程丹

問題描述：

小學低段學習除法和有余數(shù)除法時，教材通常會要求通過“圈一圈”幫助學生加強對除法意義和算理的理解. 可是看似簡單的“圈一圈”，在教學中卻存在不少的問題.

例 北師大二下《課堂作業(yè)本》第7頁第1題：“圈一圈，填一填. 把18盆花平均分給5個班，每個班可以分到（ ）盆花，還剩（ ）盆. ”

學生的答題情況如下：

從圖中可知，學生列式解答均相同，但是圈法不同. 圖1：從答案出發(fā)，3個一圈，圈了5次，余3；圖2：3個一圈，余數(shù)也圈，圈了6次；圖3：5個一圈，圈了3次，余3.

該習題究竟3個一圈還是5個一圈，還是都可以呢？我校二年級數(shù)學備課組進行了研討. 討論時，老師們各抒己見，有的認為要鼓勵學生解決問題策略的多樣化，有的認為“圈一圈”不能隨心所欲，應體現(xiàn)除法的過程……

分析思考：

“圈一圈”能不能隨心所欲呢？答案是肯定的“不能！”我們可以從以下幾方面思考.

1. 從“圈一圈”意義的層面分析，“圈一圈”不能隨心所欲

布魯納的發(fā)現(xiàn)學習論認為：學生的學習過程包括實物操作、表象操作和符號操作三個階段. “圈一圈”屬于實物操作，在實物操作的過程中學生獲得的直接體驗，為后兩個階段“表象操作”和“符號操作”（除法算式的構(gòu)建）作充分的準備. 在訪談中發(fā)現(xiàn)，3個一圈的小朋友（見圖1、圖2）是先算出答案，再根據(jù)答案圈一圈. 這樣的“圈一圈”其實是為了圈而圈，有本末倒置之嫌，即失去了圈一圈的意義.

2. 從“形”與“數(shù)”的關(guān)系分析，“圈一圈”不能隨心所欲

平均分物有兩種情況：第一種，已知要分的總數(shù)和平均分的份數(shù)，求每份是多少；第二種，已知要分的總數(shù)和每一份的數(shù)求平均分的份數(shù). 我們通常稱前者為“等分除”，后者為“包含除”. 如果不考慮題意，光從圈一圈與算式的關(guān)系分析， 圖1、圖2從包含除的角度理解（每3個一份，有幾份），算式應是18 ÷ 3 = 6，絕非是18 ÷ 3 = 5……3，因為余數(shù)要比除數(shù)??；從等分除的角度理解，圖2的算式應是18 ÷ 6 = 3. 而圖3無論是從等分除，還是包含除的角度理解，其算式都可以寫成18 ÷ 5 = 3……3.

3. 從平均分意義的角度分析，“圈一圈”不能隨心所欲

筆者仔細查閱了相關(guān)教材和教參，思考教材背后的設(shè)計意圖，發(fā)現(xiàn)關(guān)于“圈一圈”的作用和方法，追根溯源，在教材的安排上，一開始就有了明確的指向.

以北師大四版教材為例，學生第一次接觸除法是二年級上冊第七單元《分一分與除法》. 起始課《分物游戲》中有這樣一道例題：“15根骨頭平均分給3只狗，每只狗分到幾根？”

要求讓學生先動手分一分，然后嘗試用書面形式記錄自己分的過程和結(jié)果.

教材呈現(xiàn)了下面三種記錄方法：

從記錄形式上看，圖4與圖5類似. 從分法上看，圖4和圖6相同，都是1根1根地分. 教學用書建議圖6的記錄方法為“理解和掌握”的教學目標，因為它很完整地表示了平均分的過程和結(jié)果：用小棒代替骨頭，用小圓代替狗，每個圈表示分一次分掉了多少根小棒，圈內(nèi)小棒的根數(shù)等于平均分的份數(shù)，畫幾個圈則表示要分幾次把小棒分完，每份分到小棒的根數(shù)等于所畫的圓圈的個數(shù).

教材這樣安排的用意一是借助具體操作活動（分、畫、圈）幫助學生初步理解除法的意義；二是對“圈一圈”的方法給予了規(guī)范，圈的方法應該體現(xiàn)分物的過程，1根1根地分，分一次，有幾份就需要幾根，分了這樣的幾次，每份數(shù)就是幾. 綜上所述，文章開頭案例中的“圈一圈”，合理的圈法應該是5個一圈，1盆1盆地分，分一次需要5盆，圈了3次，也就是每個班可以分到3盆，還剩3盆. 這樣的圈法才能體現(xiàn)除法平均分的思考過程，才能促進學生理解筆算除法的算理.

【參考文獻】

[1]《數(shù)學教師教學用書》二上、二下[M].北京：北京師范大學出版社，2014年.

[2]《數(shù)學課堂作業(yè)本》北師版二下[M].杭州：浙江教育出版社，2014年.