□安徽省六安市清水河學(xué)?！⊥跷唷〈?lài)?guó)

初學(xué)者如何突破乘法公式的應(yīng)用

□安徽省六安市清水河學(xué)校王梧代少?lài)?guó)

乘法公式是初中段數(shù)學(xué)所要學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，它對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)有著重要的影響。而初學(xué)者在應(yīng)用這個(gè)公式時(shí)常會(huì)感到困難，進(jìn)而出現(xiàn)差錯(cuò)。根據(jù)在教學(xué)過(guò)程中的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生只要能從正確認(rèn)識(shí)公式的本質(zhì)特征，形成固定的處理習(xí)慣，運(yùn)用好整體思想和巧用積的乘方公式等方面著手，就可以有效地提高乘法公式的運(yùn)用能力。

初學(xué)者乘法公式應(yīng)用能力

在新滬科版教科書(shū)中乘法公式的學(xué)習(xí)是安排在七年級(jí)下冊(cè)的第八章第三節(jié)進(jìn)行的。公式的導(dǎo)出是應(yīng)用多項(xiàng)式的乘法直接得出的，并以幾何圖形中面積關(guān)系給予直觀解釋?zhuān)@是一個(gè)由一般到特殊的認(rèn)識(shí)過(guò)程。筆者曾在偏遠(yuǎn)的農(nóng)村初中工作數(shù)年，在教學(xué)中通過(guò)課堂觀察和檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)不少初學(xué)該知識(shí)的學(xué)生，雖能熟記乘法公式，但對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不清，更難以嫻熟地去應(yīng)用該公式。就此筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)歷，淺談一下如何突破乘法公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，希望能對(duì)初學(xué)者有所幫助。一方面，這是在學(xué)習(xí)了整式的加、減、乘、除的基礎(chǔ)上，對(duì)多項(xiàng)式乘法的進(jìn)一步深入和拓展；另一方面，又為學(xué)習(xí)“因式分解”、“配方法”等知識(shí)奠定了基礎(chǔ)，是進(jìn)一步研究一元二次方程、二次函數(shù)的工具性?xún)?nèi)容，不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。

一、抓住結(jié)構(gòu)特征，認(rèn)清公式本質(zhì)

從心理特征來(lái)說(shuō)，初中階段的學(xué)生邏輯思維能力有待培養(yǎng)，從經(jīng)驗(yàn)型逐步向理論型發(fā)展，觀察能力、記憶能力和想象能力也隨著迅速發(fā)展，所以在教學(xué)中應(yīng)抓住這些特點(diǎn)，以方便學(xué)生直觀形象把握完全平方公式結(jié)構(gòu)特征。

從認(rèn)知狀況來(lái)說(shuō)，學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法法則的探索過(guò)程，對(duì)“完全平方公式、平方差公式”已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)，為順利完成教學(xué)任務(wù)打下了基礎(chǔ)，但對(duì)于“完全平方公式、平方差公式”的理解，由于其抽象程度較高，學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生一定的困難，所以教學(xué)中應(yīng)予以簡(jiǎn)單明白、深入淺出的分析，讓學(xué)生發(fā)表見(jiàn)解，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，讓學(xué)生掌握公式的本質(zhì)。

1.兩個(gè)多項(xiàng)式相乘時(shí)，如果第一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都與第二個(gè)多項(xiàng)式每項(xiàng)相同或符號(hào)相反時(shí)，則可以選用公式

通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷探索完全平方公式的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括等探究創(chuàng)新能力，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力。

2.多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式時(shí)，如果第一個(gè)多項(xiàng)式的部分項(xiàng)與第二個(gè)多項(xiàng)式的部分項(xiàng)相同，剩余項(xiàng)與第二個(gè)多項(xiàng)式的剩余項(xiàng)的符號(hào)不同時(shí)，則選用平方差公式，如（x-2y）（-x-2y）=（-2y+x）（-2y-x）=（-2y）2-x2=4y2-x2。

3.當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式與另一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)不同，同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值不等，或字母及其指數(shù)不能對(duì)應(yīng)相等時(shí)，不能使用乘法公式，如（x-2y）（2x+y）不能使用乘法公式。遵循知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程，從特殊→一般→特殊，將所學(xué)的知識(shí)用于實(shí)踐中。

二、形成科學(xué)的處理方法，避免符號(hào)差錯(cuò)

《新課標(biāo)》指出：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。這些都需要學(xué)生具備一定的自我表達(dá)能力作為前提。讓學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)公式的特點(diǎn)，對(duì)于公式中一些符號(hào)問(wèn)題學(xué)生就會(huì)熟練掌握，迎刃而解。

例1.用乘法公式計(jì)算（-2x+3y）2。

解法一：原式=（-2x）2+2（-2x）3y+（3y）2=4x2-12xy+9y2

解法二：原式=（3y-2x）2=（3y）2-2（3y）2x+（2x）2=9y2-12xy+4x2

例2：用乘法公式計(jì)算（-2x-3y）2

解法一：原式=（-2x）2-2（-2x）3y+（3y）2=4x2+12xy+9y2

解法二：原式=［-（2x+3y）］2=（2x+3y）2=4x2+12xy+9y2

本兩例中兩種解法，無(wú)論哪種解法，關(guān)鍵是由中間的“+”或“-”號(hào)決定了在（a+b）2和（a-b）2這兩公式中選用哪一個(gè)。在本例兩種解法中，解法二不易出符號(hào)的差錯(cuò)，故建議選用第二種解法為宜。要解決好這個(gè)問(wèn)題，需注意兩方面：（1）初學(xué)者不要過(guò)多地跳步；（2）要形成自己科學(xué)的處理習(xí)慣，避免在符號(hào)上出錯(cuò)。教師務(wù)必進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感和推理能力，使學(xué)生熟練技能、掌握方法、形成能力，發(fā)展積極向上的情感體驗(yàn)，獲得終身發(fā)展的學(xué)習(xí)動(dòng)力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的思想。

三、掌握好“整體思想”在該知識(shí)上的應(yīng)用

整體思想是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的一種常用方法：通過(guò)研究問(wèn)題整體結(jié)構(gòu)特征，從而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體處理的解題方法。從整體上去認(rèn)識(shí)問(wèn)題、思考問(wèn)題，常常能化繁為簡(jiǎn)、變難為易，同時(shí)又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性。在初中數(shù)學(xué)中的數(shù)與式等方面，整體思想都有很好的應(yīng)用，在提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)方面具有獨(dú)特的作用。用整體思想解題不僅解題過(guò)程簡(jiǎn)捷明快，而且富有創(chuàng)造性。有了整體思維的意識(shí)，在思考問(wèn)題時(shí)，才能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提高解題速度，優(yōu)化解題過(guò)程。同時(shí)，強(qiáng)化整體思想觀念，靈活選擇恰當(dāng)?shù)恼w思想方法，常常能幫助我們走出困境，走向成功。如在完全平方公式的探求過(guò)程中，學(xué)生表現(xiàn)出觀察角度的差異：有些學(xué)生只是側(cè)重觀察某個(gè)單獨(dú)的式子，把它孤立地看，而不知道將幾個(gè)式子聯(lián)系地看；有些學(xué)生則既觀察入微，又統(tǒng)攬全局，表現(xiàn)出了較強(qiáng)的觀察力。教師要善于抓住這個(gè)契機(jī)，適當(dāng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，培養(yǎng)他們“既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林”的優(yōu)良觀察品質(zhì)。

例3.（1）（2a+b+1）（2a+b-1）=［（2a+b）+1］［（2a+b）-1］

（2）（a-2b-3）（a+2b+3）=［a-（2b+3）］［（a+（2b+3）］

“整體思想”是初中數(shù)學(xué)中重要的思想方法。本例中可將分別在兩個(gè)三項(xiàng)式中對(duì)應(yīng)符號(hào)相同的項(xiàng)，放在每個(gè)三項(xiàng)式的前面視為整體用括號(hào)括起來(lái)。作為公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的a，其余的項(xiàng)放在后面括起來(lái)作為?；?qū)⒎謩e在兩個(gè)三項(xiàng)式中對(duì)應(yīng)符號(hào)不同的項(xiàng)，放在每個(gè)三項(xiàng)式的后面視為整體用括號(hào)括起來(lái)，作為公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的b，其余的項(xiàng)放在前面括起來(lái)作為a。如例3（1）中將（2a+b）視為公式中的a，例3（2）中將（2b+3）視為公式中的b。

學(xué)生在解題中，要把注意力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的整體上，多方位思考、聯(lián)想、探究，進(jìn)行整體思考、整體變形，從不同的方面確定解題策略，能使問(wèn)題迅速獲解。

四、巧用積的乘方公式

學(xué)生解題時(shí)運(yùn)用積的乘方公式，也是為了引導(dǎo)學(xué)生回憶鞏固前面的知識(shí)。積的乘方公式的理解及應(yīng)用，首先要讓學(xué)生理解這個(gè)公式，而要讓學(xué)生理解這個(gè)公式，就要讓學(xué)生理解積的乘方的含義，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的互相聯(lián)系。

例4.（a-2b）2（a+2b）2=［（a-2b）（a+2b）］2=（a2-4b2）2= a4-8a2b2+16b4

乘法公式在初中數(shù)學(xué)中有著重要的地位和廣泛的應(yīng)用，這有點(diǎn)像“九九乘法表”在小學(xué)數(shù)學(xué)中的地位。正如此，所以在剛開(kāi)始學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，就不能一知半解，含混過(guò)關(guān)，而需要正確地理解，并能嫻熟地應(yīng)用各公式。對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，要想達(dá)到這種要求就可以結(jié)合本文所提到的幾點(diǎn)，在解題和應(yīng)用的實(shí)踐過(guò)程中注意觀察，勤于思考，多做總結(jié)，就可以有效地提高自己應(yīng)用乘法公式的能力。

總之，只要學(xué)生真正認(rèn)清公式的本質(zhì)特征，形成科學(xué)的處理方法，運(yùn)用好整體思想和巧用積的乘方公式等方法，在解題時(shí)，克服“思維定勢(shì)”的影響，通過(guò)辨析、學(xué)會(huì)分析可以幫助學(xué)生加深對(duì)此公式的正確認(rèn)識(shí)，加之靈活運(yùn)用，觀察、探究、歸納等方法，就能有效地提高乘法公式的運(yùn)用能力。