吳瑞潛　邵曉蓉

(紹興文理學(xué)院　土木工程學(xué)院，浙江　紹興312000)

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考慮自重影響的等強(qiáng)度梁彎曲正應(yīng)力及撓度誤差分析

吳瑞潛邵曉蓉

(紹興文理學(xué)院土木工程學(xué)院，浙江紹興312000)

利用材料力學(xué)方法推導(dǎo)出考慮自重影響的等強(qiáng)度梁彎曲正應(yīng)力及撓度的精確解，得到忽略梁自重引起的設(shè)計(jì)誤差.研究等強(qiáng)度梁應(yīng)力及撓度的誤差問(wèn)題，通過(guò)算例分析誤差的影響因素及其變化規(guī)律.結(jié)果表明，最大彎曲正應(yīng)力及撓度的絕對(duì)誤差均與荷載大小無(wú)關(guān)，但與橫截面位置有關(guān)；兩者的相對(duì)誤差與荷載大小與橫截面位置有關(guān)，但變化規(guī)律不同.

等強(qiáng)度梁；彎曲正應(yīng)力；撓度；誤差

等強(qiáng)度梁，即滿足梁各個(gè)橫截面上的最大正應(yīng)力都相等，并達(dá)到材料的許用應(yīng)力.為保證等強(qiáng)度，設(shè)計(jì)時(shí)通常忽略重力影響，考慮梁橫截面抗彎剛度沿梁軸線變化，抗彎剛度沿空間位置而變化的梁通常稱為變剛度梁.梁剛度變化包括兩個(gè)方面，一是截面幾何參數(shù)的變化，即橫截面大小、形狀變化，通常指變截面梁；二是材料參數(shù)的變化，如功能梯度材料、纖維增強(qiáng)復(fù)合材料等非均質(zhì)材料制成的梁.

梁的等強(qiáng)度設(shè)計(jì)是一種體積最小、滿足強(qiáng)度條件的最優(yōu)化設(shè)計(jì)，它廣泛應(yīng)用于土木、建筑等領(lǐng)域，在工程實(shí)際中具有重要的意義[1-3].等強(qiáng)度懸臂梁是力學(xué)實(shí)驗(yàn)中常用的教學(xué)設(shè)備，在靜動(dòng)態(tài)測(cè)試中應(yīng)用比較廣泛.靜態(tài)實(shí)驗(yàn)如電阻應(yīng)變片靈敏系數(shù)測(cè)定、應(yīng)變組橋?qū)嶒?yàn)等，動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)如動(dòng)特性與動(dòng)應(yīng)力綜合性實(shí)驗(yàn)、沖擊動(dòng)應(yīng)力動(dòng)荷系數(shù)及固有頻率測(cè)試實(shí)驗(yàn)[4-6].變截面梁相關(guān)彈塑性分析方面，目前已有不少研究成果.比如李學(xué)軍等人[7]建立了一種適用于軸向變剛度超靜定梁彈性分析的通用力學(xué)模型；仲政等人[8]假定功能梯度材料的彈性模量沿梁截面高度梯度變化，提出了等截面梁彈性分析的解析解；張靖華等人[9]考慮梁橫截面尺寸和材料參數(shù)沿長(zhǎng)度梯度變化，應(yīng)用微分求積法分析了變截面功能梯度梁的彈性彎曲；聶國(guó)雋等人[10]假定矩形截面梁的材料為非均勻的各向同性的理想彈塑性材料，在小變形前提下研究了軸向變剛度梁的彈性及彈塑性彎曲問(wèn)題，導(dǎo)出了截面高度及材料的彈性模量沿梁長(zhǎng)度方向按照特殊函數(shù)變化時(shí)梁彈性及彈塑性變形的解析解.

在計(jì)算等強(qiáng)度懸臂梁彎曲正應(yīng)力和撓度時(shí)，忽略梁的自重，即把梁近似看成等高度、變寬度、無(wú)重量的懸臂梁，這樣的計(jì)算結(jié)果與考慮自重時(shí)一定會(huì)有誤差.本文考慮梁是均勻、連續(xù)并有自重：重度為一定值，并且處處相同.利用材料力學(xué)方法推導(dǎo)出考慮自重影響的等強(qiáng)度梁彎曲正應(yīng)力及撓度的精確解，并與忽略自重影響的情況進(jìn)行了對(duì)比.

1　問(wèn)題的描述

1.1基本假設(shè)

考慮一矩形截面變剛度懸臂梁，形狀、幾何尺寸如圖1所示.梁截面高度為h，寬度沿梁軸線方向線性關(guān)系變化，可用式(1)表示.梁的材料為均勻、密實(shí)、各向同性的理想彈性材料，拉伸與壓縮具有相同的性能，且不考慮剪切對(duì)變形及屈服的影響.在變形過(guò)程中梁符合平截面假定和小撓度假定.考慮自重時(shí)等強(qiáng)度梁所受荷載圖如圖2所示.

bx/x=b/L

(1)

圖1　等強(qiáng)度梁幾何尺寸示意圖

圖2　考慮自重時(shí)等強(qiáng)度梁所受荷載圖

圖中,符號(hào)意義如下，其中q(x)、q的表達(dá)式分別為式(2)和式(3).

P為等強(qiáng)度梁上施加的荷載；L為等強(qiáng)度梁的總長(zhǎng)度；b為等強(qiáng)度梁固定端的寬度；h為等強(qiáng)度梁的平均厚度；x為指定截面或百分表測(cè)點(diǎn)截面到加載點(diǎn)的距離；bx為等強(qiáng)度梁在位置x處的寬度；q(x)為對(duì)應(yīng)于x距離截面處荷載分布函數(shù)；q為固定端截面處荷載分布函數(shù).

(2)

q=γbh

(3)

式中，γ為等強(qiáng)度梁鋼材的重度.

1.2基本方程

對(duì)于等強(qiáng)度懸臂梁，受豎向荷載(集中力、分布力)時(shí)，梁上側(cè)受拉，最大彎曲正應(yīng)力σmax位于橫截面上邊緣，為拉應(yīng)力，根據(jù)材料力學(xué)理論，可用下式計(jì)算：

(4)

當(dāng)變剛度梁處于彈性變形狀態(tài)時(shí)，梁上任一點(diǎn)的撓度可用撓曲線近似微分方程表示：

EI(x)w″(x)=-M(x)

(5)

2　問(wèn)題的求解

利用基本方程式(4)和式(5)，以及相關(guān)條件，可得到考慮自重時(shí)等強(qiáng)度梁最大彎曲正應(yīng)力及撓度解析表達(dá)式，以下是簡(jiǎn)單的推導(dǎo)過(guò)程.

2.1最大彎曲正應(yīng)力

將彎曲截面系數(shù)及彎矩方程代入式(4)，可得梁截面上最大彎曲正應(yīng)力表達(dá)式：

(6)

當(dāng)忽略自重時(shí)，即取γ=0，此時(shí)梁截面上最大彎曲正應(yīng)力為：

(7)

上式即為等強(qiáng)度梁上任一點(diǎn)最大彎曲正應(yīng)力的近似理論計(jì)算值，它與加載值大小有關(guān)，但與梁橫截面位置x無(wú)關(guān).

2.2撓度

將慣性矩及彎矩方程代入撓曲線近似微分方程，即式(5)，并利用式(2)，化簡(jiǎn)可得

(8)

(9)

當(dāng)忽略自重時(shí)，即取γ=0，此時(shí)撓度為：

(10)

上式即為等強(qiáng)度梁上任意橫截面的撓度的近似理論計(jì)算值，它與加載值及梁橫截面位置x有關(guān).

3　算例分析

根據(jù)上述彎曲正應(yīng)力、撓度的精確解，可與忽略自重影響的近似解進(jìn)行相關(guān)誤差分析等比較.考慮實(shí)驗(yàn)室等強(qiáng)度梁的相關(guān)參數(shù)如下：L=300 mm，b=46 mm，h=3.2 mm，E=2.06×105MPa，此外，梁的材料為鋼材，取鋼材密度為7.85g/cm3，則其重度為γ=76.93kN/m3.

比較式(6)及式(7)，可得最大彎曲正應(yīng)力絕對(duì)誤差：

(11)

顯然，絕對(duì)誤差與橫截面位置x有關(guān)(γ、h為定值)，而與荷載大小無(wú)關(guān).

同樣，比較式(9)及式(10)，可得撓度絕對(duì)誤差：

(12)

顯然，絕對(duì)誤差與橫截面位置x有關(guān)(γ、E、h、L為定值)，而與荷載大小無(wú)關(guān).

根據(jù)上述算例，可畫出以下圖線：彎曲正應(yīng)力絕對(duì)誤差-位置曲線(圖3)；荷載-彎曲正應(yīng)力-相對(duì)誤差曲線(圖4)；應(yīng)力相對(duì)誤差-位置曲線(圖5)；撓度絕對(duì)誤差-位置曲線(圖6)；荷載-撓度相對(duì)誤差曲線(圖7)；撓度相對(duì)誤差-位置曲線(圖8).

對(duì)于彎曲正應(yīng)力，由圖3看出，隨橫截面位置x增大，絕對(duì)誤差呈拋物線變化，并逐漸增大，在固定端x=300 mm處，絕對(duì)誤差值最大，但不超過(guò)2.5 MPa.對(duì)于圖4、圖5，相對(duì)誤差隨著橫截面位置x的增大而增大，但一般不會(huì)超過(guò)11%；施加的荷載越大，相對(duì)誤差減小.一般實(shí)驗(yàn)選取橫截面位置x不超過(guò)200 mm，絕對(duì)誤差值不大于1 MPa，相對(duì)誤差一般不超過(guò)5%，完全可以滿足工程及實(shí)驗(yàn)室的精度要求，因此可以說(shuō)是名副其實(shí)的“等強(qiáng)度”懸臂梁.

對(duì)于撓度，由圖6可知，隨橫截面位置x增大，絕對(duì)誤差呈非線性減小，在x=300 mm處即固定端，絕對(duì)誤差為零；由圖7、圖8可知，隨著橫截面位置x增大，相對(duì)誤差也增大，但不會(huì)超過(guò)10%，荷載越小相對(duì)誤差越大，荷載越大，相對(duì)誤差較小并且變化不大.與彎曲正應(yīng)力相比，相對(duì)誤差值略大一些，表明橫截面位置x的變化對(duì)撓度影響要大于彎曲正應(yīng)力.當(dāng)處于一般檢測(cè)位置即x不超過(guò)200 mm時(shí)，相對(duì)誤差在10%以內(nèi)，一般可以滿足精度要求.

總之，對(duì)于一般檢測(cè)位置，彎曲正應(yīng)力的相對(duì)誤差一般在5%左右或以內(nèi)，而對(duì)于撓度還要考慮荷載不是太小，那么撓度的相對(duì)誤差也可變得很小.因此，一般情況下，彎曲正應(yīng)力及撓度均認(rèn)為可滿足工程及實(shí)驗(yàn)室的精度要求.

圖3　應(yīng)力絕對(duì)誤差與位置曲線

圖4　荷載-應(yīng)力相對(duì)誤差曲線

圖5　應(yīng)力相對(duì)誤差與位置曲線

圖6　撓度絕對(duì)誤差與位置曲線

圖7　荷載-撓度相對(duì)誤差曲線

圖8　撓度相對(duì)誤差與位置曲線

4　結(jié)論

(1)利用材料力學(xué)方法推導(dǎo)出考慮自重影響的等強(qiáng)度梁彎曲正應(yīng)力及撓度的精確解，顯示了忽略梁自重引起的設(shè)計(jì)誤差，為忽略梁自重的設(shè)計(jì)方法提供了理論依據(jù).

(2)最大彎曲正應(yīng)力的絕對(duì)誤差與荷載大小無(wú)關(guān)，但與橫截面位置x有關(guān)，并隨x增大而增大；當(dāng)橫截面位置x一定時(shí)，相對(duì)誤差隨荷載增大而減小.

(3)當(dāng)?shù)葟?qiáng)度梁重度、彈性模量、梁高一定時(shí)，撓度的絕對(duì)誤差與荷載大小無(wú)關(guān)，但與橫截面位置x有關(guān)并隨x增大而減小.

(4)對(duì)于一般檢測(cè)位置，彎曲正應(yīng)力及撓度的誤差一般在5%左右或以內(nèi)，可滿足實(shí)驗(yàn)及工程精度要求.

[1]吳瑩,俞煥然,邢靜忠.單鉸柔韌性機(jī)器人手臂的體積優(yōu)化[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào),1998(3):39-43.

[2]張愛(ài)國(guó)，陳忠會(huì)，馬書(shū)堯．用邊界元法進(jìn)行等強(qiáng)度梁的形狀優(yōu)化[J]．河北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1997(1):76-81．

[3]李清祿.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等強(qiáng)度超靜定梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2005,17(3):16-19.

[4]姚恩濤，胡明敏．應(yīng)用《理論力學(xué)》與《材料力學(xué)》知識(shí)的實(shí)驗(yàn)方案[J]．實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2003，22(2)：13-14．

[5]郭迎福，劉權(quán)，張?jiān)嚼?，等．基于聲卡和LabVIEW的等強(qiáng)度懸臂梁固有頻率測(cè)試[J]．實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2009，28(11)：36-38．

[6]邱艷宇，趙躍堂，張虹.等強(qiáng)度懸臂梁自振頻率計(jì)算與實(shí)驗(yàn)研究[J].實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù)，2014，12(2)：26-28.

[7]李學(xué)軍，朱萍玉，劉義倫．復(fù)雜載荷下變剛度靜不定梁程序化求解[J]．工程力學(xué)，2003，20(4)：116-121.

[8]仲政，于濤．功能梯度懸臂梁彎曲問(wèn)題的解析解[J]．同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，34(4)：443-447.

[9]張靖華，龔云，李世榮．微分求積法求解變截面功能梯度梁的彎曲問(wèn)題[J]．甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2010，22(1)：14-17.

[10]聶國(guó)雋，徐敏，仲政.軸向變剛度矩形截面梁的彈性及彈塑性彎曲[J].中國(guó)科學(xué)(物理學(xué)力學(xué)天文學(xué))，2011(1):86-93.

(責(zé)任編輯王海雷)

Error Analysis of Bending Normal Stress and Deflection in Equal Strength Beam with Beam Weight Considered

Wu RuiqianShao Xiaorong

(School of Civil Engineering, Shaoxing University, Shaoxing, Zhejiang 312000)

The mechanics of materials method is applied to derive the accurate solutions to bending normal stress and deflection of equal strength beam considering its weight. The solutions show that the design error is caused by ignoring the weight of the beam. Such error problems as bending normal stress and deflection of equal strength beam were studied. The affecting factors and the variation law of the error were analyzed via an example. The results show that absolute errors of maximum bending normal stress and deflection are independent of the load size, but are related to the position of cross section. Their relative error is associated with the load size and the position of cross section, but with a different variation law.

equal strength beam; bending normal stress; deflection; error

2016-04-16

國(guó)家青年基金項(xiàng)目(編號(hào)：41202222)

吳瑞潛(1972-)，男，安徽潛山人，博士，講師，主要研究方向：土力學(xué)及地基處理.

10.16169/j.issn.1008-293x.k.2016.08.02

TU311.4;TU323.3

A

1008-293X(2016)08-0009-04