李　倩,周星德,周子言

(1. 河海大學(xué)土木與交通學(xué)院,江蘇 南京　210098;2. 河海大學(xué)文天學(xué)院,安徽 馬鞍山　243031)

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模袋砂堤防沉降量預(yù)測(cè)的分?jǐn)?shù)階灰色模型

李倩1,周星德1,周子言2

(1. 河海大學(xué)土木與交通學(xué)院,江蘇 南京210098;2. 河海大學(xué)文天學(xué)院,安徽 馬鞍山243031)

為獲得更優(yōu)的模袋砂堤防沉降預(yù)測(cè)結(jié)果,基于灰色模型,提出一種分?jǐn)?shù)階灰色模型。運(yùn)用MATLAB語(yǔ)言編寫(xiě)了相關(guān)程序,實(shí)現(xiàn)微分階次到分?jǐn)?shù)階的改變,并運(yùn)用該模型對(duì)模袋砂灘涂圍墾測(cè)試的沉降結(jié)果進(jìn)行實(shí)例分析。分?jǐn)?shù)階灰色模型與灰色Verhulst模型、殘差GM模型、GM(1，1)模型對(duì)比分析表明:(a)分?jǐn)?shù)階灰色模型預(yù)測(cè)結(jié)果更精確,其不僅具有GM(1,1)模型前期預(yù)測(cè)效果好的優(yōu)點(diǎn),而且具有灰色Verhulst模型后期預(yù)測(cè)效果好的優(yōu)點(diǎn);(b)分?jǐn)?shù)階灰色模型的中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)結(jié)果穩(wěn)定性比殘差GM模型好。

模袋砂堤防;沉降量預(yù)測(cè);分?jǐn)?shù)階;灰色模型;灰色Verhulst模型;殘差GM模型

海堤工程是海涂圍墾中至關(guān)重要的一環(huán),海堤工程的成敗直接關(guān)系到人民生命財(cái)產(chǎn)的安全,影響圍墾事業(yè)的發(fā)展。模袋砂多用于臨時(shí)圍堰,隨著技術(shù)的發(fā)展,目前已經(jīng)出現(xiàn)了采用模袋砂構(gòu)筑的堤防。海堤多建于軟土地基上,為確保地基能在穩(wěn)定狀態(tài)下工作,在施工過(guò)程中及完工后必須對(duì)其進(jìn)行有效監(jiān)測(cè)和信息反饋。有關(guān)地基沉降預(yù)測(cè)的方法有很多,沉降曲線(xiàn)多符合指數(shù)函數(shù)[1],而實(shí)際測(cè)量結(jié)果總會(huì)產(chǎn)生奇異,對(duì)這種現(xiàn)象,分形理論具有較好的處理[2-3];多數(shù)預(yù)測(cè)方法具有分段預(yù)測(cè)的特點(diǎn),即間或前期預(yù)測(cè)好,間或后期預(yù)測(cè)好,為此出現(xiàn)了組合預(yù)測(cè)方法[4];目前公認(rèn)較好的預(yù)測(cè)方法當(dāng)屬灰色模型[5-7],主要包括GM(1,1)模型[8]、灰色Verhulst模型和殘差GM模型[9-10],其中GM(1,1)模型對(duì)后期預(yù)測(cè)效果不好,灰色Verhulst模型對(duì)前期預(yù)測(cè)效果差[11-12]，殘差GM模型適用于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。

從本質(zhì)上講,灰色模型采用整數(shù)階導(dǎo)數(shù)反映地基的沉降,如:一階、二階導(dǎo)數(shù),這是間斷的,中間缺少分?jǐn)?shù),如3/2等,而實(shí)際情況千變?nèi)f化,符合整數(shù)階導(dǎo)數(shù)規(guī)律的只是其中一小部分情況,因此分?jǐn)?shù)階模型與實(shí)際情況更吻合[13]。基于灰色模型,筆者提出一種分?jǐn)?shù)階灰色模型,具體過(guò)程如下:首先,根據(jù)灰色模型算法確定系數(shù)項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),變整數(shù)階導(dǎo)數(shù)為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù);其次,通過(guò)Laplace變換改為頻域表示,假設(shè)外激勵(lì)為由灰色模型所確定的常數(shù)項(xiàng),構(gòu)造傳遞函數(shù);再次,采用Oustaloup算法[14]對(duì)分?jǐn)?shù)階進(jìn)行逼近,通過(guò)仿真曲線(xiàn)的走勢(shì)來(lái)確定分?jǐn)?shù)階的階次,進(jìn)而提出采用一個(gè)調(diào)節(jié)因子以達(dá)到與測(cè)試數(shù)據(jù)的最佳吻合。最后,基于文獻(xiàn)[15]提供的數(shù)據(jù),通過(guò)GM(1,1)模型、灰色Verhulst模型、殘差GM模型及本文方法間的對(duì)比分析,驗(yàn)證本文方法的有效性。

1　灰 色 模 型

灰色模型[5-7](GM(1，1)模型)的特點(diǎn)是對(duì)沉降前期預(yù)測(cè)較好,設(shè)n個(gè)等距時(shí)間序列數(shù)據(jù)為

(1)

式(1)進(jìn)行一次累加,可得

(2)

其中

x1(k)微分方程模型為

(3)

式中:a——系數(shù)項(xiàng);b——常數(shù)項(xiàng)。

式(3)的時(shí)間響應(yīng)序列解為

(4)

改進(jìn)的灰色模型中,較普遍的2種為灰色Verhulst模型和殘差GM模型?；疑玍erhulst模型的特點(diǎn)是對(duì)沉降后期預(yù)測(cè)較好,其模型的微分方程為

(5)

(6)

式(5)的時(shí)間響應(yīng)序列解為

(7)

2　分?jǐn)?shù)階灰色模型

通常使用的導(dǎo)數(shù),如一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù),稱(chēng)為整數(shù)階導(dǎo)數(shù),是間斷的,中間缺少分?jǐn)?shù),如3/2階導(dǎo)數(shù)。有關(guān)分?jǐn)?shù)階的研究近年來(lái)開(kāi)始受到重視,這是由于它是連續(xù)的,能夠更好地反映實(shí)際情況[13]。目前有關(guān)分?jǐn)?shù)階的定義有4種,本文采用Riemann-Liouville微積分定義,對(duì)于初值為零的β階導(dǎo)數(shù)可表示為

(8)

式中:β——分?jǐn)?shù),m-1<β≤m;m——臨近β的整數(shù);Γ(*)——Gamma函數(shù)。

式(5)所表示的模型為整數(shù)階模型,為了擴(kuò)展其應(yīng)用范圍,可改寫(xiě)為如下分?jǐn)?shù)階模型:

(9)

假設(shè)外激勵(lì)為常數(shù)項(xiàng)b,對(duì)式(9)進(jìn)行Laplace變換,則頻域表示為

(10)

采用Oustaloup算法對(duì)分?jǐn)?shù)階進(jìn)行逼近,擬合頻率段為(ωl, ωh),則可構(gòu)造如下濾波器的傳遞函數(shù):

(11)

其中

式中:N——整數(shù);2N+1——濾波器的階次。

用G(s)代替式(10)中的sβ,可得

(12)

其中

ni=2N+1

把式(12)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程:

(13)

式中:A、B、C——變換矩陣;X——狀態(tài)變量;D——系數(shù)。

(14)

其中

式中:c——補(bǔ)充的常數(shù), 也稱(chēng)為調(diào)節(jié)因子

3　實(shí) 例 分 析

GM(1,1)模型預(yù)測(cè)序列為

(15)

灰色Verhulst模型預(yù)測(cè)序列為

(16)

殘差GM模型對(duì)殘差序列進(jìn)行灰色建模，結(jié)果見(jiàn)表1。

采用本文方法,濾波器在頻域內(nèi)近似時(shí),N=4,擬合頻率段為[0,1 000](單位:rad/s),通過(guò)式(14)可確定調(diào)節(jié)因子為8,然后通過(guò)不斷變動(dòng)分?jǐn)?shù)階β確定最佳擬合效果,最終確定階次為0.314 2,即

(17)

由式(11)確定sβ,代入式(12),即可獲得的H(s),進(jìn)而可轉(zhuǎn)換為式(13)表示的狀態(tài)方程,限于篇幅,這里僅給出狀態(tài)方程結(jié)果:

C=[00.007 30.248 81.646 02.231 10.633 50.037 90.000 50]×106

其中A12=-0.010 7A21為八階單位矩陣

A11=-[0.000 50.037 60.629 42.224 91.652 20.252 90.007 60]×106

沉降預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表1,從表1可以看出本文預(yù)測(cè)方法比GM(1，1)模型、灰色Verhulst模型以及殘差GM模型要好。

表1　沉降預(yù)測(cè)結(jié)果Table 1　Predicted settlement obtained from different models

2008 年12 月江蘇省政府通過(guò)了《江蘇沿海灘涂圍墾開(kāi)發(fā)規(guī)劃》,2009年6月國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)了《江蘇沿海開(kāi)發(fā)戰(zhàn)略規(guī)劃》,到2020年形成新圍墾面積1 804.77 km2,新筑圍海圍堤675.28 km,促淤導(dǎo)堤總長(zhǎng)177. 05 km。模袋砂圍堤類(lèi)似于模袋圍堰,具有用土量少、抗沖刷能力強(qiáng)、施工工藝簡(jiǎn)單、造價(jià)低廉等特點(diǎn)。其基本原理是采用水力吹填的方法將砂水混合物灌入模袋中,砂料在模袋中泌水固結(jié)后形成較為密實(shí)的填筑體,與模袋組合構(gòu)筑成定型的圍堤。

(18)

圖1　沉降預(yù)測(cè)結(jié)果Fig. 1　Predicted settlement values obtained from different models

不斷變動(dòng)分?jǐn)?shù)階階次β,使得式(18)結(jié)果最小,以確定最佳擬合效果,最終確定階次β為0.232 7,對(duì)30 d、60 d、90 d、120 d、150 d預(yù)測(cè)結(jié)果分別為25.624 8 cm、26.130 0 cm、26.556 6 cm、26.929 0 cm、27.262 3 cm,比較結(jié)果如圖1所示。

由圖1可以看出,本文方法的預(yù)測(cè)值更精確。并進(jìn)一步預(yù)測(cè)10 a后的沉降為37.50 cm,20 a后的沉降為41.04 cm,這符合通常堤壩、路基實(shí)際情況。

4　結(jié)　　語(yǔ)

整數(shù)階微積分僅僅是分?jǐn)?shù)階微積分的特例,即所有含整數(shù)階微積分的模型全部可以采用分?jǐn)?shù)階微積分代替,分?jǐn)?shù)階模型能夠更好地反映實(shí)際情況。本文以灰色模型為對(duì)象,把其推廣至分?jǐn)?shù)階模型,提出了分?jǐn)?shù)階階次確定方法及調(diào)節(jié)因子的概念,從仿真結(jié)果來(lái)看,不僅具有灰色模型前期預(yù)測(cè)效果好的特點(diǎn),而且具有灰色Verhulst模型后期預(yù)測(cè)效果好的特點(diǎn),并且預(yù)測(cè)精度得到提高。此外,還具有長(zhǎng)期預(yù)測(cè)結(jié)果穩(wěn)定的特點(diǎn)。

但本文方法還存在一些缺陷:(a)計(jì)算過(guò)程復(fù)雜;(b)分?jǐn)?shù)階階次和調(diào)節(jié)因子的確定需要不斷觀(guān)測(cè)仿真結(jié)果,比較麻煩。這2個(gè)缺陷也是筆者下一步需要解決的問(wèn)題。

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Afractional-ordergreymodelforpredictionofsettlementofdykeswithfabricformsand

LIQian1,ZHOUXingde1,ZHOUZiyan2

(1. College of Civil and Transportation Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China;2. Wentian College, Hohai University, Maanshan 243031, China)

Inordertoacquirebetterforecastresultsforsettlementsofdykeswithfabricformsand,afractional-ordergreymodelispresentedbasedonthegreymodel.TheprogramwasestablishedusingMATLABtochangethedifferential-orderderivativeintoafractional-orderone.Thismodelwasusedtopredictthesettlementofdykeswithfabricformsand.ComparativeanalysisofthegreyVerhulstmodel,residualGMmodel,andproposedmodelwasperformed.Theresultsshowthatthepredictedresultsofthefractional-ordergreymodelaremoreaccurate,andthefractional-ordergreymodelnotonlyhasthereliablepreviousforecasteffectoftheGM(1, 1)model,butalsothereliablelaterforecasteffectoftheGreyVerhulstmodel.Moreover,thelong-termforecastresultsofthefractional-ordergreymodelshowahigherdegreeofstabilitythanthoseoftheGMmodel.

dykewithfabricformsand;settlementprediction;fractional-order;greymodel;greyVerhulstmodel;residualGMmodel

10.3876/j.issn.1000-1980.2016.05.010

2015-10-27

“十二五”國(guó)家科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2012BAB03B00);安徽省建設(shè)行業(yè)科學(xué)技術(shù)計(jì)劃項(xiàng)目(2015YF-26)

李倩(1992—),女,江蘇連云港人,碩士研究生,主要從事堤防穩(wěn)定性及巖土工程數(shù)值分析研究。E-mail: 15195865755@163.com

周星德,教授。E-mail:xingdezhou@hhu.edu.cn

U213.1+57

A

1000-1980(2016)05-0438-05