜1，h（t）的發(fā)送間隔為τT，此時成型脈沖h（t）不再保持正交；此時，在相同時間內，成型脈沖h（t）可以運載更多的星座符號。τ減小不改變信號的基帶帶寬。

用an，k代替式（1）中的a［n］，用k表示載波序號，則多載波FTN［7］表達式為

式中，K 表示子載波數目；Δf表示正交子載波間隔；φ為頻域相關因子，且τφ≤1。

τφ≤1表示對時頻資源進行壓縮。式（2）對應的時頻傳輸網格如圖2所示。從時、頻傳輸網格來看，FTN系統通過壓縮發(fā)送間隔（時域）或子載波間隔（頻域），從而提高傳輸速率和頻譜利用率。

圖2　FTN調制的時頻二維傳輸網格圖

本文下面從理論分析角度對單載波和多載波的FTN系統的頻譜效率進行研究。公平性起見，本文的頻譜效率比較基于絕對帶寬。絕對帶寬定義：寬平穩(wěn)隨機信號X（t）的功率譜密度為SX（f），自相關函數為RX（τ），若SX（f）在f≥0時的支集為（f1，f2），即在區(qū)間（f1，f2）外SX（f）= 0，則稱f2-f1為隨機信號X（t）的絕對帶寬。

2　單載波FTN系統的頻譜效率與參數選擇

式中，WC表示為信道帶寬；P表示信號功率；N表示白噪聲功率。繼而文獻［9］給出了任意噪聲的信道容量：

香農的三大定理是信息論的基礎理論，其中文獻［8］給出了有噪信道編碼定理：在信道中，在允許模糊為ε情況下，能夠區(qū)分時間間隔為T的信號個數為M（ε，T），則高斯白噪聲信道容量定義為

式中，P（f）表示信號功率譜密度；N（f）表示噪聲功率譜密度；WC表示信道帶寬。

假設信源獨立且服從高斯分布，結合文獻［4，10］給出單載波FTN調制的非正交系統可達速率：

根據式（4），無ISI的奈奎斯特調制正交系統可達速率［］為

為了在絕對帶寬下比較單載波FTN和奈奎斯特系統的頻譜效率，假設h（t）為滾降因子為α的根升余弦脈沖且τ≤

1/（1+α），對應的單載波FTN系統的頻譜速率RFTN（α）為

對數與三角函數的積分公式為

根據式（8）將RFTN（α）可以進一步化為

對應的奈奎斯特系統速率RN（α）分別為

根據式（9）和式（10）有

可以看出，若α＞0則基于根升余弦函數脈沖的單載波FTN系統的可達速率大于奈奎斯特系統的可達速率；若α=0，則單載波FTN的可達速率等于奈奎斯特系統的可達速率。其中，α=0時，根升余弦函數即為sinc函數。

如果滿足如式（12）所示奈奎斯特第一準則，則可以實現無碼間干擾傳輸。

式中，c表示常數；Rs表示符號速率。

單載波FTN系統相比于正交系統能提高吞吐的原因是充分挖掘過剩帶寬的潛能。以根升余弦函數為例，如圖3所示，當互補對稱點為fN=Rs/2時，系統可進行無ISI傳輸，對應的最大碼速率Rs=2fN。

圖3　根升余弦函數的過剩帶寬

式中，fΔ稱為過剩帶寬，0≤α≤1。

滿足奈奎斯特第一準則的正交傳輸系統的帶寬WC可表示為

式中，fN=1/（2T）。

系統實際占用帶寬為WC，滿足奈奎斯特第一準則時實際利用帶寬為fN，過剩帶寬fΔ沒有被充分利用。當α=1時，過剩帶寬達到100%。

滾降因子與過剩帶寬關系為

3　多載波FTN調制系統的頻譜效率與參數選擇

多載波FTN系統的子載波間隔為F，子載波數為K，子載波帶寬為WB；第k個子載波的頻譜為Hk（f-k F），傳輸功率為Pk，-（K-1）/2≤k≤（K-1）/2，如圖4所示。

圖4　多載波超奈奎斯特頻譜示意圖

因此，FTN系統的總帶寬WT和總傳輸功率PT分別為

假設PT/WT為有限值，則FTN系統的發(fā)送信號功率譜HT（f）為

假設信源獨立且服從高斯分布，并根據式（4）、式（15）～式（17），可以求出多載波FTN的頻譜效率［6］為

式中，等號在h（t）為sinc函數成立，即當成型脈沖為sinc函數時，多載波FTN系統的頻譜效率達到最大值。

假設信源獨立且服從高斯分布，且多載波FTN系統的接收端不采用干擾刪除算法?；赟INR在對k=m個子載波進行處理時，SINR（m，F）為

則根據式（17），第m個子載波相應的可達速率為

在滿足式（21）的前提下，根據式（20）和相連子載波的交疊程度有：

（1）如果F≥（1+α）/T，即相鄰的兩個載波頻譜不存在重疊，即式（19）中不存在ICI：

即與單載波FTN系統的可達速率相等。

（2）如果1/T≤F≤（1+α）/T，兩個相鄰的載波的頻譜僅在滾降的部分存在重疊，即式（19）僅存在一項ICI，對應的多載波可達速率為

（3）若max｛（1-α）/T，（1+α）/（2T）｝≤F≤1/T，子載波的滾降部分與相鄰子載波的平坦部分存在重疊，式（19）僅存在一項ICI，FTN系統的可達速率為

（4）若（1+α）/（2T）≤F≤（1-α）/T，此時α的取值范圍為［0，1/3］；相鄰兩個子載波頻譜的平坦部分存在重疊，式（19）僅存在一項ICI，則多載波的可達速率為

隨著載波數K的增加，每一個載波的帶寬近似為B，因此多載波FTN的頻譜效率為

式中，ηFTN（α，F）表示滾降因子α為帶寬為F時的頻譜效率。

4　FTN調制系統的頻譜效率分析

對于單載波FTN，當成型脈沖h（t）是滾降因子為α的根升余弦脈沖且符號周期T相同時，根據等式（3）、式（9）、式（10）香農限、FTN頻譜效率、奈奎斯特頻譜效率對比如圖5所示。

圖5-3種頻譜效率對比

在圖5中，FTN的頻譜效率小于香農限，而大于奈奎斯特系統的頻譜效率；當頻譜效率都為8 bits/s/Hz時，FTN調制（α=0.5）與奈奎斯特系統（α=0.5）兩者信噪比相差大約8 dB，FTN調制（α=1）與奈奎斯特系統（α=1）兩者信噪比相差大約18 dB。可以看出，由于單載波FTN系統沒有頻譜重疊（多載波干擾），因此對于FTN系統，其頻譜效率隨著滾降因子的減小的而增大；且α越大過剩帶寬越大，FTN系統與奈奎斯特系統的頻譜效率的差距就越大。上述討論的前提是時域相關因子滿足τ≤1/（1+α）。若τ＞1/（1+α），則在絕對帶寬內存在碼間干擾，頻譜效率將降低。

圖6　固定SINR下，頻譜效率與K　的關系

5　結　論

本文對FTN和奈奎斯特系統的頻譜效率進行了分析和比較。對于單載波FTN，本文首先證明了FTN的頻譜效率大于奈奎斯特系統的頻譜效率，而且FTN的頻譜效率隨著滾降因子的減小而增大。但FTN的頻譜效率仍然小于相同絕對帶寬下的理想低通濾波的香農限。對于多載波FTN，推導了有子載波間干擾的多載波FTN的頻譜效率公式。基于頻譜效率公式和數值仿真，找到了多載波FTN對于不同滾降因子的最優(yōu)子載波間隔。結果表明，即使存在子載波間干擾，基于最優(yōu)子載波間隔的多載波FTN頻譜效率也高于正交系統（奈奎斯特）的頻譜效率。如果結合高效的編解碼、干擾刪除和均衡等算法可以進一步提升FTN的頻譜效率。

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Spectral efficiency and parameter optimization analysis for faster-than-Nyquist signaling

WU Zhan-ji，CHE Hui，LI Shao-ran，WANG Yu-qing
（School of Information and Communication Engineering，Beijing Uniυersity of Posts and Telecommunications，Beijing 100876，China）

Spectral efficiency of faster-than-Nyquist（FTN）and Nyquist systems are investigated.It is proved that the achievable rate of the single carrier FTN（SC-FTN）system with root raised cosine pulse is higher than the single carrier Nyquist system with the same absolute bandwidth.With the inter-carrier interference（ICI），the formula for spectral efficiency of multi-carrier FTN（MC-FTN）is given.For the same roll-off factor，the spectral efficiency of SCFTN is greater than the single carrier Nyquist.For different roll-off factors，the spectral efficiency of SC-FTN system increases as the roll-off factor decreases.Based on the spectral efficiency formulas and numerical simulation，the corresponding optimal subcarrier spacing for MC-FTNis given in this paper.Even though there is ICI，the spectral efficiency of MC-FTN with optimal subcarrier spacing exceeds the orthogonal Nyquist system.

faster-than-Nyquist（FTN）；capacity；bandwidth；spectral efficiency

TN 911.3

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.05.28

1001-506X（2016）05-1153-06

2015-03-16；

2015-11-23；網絡優(yōu)先出版日期：2015-12-09。

網絡優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20151209.1417.004.html

國家自然科學基金（61171101）；國家重大科技專項（2013ZX03003016）；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金；2013年羅德與施瓦茨-北京郵電大學研究創(chuàng)新基金資助課題

吳湛擊（1977-），男，教授，博士，主要研究方向為無線和移動通信理論與技術。

E-mail：wuzhanji@bupt.edu.cn

車慧（1986-），男，博士研究生，主要研究方向為無線和移動通信理論與技術。

E-mail：xmutch@bupt.edu.cn

李少冉（1995-），男，碩士研究生，主要研究方向為編碼理論及其工程實現。

E-mail：attackdog@bupt.edu.cn

王雨晴（1992-），女，碩士研究生，主要研究方向為編碼調制的工程應用。

E-mail：wmlpy@126.com