高海燕, 蔡遠(yuǎn)利, 唐偉強(qiáng)

(1.廈門理工學(xué)院 福建省高電壓技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 福建 廈門 361024;2.西安交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院, 陜西 西安 710049;3.蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

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基于LMI的高超聲速飛行器滑模預(yù)測控制

高海燕1, 蔡遠(yuǎn)利2, 唐偉強(qiáng)3

(1.廈門理工學(xué)院 福建省高電壓技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 福建 廈門 361024;2.西安交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院, 陜西 西安 710049;3.蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

針對高超聲速飛行器非線性、多約束、快時(shí)變等特點(diǎn),提出了一種基于線性矩陣不等式的滑模預(yù)測控制方法。首先設(shè)計(jì)系統(tǒng)的滑模面,然后對滑模面進(jìn)行預(yù)測并將其作為優(yōu)化性能指標(biāo),通過Schur補(bǔ)引理將控制律的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題。該方法避免了常規(guī)滑模控制的高頻切換,有效地克服了抖振現(xiàn)象。此外,相對于傳統(tǒng)的滑模預(yù)測控制方法,該方法不需要額外計(jì)算終端約束條件和終端代價(jià)函數(shù),只需要通過選取合適的李雅普諾夫函數(shù)即可保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,且其加權(quán)矩陣和控制律是同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的,簡化了設(shè)計(jì)過程。仿真試驗(yàn)表明,相比于單純的預(yù)測控制和滑?？刂?所提出的方法具有更好的跟蹤性能。

線性矩陣不等式; 滑模預(yù)測控制; 漸近穩(wěn)定; 高超聲速飛行器

0　引言

高超聲速飛行器是指飛行速度在5倍聲速以上,在大氣層或跨大氣層實(shí)現(xiàn)高速遠(yuǎn)程飛行的飛行器[1]。與傳統(tǒng)飛行器相比,由于采用機(jī)體/發(fā)動機(jī)一體化技術(shù)使其彈性機(jī)體、推進(jìn)系統(tǒng)以及結(jié)構(gòu)動態(tài)之間的耦合更強(qiáng),系統(tǒng)的非線性更強(qiáng),并且運(yùn)行環(huán)境更加復(fù)雜,飛行過程中氣熱、氣動特性變化更劇烈,迎角和舵偏等受到嚴(yán)格的約束條件限制。因此,對其進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)更具挑戰(zhàn)性,其控制系統(tǒng)必須在保證輸入和狀態(tài)在給定約束范圍的同時(shí)具有較強(qiáng)的魯棒性[2]。

滑?？刂谱鳛橐环N特殊的非線性控制方法,其主要優(yōu)勢是對匹配的不確定性干擾能夠精確補(bǔ)償?；？刂埔呀?jīng)得到了理論界的重視[3-7]和工業(yè)界的青睞,如機(jī)械臂控制[8]、飛行器控制[9]、電機(jī)控制[10]等。然而,滑?？刂葡到y(tǒng)中的高頻振蕩,即抖振現(xiàn)象,制約了該方法的進(jìn)一步推廣及應(yīng)用。此外,滑模控制不具備約束處理能力,而且對不匹配干擾無法精確補(bǔ)償,即會喪失完全魯棒性[11]。

預(yù)測控制是一類新型的計(jì)算機(jī)控制方法,包含預(yù)測模型、滾動優(yōu)化和反饋校正三大要素,其主要優(yōu)勢之一是能夠有效地處理各種約束[12]。為了克服滑?？刂频牟蛔?發(fā)揮預(yù)測控制的優(yōu)勢,將預(yù)測控制的三大要素引入到滑?？刂浦?形成了一種新的控制方法,即滑模預(yù)測控制?；ｎA(yù)測控制繼承了滑模變結(jié)構(gòu)控制的強(qiáng)魯棒特性和預(yù)測控制的約束處理能力,近年來受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[13-15]。在現(xiàn)有的滑模預(yù)測控制研究中,大部分只強(qiáng)調(diào)其消除抖振的能力,而忽略了預(yù)測控制的約束處理能力,即在控制律求解中忽略控制和狀態(tài)的約束條件限制,得到解析形式的滑模預(yù)測控制律。此外,現(xiàn)有的滑模預(yù)測控制均需要設(shè)計(jì)終端代價(jià)函數(shù)和終端約束條件來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,但是終端代價(jià)函數(shù)和終端約束條件的計(jì)算是比較困難的,會大大增加預(yù)測控制律的優(yōu)化計(jì)算時(shí)間。

為此,本文根據(jù)高超聲速飛行器受到的約束條件限制,同時(shí)考慮現(xiàn)有滑模預(yù)測控制穩(wěn)定性約束中的終端約束條件計(jì)算比較困難問題,提出一種基于線性矩陣不等式的滑模預(yù)測控制方法。

1　問題描述

本文以NASA Langley研究中心公開的高超聲速飛行器縱向模型為研究對象[2],其典型的非線性運(yùn)動方程為:

(1)

式中:V為速度;γ為彈道傾角;H為飛行高度;α為迎角;q為俯仰角速率。

本文采用文獻(xiàn)[2]中給出的公開數(shù)據(jù)。在平衡巡航條件(V0=4 590.3 m/s,H0=33 528 m,γ0=0°,q0=0°)下,α0=1.79°時(shí)的力和力矩系數(shù)表達(dá)式如下:

(2)

其他參數(shù),如轉(zhuǎn)動慣量Iyy、質(zhì)量m、地球半徑RE等見文獻(xiàn)[2]。

采用二階系統(tǒng)來對發(fā)動機(jī)進(jìn)行建模,即:

(3)

式中:ζ為二階系統(tǒng)的阻尼;ωn為二階系統(tǒng)的頻率。

高超聲速飛行器的控制目標(biāo)是在受到控制和狀態(tài)約束的條件下,通過調(diào)節(jié)升降舵偏轉(zhuǎn)角δe和發(fā)動機(jī)節(jié)流閥指令βc,使得飛行器的速度和高度跟蹤給定的參考信號。

2　滑模預(yù)測控制器設(shè)計(jì)

2.1滑模預(yù)測模型

忽略發(fā)動機(jī)動態(tài)過程,將高超聲速飛行器的縱向非線性模型式(1)在平衡巡航條件下進(jìn)行小擾動線性化,可得:

(4)

式中:x=[ΔV,Δγ,ΔH,Δα,Δq]T為狀態(tài)向量,ΔV=V-V0,Δγ=γ-γ0,ΔH=H-H0,Δα=α-α0,Δq=q-q0;u=[Δβ,Δδe]T為控制向量。

假設(shè)高超聲速飛行器受到的控制和狀態(tài)約束條件為:

(5)

在滑模預(yù)測控制中,需要建立控制對象的預(yù)測模型。把速度和高度作為輸出,將小擾動線性化模型式(4)離散化,得到:

(6)

(7)

滑模面是與跟蹤誤差e(k)有關(guān)的,其設(shè)計(jì)可以參考文獻(xiàn)[16]。根據(jù)文獻(xiàn)[16]得到的滑模面為:

(8)

則滑模預(yù)測模型為:

(9)

2.2反饋控制律設(shè)計(jì)

定義無窮時(shí)域性能指標(biāo):

(10)

式中:s為式(9)得到的滑模預(yù)測模型。

式(10)的性能指標(biāo)可以寫成兩部分之和,即:

(11)

定義二次函數(shù):

(12)

如果滿足條件

V(e(k+i+1/k))-V(e(k+i/k))≤

(13)

則V(e(k+i/k))→0,i→∞。把式(13)從i=N加到i=∞,得到:

(14)

由滑模預(yù)測模型式(9)得到:

(15)

其中:

將式(15)代入式(11)的第2式,得到:

(16)

其中:

把式(14)代入式(11)的第3式,得到:

(17)

為了對控制律進(jìn)行求解,可以采用矩陣的Schur補(bǔ)引理[17]將上面的約束條件化為線性矩陣不等式。

基于式(17),如果滿足如下條件:

(18)

則J∞(k)≤γ1+γ2,因此,反饋控制律可以通過最小化性能指標(biāo)上界γ1+γ2得到。

將式(16)代入式(18)第1式,有:

(G1e(k)+H1U)TW1(G1e(k)+H1U)+

(19)

采用Schur補(bǔ)引理,式(19)等價(jià)于:

(20)

將式(12)代入式(18),并由式(9)有:

(21)

(22)

則:

(23)

將式(23)代入式(21),并令Q=P-1,得:

(24)

假定預(yù)測域N之后的控制律為狀態(tài)反饋形式,即:

u(k+i|k)=F(k)e(k+i|k),i≥N

(25)

將式(9)和式(25)代入式(13),得到:

(26)

要使上式成立,只要:

(A+BF)TP(A+BF)-P+FTRF+

(27)

即可。

將Q=P-1代入式(27),得:

(28)

將上式左右同時(shí)乘以Q,并令Y=FQ,可得:

(AQ+BY)TQ-1(AQ+BY)-Q+YTRY+

(29)

采用Schur補(bǔ)引理將式(29)轉(zhuǎn)化為如下線性矩陣不等式:

(30)

可以根據(jù)文獻(xiàn)[18] 將控制與狀態(tài)的約束條件式(5)轉(zhuǎn)化為:

(31)

式中:a,b分別為狀態(tài)和控制的維數(shù);Ib×N為(b×N)×(b×N)的單位陣;Πm=[Im,…,Im]T;(xt,ut)為平衡點(diǎn)處的狀態(tài)和控制;G,H是根據(jù)式(6)得到的,有:

綜上,反饋控制律的計(jì)算轉(zhuǎn)化為如下最小化問題:

若存在可行解,則得到控制量系列U,取第1個(gè)控制量作用于系統(tǒng)。

3　仿真結(jié)果及分析

以高超聲速飛行器縱向非線性模型為仿真對象,在前文的平衡巡航條件下,假定從0時(shí)刻起分別給定飛行速度及飛行高度參考信號為Vr=30.48 m/s和Hr=30.48 m的階躍信號。考慮迎角和控制的約束條件為:-4°≤α≤8°,0°≤β≤3°,-20°≤δe≤20°。在控制器設(shè)計(jì)中,選取滑模面加權(quán)矩陣Q=diag([1，1]),輸入加權(quán)矩陣R=diag([1，1]),預(yù)測時(shí)域和控制時(shí)域均為N=10。采用文獻(xiàn)[18]中的滑模控制方法和文獻(xiàn)[19]的預(yù)測控制方法進(jìn)行對比仿真,仿真結(jié)果如圖1～圖3所示。

從圖1和圖2可以看出:三種方法的速度和高度均能跟蹤給定參考信號,滑模面均收斂到0的領(lǐng)域內(nèi);采用本文方法具有更快的收斂速度,高度具有更平穩(wěn)的跟蹤性能,這是因?yàn)楸疚姆椒ńY(jié)合了滑模控制和預(yù)測控制的優(yōu)勢,充分利用了控制能量。

從圖3中可以看到,迎角和控制量均在給定約束范圍內(nèi),本文方法的控制不存在抖振現(xiàn)象,這是因?yàn)樘岢龅姆椒ㄊ峭ㄟ^優(yōu)化求解得到控制律,而無需像滑模控制那樣對控制律進(jìn)行切換,從而消除了滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象。

圖1　輸出跟蹤指令信號Fig.1　Output tracking the command signals

圖2　滑模面響應(yīng)曲線Fig.2　Sliding mode surface response curves

圖3　迎角和控制量變化曲線Fig.3　Variation of angle of attack and the controls

4　結(jié)束語

針對高超聲速飛行器受到的約束條件、滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象及其滑模預(yù)測控制的穩(wěn)定約束條件較難求解問題,提出了基于線性矩陣不等式的滑模預(yù)測控制方法。該方法將控制律的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題,避免了控制律的切換,從而消除了滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象。此外,控制律和李雅普諾夫函數(shù)的加權(quán)矩陣是同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的,簡化了設(shè)計(jì)過程。最后,將本文提出的方法與滑?？刂坪皖A(yù)測控制進(jìn)行對比仿真,驗(yàn)證了該方法的優(yōu)越性。

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(編輯：崔立峰)

Sliding mode predictive control for the hypersonic vehicle based on LMI

GAO Hai-yan1, CAI Yuan-li2, TANG Wei-qiang3

(1.High-voltage Key Laboratory of Fujian Province, Xiamen University of Technology,Xiamen 361024, China;2.School of Electronic and Information Engineering, Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049, China;3.School of Electrical and Information Engineering, Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050, China)

Considering the nonlinearity,multiple constraints and fast time-varying of hypersonic vehicle,we proposed a sliding mode predictive control strategy based on the linear matrix inequalities (LMIs). The sliding mode surface was designed first,and then it was predicted and regarded as the performance index. By using the Schur complement lemma,the design of the control law was converted to an optimization problem. Therefore, the frequent switching on the sliding surface was avoided and the chattering was suppressed. In addition,compared with the traditional sliding mode predictive control,the method does not need to calculate terminal constraints and terminal cost function additionally,and it only needs to choose suitable Lyapunov function to guarantee the stability of the system. And the weighted matrix and the control law are optimized simultaneously,which simplifies the design process. Simulations show that compared with the pure model predictive control and the sliding mode control,the proposed method has better tracking performance.

linear matrix inequalities (LMIs); sliding mode predictive control; asymptotic stability; hypersonic vehicle

2015-12-25;

2016-04-18; 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2016-05-18 13:49

國家自然科學(xué)基金資助(61308120，61463029)；廈門理工學(xué)院高層次人才項(xiàng)目資助(YKJ15022R)

高海燕(1986-)，女，福建龍巖人，講師，博士，研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)與控制、預(yù)測控制。

TJ765.2

A

1002-0853(2016)05-0049-05