張菁

（江蘇昆山陸家高級(jí)中學(xué)）

拓展思維，簡潔直觀
——向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用

張菁

（江蘇昆山陸家高級(jí)中學(xué)）

向量法作為當(dāng)前全新的解題方法，適用于高中數(shù)學(xué)中多種類型的問題解答，具有較為廣闊的實(shí)際運(yùn)用范圍。其中，包括空間幾何、不等式、代數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，都可將其實(shí)際運(yùn)用。利用向量法解題具備有效提升解題速度、降低題目難度、增強(qiáng)學(xué)習(xí)效率等優(yōu)勢(shì)，最大程度上減少對(duì)運(yùn)算能力需求、開闊學(xué)生的思維、拓展解題思路。教師在日常課堂教學(xué)中，需要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生利用向量法進(jìn)行各類問題的解決，使其更好地掌握這種全新的解題方法。針對(duì)向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行探討，通過如何妙用向量法進(jìn)行不同類型的問題解答，促使學(xué)生拓展思維，并且簡潔而直觀地解決難題。

向量法；高中數(shù)學(xué)；例題運(yùn)用

向量法作為如今高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，利用其可快速進(jìn)行高中空間幾何、代數(shù)等具有較高解答難度的問題分析與解決，可促使學(xué)生有效深入向量知識(shí)之中，更好地掌握其實(shí)際運(yùn)用，也可全面提升學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解題思維與技巧。對(duì)此，就需要針對(duì)高中數(shù)學(xué)向量知識(shí)進(jìn)行更加全面的了解，重點(diǎn)分析向量法在高中空間幾何、平面幾何與三角函數(shù)等知識(shí)與問題的實(shí)際運(yùn)用，借此提升學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)題目的解答與向量知識(shí)的掌握。

一、高中數(shù)學(xué)向量的基本內(nèi)容和作用

向量知識(shí)在過去數(shù)百年間一直為無數(shù)物理學(xué)家與數(shù)學(xué)家的主要研究項(xiàng)目，到了全新的時(shí)代中，向量已經(jīng)成為一項(xiàng)必須的數(shù)學(xué)知識(shí)，在我國的數(shù)學(xué)教育歷史中，向量知識(shí)的引入已有數(shù)十年的歷史，這不僅作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)的難點(diǎn)與重點(diǎn)，也是高考知識(shí)中的一項(xiàng)重要組成部分。

向量可以表示物體之間的位置所在，而包括立體幾何、空間幾何等知識(shí)的主要內(nèi)容都是針對(duì)物體的位置與形狀進(jìn)行探討，所以，向量知識(shí)也可從幾何學(xué)的角度進(jìn)行思考與學(xué)習(xí)。向量本身是用于描述長度的存在，可通過其進(jìn)行物體的了解，包括其面積、體積、高度、寬度等，這是一項(xiàng)重要的幾何知識(shí)基礎(chǔ)。向量具有方向特性，可利用其表示平面、直線等內(nèi)容的位置關(guān)系。在進(jìn)行代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，涉及加、減、乘、除的運(yùn)算，也可將向量融入代數(shù)運(yùn)算的過程中，所以向量運(yùn)算可以解決代數(shù)問題。向量本身代表一段具有方向的線段，通過其可進(jìn)行實(shí)際位置的確定。在進(jìn)行幾何問題的解答時(shí)，幾何圖形所具備的性質(zhì)、長度與角度的計(jì)算都需要具有方向的線段作為解題基礎(chǔ)，同時(shí)，針對(duì)角度、直角與三角函數(shù)等內(nèi)容的解答也需要使用向量知識(shí)作為運(yùn)算基礎(chǔ)。因此，使用向量法可以有效提升學(xué)生的解題效率與學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，所以，只有真正掌握向量知識(shí)與其實(shí)際應(yīng)用，才能真正幫助學(xué)生更好地提升數(shù)學(xué)解題能力，不會(huì)在視數(shù)學(xué)為愁苦的科目，而是真正地喜歡上，并愿意為自主學(xué)習(xí)。

二、向量法在立體幾何中的實(shí)際運(yùn)用

向量法在立體幾何中的實(shí)際運(yùn)用，與平面幾何中的實(shí)際運(yùn)用方法是相同的，不過需要增加立體幾何的形態(tài)想象，也就是空間想象。這種想象會(huì)促使學(xué)生在進(jìn)行過去的幾何問題解決時(shí)產(chǎn)生一定難度與偏差，對(duì)此，需要通過向量法將立體幾何問題進(jìn)行簡化，降低難度，以便于快速找到問題解決方案。

舉例：如下圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E作為DD1的中點(diǎn)，而C1D1中是否存在F，可以促使B1F//A1BE，并進(jìn)行相應(yīng)的證明及解答。利用向量法進(jìn)行問題的解決。

證明：利用點(diǎn)A作為坐標(biāo)原點(diǎn)，構(gòu)建坐標(biāo)系，假設(shè)正方形的每條棱長為2，可得出A（10，0，2），B（12，0，2），B（2，2，0），E（0，2，1），=（-2，2，1），=（-2，0，2）。假設(shè)面BEA的法向量為=（x，y，

1z），因此·=-2x+2y+z=0，而·=0。在棱CD中假設(shè)一點(diǎn)

11

1100=2x（x-2）+2x=2x［（x-2）+1］=0。因此，x=1，可證明CD中20220011存在點(diǎn)F，即B1F//A1BE。

三、向量法在三角函數(shù)中的實(shí)際運(yùn)用

通過向量法在三角函數(shù)中的實(shí)際運(yùn)用，可用其證明三角函數(shù)中正余弦的兩角和與差。

舉例：假設(shè)cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

證明：假設(shè)（e1，e2）作為平面中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，A、B作為平面中的單位向量，A與e1的夾角為α，B與e2的夾角為β，并且α＞A向量位于（e1，e2）中的坐標(biāo)為（cosα，sinβ），向量B則位于（e1，e2）中的坐標(biāo)為（cosα，sinβ），則可說明|A|=|B|=1，因此，|A|·|B|·cos（α-β）= cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ可證明，在三角函數(shù)的題目中運(yùn)用向量法進(jìn)行問題的解決，可以令問題更加直觀與簡潔，促使學(xué)生更快更高效地完成題目的解決。

利用向量法進(jìn)行解題，可增強(qiáng)解題思維與視角多元化，促使題目更加簡潔直觀，令學(xué)生可以在解題中簡化思維過程、最大限度地減少運(yùn)算量，可以說，這正是新課程改革的需要所在，也作為學(xué)生提升自身的重要基礎(chǔ)。同時(shí)，向量法可以實(shí)際運(yùn)用的類型不僅限于上述內(nèi)容，也包括三角函數(shù)的正余弦定理、函數(shù)公式等內(nèi)容，都可利用向量法作為解題基礎(chǔ)進(jìn)行證明與解析，對(duì)此，教師更應(yīng)當(dāng)在日常教學(xué)中不斷活用向量法，進(jìn)行更多類型的題目講解與訓(xùn)練，令學(xué)生可以以最佳的狀態(tài)面對(duì)高考，也可減輕平日里學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，是一件真正有益于學(xué)生的學(xué)習(xí)方法。

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正方體

·編輯謝尾合