田寶國(guó)　吳世永　宿德志

(海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部　山東 煙臺(tái)　264001)

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質(zhì)點(diǎn)沿豎直光滑曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)脫離約束點(diǎn)研究

田寶國(guó)吳世永宿德志

(海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部山東 煙臺(tái)264001)

利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程和機(jī)械能守恒定律，對(duì)質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)沿任意光滑曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)脫離曲線的條件進(jìn)行了研究，根據(jù)曲線方程的不同形式給出了質(zhì)點(diǎn)脫離約束時(shí)的一般公式，并通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證．

光滑曲線脫離約束牛頓運(yùn)動(dòng)定律

在質(zhì)點(diǎn)沿豎直平面內(nèi)光滑曲線自由下滑過(guò)程中，如果在某處質(zhì)點(diǎn)所受的支持力為零，則質(zhì)點(diǎn)就會(huì)脫離曲線的約束而運(yùn)動(dòng)．在一些教材中，主要針對(duì)曲線為圓和拋物線的情況進(jìn)行了討論[1，2]．本文利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程和機(jī)械能守恒定律以及各種曲線方程的曲率半徑公式，推導(dǎo)出了質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)沿任意光滑曲線自由下滑時(shí)脫離曲線約束的一般結(jié)論，給出了在各種曲線方程形式下質(zhì)點(diǎn)脫離曲線時(shí)的一般公式，并借此對(duì)圓、拋物線、正弦曲線等具體曲線的例子進(jìn)行了研究．

1　質(zhì)點(diǎn)脫離曲線的一般公式

(1)

圖1

其中，ρ為曲線在B點(diǎn)處的曲率半徑．當(dāng)質(zhì)點(diǎn)脫離曲線約束時(shí)，F(xiàn)N=0，于是得

(2)

根據(jù)機(jī)械能守恒定律

(3)

由式(2)和式(3)得到

(4)

其中

(5)

下面根據(jù)不同曲線方程的形式給出質(zhì)點(diǎn)脫離曲線約束時(shí)的一般表達(dá)式．

(1)若曲線方程為y=f(x)，則曲率半徑表達(dá)式為[3]

(6)

當(dāng)物體能夠脫離約束，曲線必為凸曲線，即

y″<0，為保證曲率半徑為正，則

(7)

由式(4)、(6)、(7)可得此時(shí)脫離曲線約束時(shí)滿足的方程為

1+y′2=2(y-y0)y″

(8)

(9)

由式(4)、(6)、(9)可得此時(shí)脫離曲線約束時(shí)滿足的方程為

(10)

即

(11)

(12)

(13)

式(8)、(11)和(13)即為在不同曲線方程形式下質(zhì)點(diǎn)脫離曲線約束時(shí)滿足的表達(dá)式．

2　應(yīng)用舉例

(1)曲線為半徑為R的圓

圖2

若質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為

代入式(13)可得

3cosα=2

(2)橢圓

圖3

質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為

設(shè)質(zhì)點(diǎn)從最高點(diǎn)y0=b處由靜止下滑．由軌跡方程可得

代入式(11)可得方程

其根的判別式為

所以方程有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)復(fù)根，實(shí)根表達(dá)式即為質(zhì)點(diǎn)下滑時(shí)脫離曲線的位置，根據(jù)一元三次代數(shù)方程求根卡爾丹公式[3]可得質(zhì)點(diǎn)脫離曲線約束時(shí)的解為

(3)拋物線

圖4

質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為

設(shè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)O由靜止開(kāi)始下滑，由軌跡方程可得

y′=-2axy″=-2a

代入式(8)得到

2ax=0

因?yàn)閤>0，所以方程無(wú)解，說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)自由下滑過(guò)程中不會(huì)脫離該拋物線．

(4)正弦曲線

質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為

y=asinx

a2sin2x-2a2sinx+a2+1=0

圖5

根據(jù)本文結(jié)論，可對(duì)任意形狀的平面曲線，如雙曲正弦線、普通擺線等進(jìn)行研究，在此不再贅述．

1李書(shū)民. 經(jīng)典力學(xué)概論.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 2007.13～14

2周衍柏. 理論力學(xué)教程. 北京： 高等教育出版社, 2010.

73～74

3數(shù)學(xué)手冊(cè)編寫(xiě)組.數(shù)學(xué)手冊(cè).北京：高等教育出版社,2009.88,378

2015-03-23)