陳　星，徐加波，樊小琳

（新疆工程學(xué)院 基礎(chǔ)教研部，新疆 烏魯木齊 830091）

高等數(shù)學(xué)中的極限

陳星，徐加波，樊小琳

（新疆工程學(xué)院 基礎(chǔ)教研部，新疆 烏魯木齊 830091）

極限概念是高等數(shù)學(xué)的一個最基礎(chǔ)的概念。文章主要探討了極限的發(fā)展、科學(xué)內(nèi)涵，并且比較了Cauchy和Weierstrass關(guān)于極限的定義。最后討論極限中有關(guān)術(shù)語的含義及其易犯的錯誤。

極限；變量；無限變化；“［ε-N］”語言

極限是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是研究微分學(xué)和積分學(xué)的必備工具。微積分中的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)等概念都是建立在極限的基礎(chǔ)上。極限也是初學(xué)高等數(shù)學(xué)者遇到的第一個非常重要卻高度抽象難理解的概念。因為它用有限的形式來敘述變量無限變化的過程。但能否對數(shù)列極限概念有深刻的理解，直接關(guān)系到今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的成敗。

1　極限概念的發(fā)展

1.1樸素極限思想的萌芽

樸素極限思想的產(chǎn)生到嚴(yán)格極限概念的建立大約經(jīng)歷了兩千年。從公元前五世紀(jì)開始，一些古代的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家在研究關(guān)于無限性的哲學(xué)問題和數(shù)學(xué)問題時，已經(jīng)產(chǎn)生了一些樸素極限思想。如：古希臘雅典時期的形而上學(xué)學(xué)者Zeno在對無限性、連續(xù)性問題進(jìn)行探索時，提出了“神行太?！?，即Achilles永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)你Ｕ?，盡管這是一個明顯錯誤的結(jié)論，但在沒有極限概念的古代，這個問題是難以解釋清楚的；古希臘雅典時期的詭辯學(xué)派的代表人物Antiphon為解決“化圓為方”問題，首先提出了用圓的內(nèi)接正多邊形面積來逼近圓面積的思想，該思想后來被古希臘數(shù)學(xué)家Archimedes用于求拋物線圖形的面積；公元前3世紀(jì)，根據(jù)我國古代《莊子·天下篇》中記載，梁國宰相惠施說過：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其描述的也是一個趨于零而不等于零的無限過程；我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在對《九章算術(shù)》作注中提出“割圓術(shù)”作為計算圓周長、圓面積及圓周率的基礎(chǔ)，其思想也是用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓。

1.2極限概念的發(fā)展

17世紀(jì)下半葉，Newton和Leibniz在前人工作的基礎(chǔ)上，分別以運動學(xué)和幾何學(xué)為背景各自獨立創(chuàng)立了微積分。微積分的誕生和發(fā)展，不但迎來了數(shù)學(xué)上的一個空前繁榮的時期，而且大大拓展了數(shù)學(xué)的研究范圍。但是Newton和Leibniz建立的微積分是不嚴(yán)格的，其在發(fā)展和應(yīng)用過程中出現(xiàn)了很多錯誤和悖論。其中英國的唯心主義哲學(xué)家——G.Berkeley指出，Newton和Leibniz的微積分中包含了“偷換假設(shè)”的邏輯錯誤，他攻擊Newton流數(shù)論中關(guān)于無窮小量的混亂假設(shè)。他的批評是擊中要害的，問題的核心就是什么是無窮小量。而當(dāng)時Newton沒有能嚴(yán)格說清楚極限的含義。直到1821年和1823年Cauchy在《分析教程》和《無限小計算教程概論》中對極限給出了較為明確的定義。即，一個變量逐次所取的值無限趨近一個定值，最終使變量的值與該定值之差要多小就多小，那么最后這個定值就稱為所有其他值的極限。但極限的嚴(yán)格化概念最終應(yīng)歸功于德國數(shù)學(xué)家Weierstrass，他創(chuàng)造了一套ε-N（ε-δ）語言來建立極限的概念和理論。

2　極限概念的科學(xué)內(nèi)涵

3　數(shù)列極限的幾何意義

3.1在數(shù)軸上，|an- A|表示數(shù)列｛an｝的通項與A之間的距離，記作ρ（an，A），則數(shù)列極限也可簡單的寫成

從而定義從幾何上用距離ρ（an，A）的大小來刻畫an與A的接近程度。只要n充分大，由ε的任意性與距離不等式ρ（an，A）＜ε就刻畫了an與A能無限接近。

3.2在數(shù)軸上，|an-A|＜ε表示以A為中心，ε為半徑的開區(qū)間（A-ε，A+ε）。記為U（A，ε），則數(shù)列極限也可簡單的寫作

該定義表示，對于任給的ε＞0，總存在正整數(shù)N，使｛an｝中從N+1項開始的所有各項全部落入A的ε鄰域中，在此鄰域外最多只有｛an｝的前N項。只要n充分大，用鄰域U（A，ε）的大小來刻畫an與A的接近程度，用ε的任意性和an∈U（A，ε）來刻畫an與A能“無限接近”。

4　極限中各變量及術(shù)語的科學(xué)內(nèi)涵

為了加深對極限概念的理解，應(yīng)注意以下幾點：

4.1關(guān)于“ε”：ε（＞0）是任意給定的，可以任意小。給定之前是任意的，給定后就是一個常數(shù)，|an-A|＜ε刻畫an與A的接近程度。

4.2關(guān)于“N”：N（an的腳標(biāo)）是正整數(shù)，由ε確定，隨ε而變，保證了使|an-A|＜ε成立所需要的n變大的程度。但N不唯一，因此N不是ε的函數(shù)。

4.3關(guān)于“恒有”：表示從第N項后所有的an都滿足不等式|an-A|＜ε，不能只是有限項，也不能只是無限項，必須是全部。

4.4該定義只能用于驗證A是否為｛an｝的極限，不能用于求極限。

對于上述的問題，初學(xué)者常會產(chǎn)生一些模糊不清的問題，出現(xiàn)一些錯誤。例如：

4.4.2對無窮多個ε＞0，存在n∈N+，當(dāng)n＞N時，恒有|an-A|＜ε。

4.4.3對任給的ε＞0，存在n∈N+，當(dāng)n≥N時，有無限多項an，使得|an-A|＜ε成立。

4.4.5將定義中的恒有“|an-A|＜ε”改為“|an-A|≤ε”。

對于第4個注意點驗證的關(guān)鍵是對任意ε＞0，從滿足不等式|an-| A＜ε出發(fā)，通過解不等式的方法求得使該不等式成立的N。

Weierstrass在定義極限時，由于ε的任意性，極限的ε-N（ε-δ）定義才能刻畫極限的無限過程。但是，一旦ε給定以后，它就是一個確定的有限常數(shù)，因此求N∈N+，使得當(dāng)n＞N時，恒有|an-A|＜ε成立就是一個確定的有限過程。給ε，就可以求得相應(yīng)的N。由于ε是任意的，所以，這種有限過程就有無限多個，這樣就將極限的無限過程分為無限多個有限過程。而對于每個有限過程，由于ε是一個確定的有限常數(shù)，因此，就能用代數(shù)方法求得使不等式|an-A|＜ε成立的有限正整數(shù)N∈N+，從而完成有限過程。又由ε的任意性，在ε不斷變小的過程中就完成了對無限過程的刻畫。

［1］嚴(yán)芹.關(guān)于高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限教學(xué)的思考［J］.廊坊師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2013，2（13）：124-126.

［2］邢妍，趙若男.文化視角下的極限概念［J］.中國科技信息，2010，（15）：169-171.

［3］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社.

［4］馬知恩，王綿森.高等數(shù)學(xué)疑難問題選講［M］.北京：高等教育出版社.

Analyze the Concept of Limit in Advanced Mathematics

CHEN Xing，XU Jia-bo，F(xiàn)AN Xiao-lin
（Institute of Xinjiang Engineering，F(xiàn)undamental Department，Urumqi，Xinjiang，830091，China）

The limiting concept is one of the most basic concepts in the advanced mathematics.In this paper，we mainly discussed the development and scientific connotation of the limit，and compared the definition of Cauchy with Weierstrass.Finally，we discussed the meaning of related terms and the easily-made mistakes in limit.

Limit；Variable；Infinite variation；“［ε-N］”language

O423.1

A

1008-9659（2016）03-0041-03

2016-08-20

自治區(qū)青年科技創(chuàng)新人才培養(yǎng)工程（項目編號：qn2015bs013）；高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心2015教學(xué)改革項目（項目名稱：線性代數(shù)課程中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維、創(chuàng)新能力的研究與實踐）。

陳星（1982-），女，陜西西安人，博士研究生，主要從事圖論及其應(yīng)用研究。