張磊，李世雄，王哲，程春華

（1.海軍航空工程學(xué)院a.科研部，山東煙臺(tái)264001；b.青島校區(qū)，山東青島266041；2.海裝裝備采購中心，北京100071）

輸入無模型動(dòng)態(tài)擾動(dòng)非線性系統(tǒng)的反演控制

張磊1a，李世雄2，王哲1b，程春華1b

（1.海軍航空工程學(xué)院a.科研部，山東煙臺(tái)264001；b.青島校區(qū)，山東青島266041；2.海裝裝備采購中心，北京100071）

研究了輸入無模型動(dòng)態(tài)擾動(dòng)的不確定非線性系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定?；诳刂评钛牌罩Z夫函數(shù)，設(shè)計(jì)了反演控制律，利用自抗擾的思想，構(gòu)建擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器來處理輸入無模型動(dòng)態(tài)，仿真結(jié)果驗(yàn)證了本方法的有效性。文章提出的控制方法適用于很多非線性系統(tǒng)。

輸入無模型動(dòng)態(tài)；不確定非線性；反演；擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器

目前，魯棒自適應(yīng)理論和反演技術(shù)被廣泛地應(yīng)用于無模型動(dòng)態(tài)的非線性系統(tǒng)的控制，并且取得了很多成果［1-4］。文獻(xiàn)［5-7］針對(duì)線性輸入無模型動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)展開了研究，提出了再設(shè)計(jì)方案，其結(jié)果被成功擴(kuò)展到具有非線性輸入無模型動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)的控制［8-10］。上述文獻(xiàn)有些需限制為滿足小增益，有些需假設(shè)無模型動(dòng)態(tài)是嚴(yán)格無源的、零動(dòng)態(tài)、最小相位等［11］。文獻(xiàn)［12］針對(duì)輸入非線性無模型動(dòng)態(tài)的不確定非線性系統(tǒng)提出了基于再設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)縮放控制方案，但該方案穩(wěn)定性分析復(fù)雜。文獻(xiàn)［13］研究了具有輸入未知?jiǎng)討B(tài)的一階電機(jī)系統(tǒng)，提出了魯棒非線性PI控制，但很難擴(kuò)展到高階系統(tǒng)。文獻(xiàn)［14-18］結(jié)合自抗擾思想和反演技術(shù)研究了非仿射非線性系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了未知項(xiàng)和外來擾動(dòng)的補(bǔ)償。本文為解決非線性輸入無模型動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的控制，引入自抗擾的思想，實(shí)現(xiàn)了該類問題的控制。

1　問題描述

考慮下面系統(tǒng)：

假設(shè)1：對(duì)于X子系統(tǒng)，可以將x1視為虛擬控制輸入，則可選取控制李雅普諾夫函數(shù)V0（X）和虛擬控制，使得對(duì)所有的X≠0，滿足：

式中，U0（X）是正定函數(shù)。

2　LGV-反演控制設(shè)計(jì)

反演設(shè)計(jì)開始前，假設(shè)已經(jīng)為了X子系統(tǒng)設(shè)計(jì)好了V0（X）和虛擬控制。

將-η0LGV0（X）加入到，可得到虛擬控制律為：

式中，當(dāng)η0＞0時(shí)，增加了LF+Gx1dV0（X）的負(fù)性。

定義誤差變量e1=x1-x1d，則x2可視為（X，x1）子系統(tǒng)的虛擬控制輸入，（X，x1）子系統(tǒng)如下：

Step 1：為了給（）X，x1子系統(tǒng)設(shè)計(jì)虛擬控制器，可以引入控制李雅普諾夫函數(shù)如下：

沿著式（5）、（6）微分得：

目標(biāo)是設(shè)計(jì)x2d使得負(fù)定。又

則式（8）可寫成

從而可以設(shè)計(jì)虛擬控制x2d為

式中，k1＞0是待設(shè)計(jì)的參數(shù)。

如果x2=x2d（X，x1），則有

之所以將該設(shè)計(jì)方法稱之為LGV-反演，是因?yàn)橥ㄟ^設(shè)計(jì)了-η0LGV0（X）項(xiàng)在虛擬控制中，從而主導(dǎo)了式（8）中的符號(hào)不確定項(xiàng)。在抵消反演設(shè)計(jì)中，式（4）中的η0=0，即虛擬控制律，則在這步設(shè)計(jì)中，項(xiàng)必須要被抵消。結(jié)合LGV-反演和抵消反演，虛擬控制律可以設(shè)計(jì)為：

式（13）中：當(dāng)λ1=1時(shí)為抵消反演設(shè)計(jì)；當(dāng)λ1=0時(shí)為LGV-反演設(shè)計(jì)。

當(dāng)i＜n時(shí)，可以設(shè)計(jì)虛擬控制律xi，d為：

定義變量ei+1=xi+1-xi+1，d。

Stepn：在最后控制律設(shè)計(jì)之前，引入自抗擾設(shè)計(jì)的思想，不妨將xn子系統(tǒng)分離為

則系統(tǒng)可擴(kuò)展為：

式中，G（t）是未知項(xiàng)f（X，x，u）的導(dǎo)數(shù)，則可構(gòu)建ESO：

式（20）中：E1是估計(jì)誤差；Z1、Z2是觀測器的狀態(tài)；β01和β02是觀測器增益（即待設(shè)計(jì)的參數(shù)）。函數(shù)fal（·）定義形式為［8-9］：

式（21）中：α1∈（0，1）；δ＞0。

構(gòu)建控制李雅普諾夫函數(shù)如下：

則控制律可選擇為

式（23）中：kn＞1為待設(shè)計(jì)參數(shù)；Z2是擴(kuò)展觀測器的狀態(tài)。

對(duì)Vn（X，x）求導(dǎo)可得：

根據(jù)文獻(xiàn)［8-9］可以知道f（X，x，u）-Z2是個(gè)很小的值。綜合上述設(shè)計(jì)過程，可以得出下面的定理。

定理1：由式（1）、（2）、（4）、（11）、（17）和控制律式（23）構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并且所有的閉環(huán)信號(hào)都是全局一致有界的。

證明：由上述設(shè)計(jì)過程可以看出，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由式（24），有：

求解式（25），可以得出：

當(dāng)t→∞時(shí)，b（t）會(huì)趨近于一個(gè)非常小的值（由擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器的設(shè)計(jì)決定了），同時(shí)eat→0，從而可以得出所有的閉環(huán)信號(hào)都是全局一致有界的。

3　仿真分析

考慮參考文獻(xiàn)［6］中的對(duì)象，形式如下：

式中，η為未知輸入動(dòng)態(tài)。

在仿真過程中，初始值設(shè)置為：x（0）=［1，1，1］T，η（0）=0.5，Z1（0）=Z2（0）=0；觀測器參數(shù)設(shè)置為：β01=100，β02=1 500，α1=0.25和δ=0.1；控制器參數(shù)設(shè)置為k1=k2=k3=5。仿真結(jié)果如圖1～3所示。

圖1　狀態(tài)-時(shí)間曲線Fig.1 Time response of states

圖2　控制律-時(shí)間曲線Fig.2 Time response of control law

圖3　擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器估計(jì)效果Fig.3 Effect of estimation by ESO

圖1可以看出所有狀態(tài)都收斂到0點(diǎn)附近。圖2可以看出控制律是有界的。圖3可以看出擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器狀態(tài)可以很好的估計(jì)未知項(xiàng)。

4　結(jié)論

本文針對(duì)一類具有輸入無模型動(dòng)態(tài)的非線性系統(tǒng)，提出了魯棒反演控制?？刂坡稍O(shè)計(jì)中，直接在子系統(tǒng)n中引入了關(guān)于輸入的未知非線性項(xiàng)，以替代無模型動(dòng)態(tài)的影響。為了補(bǔ)償這種替代，引入了自抗擾的思想，為其設(shè)計(jì)了擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器。該設(shè)計(jì)方案簡單易實(shí)現(xiàn)，通過穩(wěn)定性分析以及仿真研究驗(yàn)證了該方案的有效性。

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Backstepping control for Uncertain Nonlinear Systems with Input Unmodeled Dynamics

ZHANG Lei1a，LI Shixiong2，WANG Zhe1b，CHENG Chunhua1b
（1.Naval Aeronautical and Astronautical University a.Department of Scientific Research，Yantai Shandong 264001；b.Qingdao Branch，Qingdao Shandong 266041，China；2.Outfit Purchasing Centre of NED，Beijing 100071，China）

The global asymptotic stabilization problem for a general class of uncertain nonlinear systems with dynamic input uncertainties（input unmodeled dynamics）was considered.A backstepping control law was constructed from a control Lyapunov function（CLF）.In the control scheme，extend state observer based on active disturbance rejection ideal was designed to deal with the input unmodeled dynamics.The proposed control method was applicable to a wide class of nonlinear systems，meanwhile，the simulation result was presented to illustrate the effectiveness of the proposed control scheme.

input unmodeled dynamics；uncertain nonlinear；backstepping；extend state observer

TP273

A

1673-1522（2016）03-0337-04DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2016.03.007

2016-03-15；

2016-04-20

張磊（1979-），男，工程師，博士。