鄭江松

（湖北工業(yè)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，湖北武漢430068）

基于季節(jié)性ARIMA模型的河流觀測(cè)點(diǎn)流量的時(shí)序分析

鄭江松

（湖北工業(yè)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，湖北武漢430068）

采用季節(jié)性ARIMA模型擬合1960～2009年某河流觀測(cè)點(diǎn)流量。通過(guò)比較，得到ARIMA（1，0，0）×ARIMA（0，1，1）12模型，并用這一模型預(yù)測(cè)2010年1～12月的流量，預(yù)測(cè)效果顯著。

流量；ARIMA模型；差分；時(shí)間序列

河流流量是指單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一過(guò)水?dāng)嗝娴乃?。影響河流流量的因素很多，包括雨水、融水、支流補(bǔ)充、流域內(nèi)植被分布、人類利用等方面，其變化趨勢(shì)既存在確定性，也存在不確定性因素影響，目前很難通過(guò)數(shù)值模擬準(zhǔn)確預(yù)測(cè)某個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的流量［1-2］。筆者以某河流觀測(cè)點(diǎn)1960～2009年流量數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對(duì)流量時(shí)間序列進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，使用R軟件［3］進(jìn)行多次擬合試驗(yàn)，并比較了2010年實(shí)際流量與預(yù)測(cè)流量。

1　研究對(duì)象與數(shù)據(jù)來(lái)源

研究對(duì)象為甘肅省某河流某觀測(cè)點(diǎn)徑流量；本文中用到的原始數(shù)據(jù)來(lái)源于當(dāng)?shù)厮挠^測(cè)站1960～2009年實(shí)際觀測(cè)的數(shù)據(jù)。

2　分析方法

2.1季節(jié)性ARIMA模型原理

ARIMA模型是由統(tǒng)計(jì)學(xué)家Box與Jenkins共同提出的，也叫Box-Jenkins模型，旨在解決含有確定趨勢(shì)的非平穩(wěn)時(shí)間序列的建模問(wèn)題［4-5］?；舅枷胧牵?）通過(guò)差分，將非平穩(wěn)過(guò)程變?yōu)槠椒€(wěn)過(guò)程；2）進(jìn)行模式識(shí)別，建立最優(yōu)模型能夠描述這一過(guò)程；3）預(yù)測(cè)趨勢(shì)。

ARIMA模型分為ARIMA（p，d，q）模型和ARI-MA（p，d，q）×（P，D，Q）S季節(jié)乘積模型，前者用于擬合差分后具有短期相關(guān)性的時(shí)間序列，后者為具有季節(jié)性的時(shí)間序列建模。本文中所采用的模型為后者，其具體模型結(jié)構(gòu)如下：

式中：S為步長(zhǎng)。

2.2建模步驟

1）數(shù)據(jù)的初始操作，對(duì)序列進(jìn)行處理使其滿足模型假設(shè)，本文中對(duì)序列進(jìn)行了對(duì)數(shù)處理。

2）進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)序列是否平穩(wěn)。

3）由自相關(guān)和偏自相關(guān)分析得到季節(jié)性周期T。

4）對(duì)序列嘗試差分運(yùn)算，消除季節(jié)性影響，得到平穩(wěn)序列，從而確定出d和D。

5）模型的識(shí)別與定階根據(jù)自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)的形態(tài)，通過(guò)嘗試，確定p，q和P，Q，對(duì)于混合模型，很難明顯地對(duì)模型定階，因此在實(shí)際應(yīng)用中階數(shù)一般選擇0，1，2。通過(guò)不同的階數(shù)組合，根據(jù)其BIC值，選擇最為合適的p，q和P，Q值。

6）對(duì)未來(lái)趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

3　結(jié)果與分析

3.1數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性分析和初始處理

通過(guò)時(shí)序圖（圖1），可看出流量變化較大，具有明顯的季節(jié)周期性，而且年與年之間的差別也較大，因此可斷定流量為非平穩(wěn)時(shí)間序列，為了使數(shù)據(jù)波動(dòng)幅度基本穩(wěn)定，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，即

圖1　河流流量時(shí)序圖

圖2 a反映出自相關(guān)系數(shù)的衰減過(guò)程，其值衰減過(guò)程緩慢，呈現(xiàn)出明顯的正余弦波動(dòng)規(guī)律；圖2 b反映的是偏自相關(guān)函數(shù)的衰減過(guò)程，其值也沒(méi)有迅速衰減為0。

圖2　河流流量偏自相關(guān)圖

3.2對(duì)序列進(jìn)行差分處理

由于序列本身并不存在明顯的上升或者下降趨勢(shì)，僅具有季節(jié)性的周期性趨勢(shì)，對(duì)該序列進(jìn)行平穩(wěn)性處理，只需對(duì)序列進(jìn)行一次1階12步的差分處理，此時(shí)d為0，D為12。

圖3 a表明其自相關(guān)系數(shù)拖尾，12階出現(xiàn)較大的自相關(guān)系數(shù)，24階和36階的自相關(guān)系數(shù)也在2倍的標(biāo)準(zhǔn)差外；圖3 b表明其偏自相關(guān)系數(shù)1階迅速截尾，除了12階、24階和36階的偏自相關(guān)系數(shù)在2倍標(biāo)準(zhǔn)差外，其余大部分在2倍標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)。

圖3　1階12步差分后序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

3.3定階嘗試與檢驗(yàn)

根據(jù)1階12步差分后序列的自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖，可以嘗試根據(jù)最小BIC值找到最優(yōu)模型。

1）ARIMA（1，0，0）×ARIMA（0，1，2）12BIC統(tǒng)計(jì)量為775.69。

2）ARIMA（1，0，0）×ARIMA（0，1，3）12BIC統(tǒng)計(jì)量為775.86。

3）ARIMA（2，0，0）×ARIMA（0，1，2）12BIC統(tǒng)計(jì)量為780.56。

4）ARIMA（1，0，0）×ARIMA（0，1，1）12BIC統(tǒng)計(jì)量為770.32。

比較發(fā)現(xiàn)ARIMA（1，0，0）×ARIMA（0，1，1）12模型的BIC統(tǒng)計(jì)量最小，因此選擇這一模型。

3.4模型檢驗(yàn)

一個(gè)好的模型應(yīng)該滿足如下要求：1）標(biāo)準(zhǔn)化的殘差沒(méi)有波動(dòng)性聚集；2）殘差的自相關(guān)函數(shù)沒(méi)有顯著的自相關(guān)性；3）Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量的p值都高于顯著性水平，表明殘差沒(méi)有任何模式，模型中的信息已經(jīng)完全被提取，剩余的僅僅是噪聲。

通過(guò)R軟件的tsdiag函數(shù)產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖，殘差自相關(guān)圖和LB統(tǒng)計(jì)量圖。通過(guò)圖4可以發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化殘差沒(méi)有波動(dòng)率聚集；圖5的殘差自相關(guān)函數(shù)0階截尾，說(shuō)明殘差不存在自相關(guān)關(guān)系；圖6的LB統(tǒng)計(jì)量都在0.05的顯著性水平之上。從而可以斷定序列的信息被完全提取，剩余的僅僅是噪聲。

圖4　標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖

圖5　殘差自相關(guān)函數(shù)圖

圖6　LB統(tǒng)計(jì)量圖

3.5模型預(yù)測(cè)

根據(jù)上述所選的模型，估計(jì)出參數(shù)AR1為0.253 7，SMA1為-0.735 4。因此模型可以表示為

根據(jù)上述模型，該河流觀測(cè)點(diǎn)預(yù)測(cè)2010年1～12月流量數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。由表1可看出：對(duì)某河流觀測(cè)點(diǎn)月流量，使用季節(jié)乘積ARIMA模型建模，建立的ARIMA（1，0，0）×ARIMA（0，1，1）12模型預(yù)測(cè)效果顯著，因此所建立的模型具有一定的實(shí)際意義。

表1　根據(jù)模型所做的預(yù)測(cè)值、實(shí)際值和相對(duì)誤差

［1］安鴻志，陳兆國(guó)，杜金觀，等.時(shí)間序列的分析與應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，1983：124-150.

［2］楊位欽，顧嵐.時(shí)間序列分析與動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)建模［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，1988：163-189.

［3］J H Maindonald.Statistical Computation［M］.New York： John Wiley，1984：193-215.

［4］S M Pandit，Shien Ming Wu.Time Series and System Analysis with Applications［M］.New York：John Wiley，1983：142-165.

［5］Box G E P，Jenkins G M.Time Series Analysis，F(xiàn)orecasting and Control［M］.San Francisco：Holden Dovy，1970：157-182.

Time Series Analysis on Flow of Observation Point for a River Based on Season ARIMA Model

Zheng Jiangsong
（School of Electrical and Electronic Engineering，Hubei University of Technology，Wuhan 430068，China）

Flow of the observation point for a river from 1960 to 2009 was simulated with season ARIMA model.As a result，ARIMA（1，0，0）×ARIMA（0，1，1）12 model was obtained.Flow of the river in 2010 was alsoforecasted with themodel.Theresultsshowtheforecastingabilityofthemodelisstrong.

flow；ARIMA model；difference；time series

C81；O212

A

1008-5483（2016）03-0069-03

10.3969/j.issn.1008-5483.2016.03.016

2016-04-07

鄭江松（1991-），男，湖北武漢人，碩士生，從事應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的研究。E-mail：2107643098@qq.com