馬騰宇

【摘要】研究了一類非線性發(fā)展方程整體解的漸近性質(zhì)，利用乘子法建立了方程的漸近性定理，證明了當(dāng)方程中的耗散項(xiàng)滿足一定簡(jiǎn)單而寬泛的條件下，方程的整體強(qiáng)解依指數(shù)形式衰減于零。

【關(guān)鍵詞】非線性發(fā)展方程 耗散項(xiàng) 整體解 漸近性質(zhì)

一、引言

非線性擬雙曲方程是近年來在神經(jīng)傳播，具有粘性效應(yīng)的桿的縱向振動(dòng)等生物、力學(xué)問題中提出的，具有重要的應(yīng)用背景。在描述非線性彈性桿中縱向位移波傳播的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，Greeenberg，MacCamy和Mizel于1968年首先提出了如下著名的具強(qiáng)阻尼項(xiàng)的擬線性發(fā)展方程[1]。

utt-uxxt=σ（ux）x

其中u（x，t）表示桿在x處，t時(shí)刻的位移，ux為應(yīng)變，σ（ux）為非線性應(yīng)變。許多學(xué)者分別從不同的角度，采用不同的方法對(duì)如上方程整體解的適定性做了卓有成效的研究，并得到了很多好的結(jié)果[2-8]。劉亞成等在文獻(xiàn)[2]中研究了如上問題的初邊值問題，得到了整體強(qiáng)解的存在性與唯一性，并在初值函數(shù)及σ（s）滿足一定的條件下，得到了整體強(qiáng)解的相應(yīng)光滑性。楊志堅(jiān)、宋長(zhǎng)明在文獻(xiàn)[5]中研究了非線性彈性桿的縱波振動(dòng)的一類非線性發(fā)展方程utt=uxxtt+σ（ux）x的初邊值問題。在關(guān)于非線性項(xiàng)及初值的某些假設(shè)下，證明了此問題有唯一整體強(qiáng)解。劉亞成等在文獻(xiàn)[6]中研究了如下帶有耗散、色散項(xiàng)的四階非線性波動(dòng)方程的初邊值問題，尚亞東在文[7]中，研究了如下一類四階強(qiáng)阻尼非線性波動(dòng)方程的初邊值問題。用方法與能量估計(jì)得到了上述問題的整體強(qiáng)解。

眾所周知，在非線性振動(dòng)過程中，除了物體內(nèi)部的粘性對(duì)物體運(yùn)動(dòng)有著重要的影響外，非線性外力因素也起著十分重要的作用。尤其是非線性粘性阻尼和非線性力源的影響。因此，將上述由物體周圍介質(zhì)所產(chǎn)生的，非線性外力因素考慮進(jìn)去是十分必要的并且具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[9-11]，Chen和Yang在[12]中研究了非線性項(xiàng)的更加廣泛的方程，得到了方程廣義解和經(jīng)典解的整體存在性，并給出了解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的充分條件。

對(duì)于解的適定性有了充分的了解后，為了更全面的了解方程的特性，特別是所描述的物理方程的復(fù)雜行為，方程解的長(zhǎng)時(shí)間演化行為往往成為討論的重點(diǎn)內(nèi)容。因此，當(dāng)人們對(duì)如上問題解的適定性有了充分了解后，自然對(duì)于解的漸近性質(zhì)很感興趣。然而，關(guān)于此類方程解的漸近性質(zhì)的研究結(jié)果并不多見[13，14]。

參考文獻(xiàn)

[1]Greenberg，J.M.MacCamy，R.C.and Mizel，J.J.，On the existence，uniqueness and stability of the equationσ（ux）uxx+λuxxt=ρ0utt[J].J.Math.Mech.，1968，17，707-728.

[2]劉亞成，劉大成.方程utt=uxxt+σ（ux）x的初邊值問題、周期邊界問題與初值問題[J].數(shù)學(xué)年刊，1988，9A（4）：459-470.

[3]劉亞成.方程utt-Δut=f（u）的整體解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1989，9（2）：155-166.

[4]劉亞成，王鋒，劉大成.任意維數(shù)的強(qiáng)阻尼非線性波動(dòng)方程（I）-初邊值問題[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，1995，8（3）：262-266.

[5]楊志堅(jiān)，宋長(zhǎng)明.關(guān)于一類非線性發(fā)展方程整體解的存在性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1997，20（3）：321-331.

[6]Liu Y C，Zhao J S.Global existence and blow-up of Wk，p solutions for a class

of nonlinear wave equations with dispersive term[J].Nonlinear Analysis，62（2005）：45-63.

[7]尚亞東.方程utt-Δu-Δut-Δutt=f（u）的初邊值問題[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，23（23）：385-393.

[8]劉亞成，李曉媛.關(guān)于方程utt-Δu-Δut-Δutt=f（u）的某些注記[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2004，21（3）：1-2，6.

[9]楊志堅(jiān).兩類非線性數(shù)學(xué)物理模型方程的初邊值問題[D].鄭州大學(xué)，2000.

[10]Ikehata R.Some remarks on the wave equations with nonlinear damping and source terms. Nonlinear Analysis[J].Theory，Methods & Applications，1996，27（10）：1165-1175.

[11]Ono K.On Global Existence，Asymptotic Stability and Blowing Up of Solutions for Some Degenerate Non-linear Wave Equations of Kirchhoff Type with a Strong Dissipation[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences，1997，20（2）：151-177.

[12]Guowang C and Zhijian Y.Existence and nonexistence of global solutions for a class of nonlinear wave equations[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences，2000，23（7）：615-631.

[13]Linares F and Ponce G.Asymptotic Behavior of Solutions for the k-gKdV Equations[J].Introduction to Nonlinear Dispersive Equations.Springer New York，2015：191-214.

[14]Runzhang X.Asymptotic behavior and blow up of solutions for semilinear parabolic equations at critical energy level[J].Mathematics and Computers in Simulation，2009，80（4）：808-813.