張　超，胡建民， 黃曉利，王月媛，王選章

(哈爾濱師范大學 光電帶隙材料省部共建教育部重點實驗室 物理與電子工程學院，哈爾濱　150025)

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折射和半波損失情況下布拉格方程的推導

張超，胡建民， 黃曉利，王月媛，王選章

(哈爾濱師范大學 光電帶隙材料省部共建教育部重點實驗室 物理與電子工程學院，哈爾濱150025)

為簡化布拉格方程的推導過程同時又能深刻反映晶體X射線衍射的物理本質，本文在考慮折射和半波損失的情況下，在單光束反射模型的基礎上根據(jù)折射定律和相干條件給出布拉格方程的推導過程，得到更具有普遍意義的布拉格方程.

晶體折射；半波損失；布拉格方程

X射線被發(fā)現(xiàn)以后，德國物理學家勞厄將晶體看作三維衍射光柵，既證明了X射線的電磁波本質，又證實了晶體結構的周期性，由此建立晶體X射線衍射方程[1]．1913年，布拉格父子提出晶面反射模型，推導出布拉格方程．林一山根據(jù)光的衍射理論對布拉格條件做了定量推導[2]．現(xiàn)有教材和文獻大多采用的晶面反射模型如圖1所示，晶面間距為d，反射X光的光程差為波長λ的整數(shù)倍時發(fā)生衍射加強，于是得出2dsinθ=mλ，其中θ為衍射角，m為衍射級數(shù)．圖1所示的晶面反射模型是兩條或兩條以上的入射光束經過不同晶面反射后發(fā)生的相干疊加，在此稱為多光束反射模型．姚忠祥在考慮晶體折射率n的情況下對布拉格方程進行修正，由此得到的布拉格方程為[3]

(1)

顯然，方程(1)沒有考慮X射線在晶體界面上的相位問題，即半波損失．半波損失是指當光束由折射率較小的介質經過界面進入折射率較大的介質時，其電矢量方向發(fā)生改變，即振動相位發(fā)生突變[4].為使幾何光程和相位一致，需要在幾何光程的基礎上考慮半波損失．

圖1　特定情況下的多光束反射模型[3]

圖2　單光束反射模型

如果只取一束X射線被不同的晶面反射，在反射光的光程差滿足波長整數(shù)倍條件時也可以發(fā)生相干疊加，在此稱之為單光束反射模型，如圖2所示．由于X射線衍射的物理本質是晶體中所有原子經典散射波相干疊加的結果．所以，采用單光束反射模型推導布拉格方程即可以簡化推導過程又能夠深刻反映晶體X射線的物理本質．本文在考慮折射和半波損失的情況采用單光束反射模型給出布拉格方程的推導過程．

(2)

根據(jù)折射率的定義

cosθ=n(ω)cosθ′

(3)

(4)

又

(5)

由式(2)﹑式(4)和式(5)可得

(6)

當光程差等于入射光波長的整數(shù)倍時發(fā)生相干疊加

(7)

這就是考慮折射和半波損失情況下采用單光束反射模型推導的布拉格方程．在不考慮半波損失的情況下式(7)與式(1)一致．由式(7)可見，當衍射角發(fā)生變化時，對于面間距不同的晶面將對應不同的衍射峰，而半波損失并不影響衍射譜的基本特征(衍射峰的形狀和相對位置)，所以X射線衍射在實際應用中并不考慮半波損失．此外，X射線衍射在本質上是晶體中所有原子經典散射波相干疊加的結果，而折射和半波損失只發(fā)生在晶體表面，對于晶體內部的晶面不會發(fā)生折射和半波損失．理想情況下，晶體表面原子數(shù)遠遠小于晶體內部原子數(shù)，這也是晶體結構的X射線衍射分析中不考慮折射和半波損失的一個重要原因．

[1]胡建民，周勝，信江波,等. 固體物理學教程[M]. 哈爾濱：東北林業(yè)大學出版社，2010：46-51.

[2]林一山. 對布拉格條件的嚴格推導[J]. 大學物理，2009，28(8)：56-58.

[3]姚仲祥. 折射和色散對布喇格方程的影響[J]. 長春光學精密機械學院學報. 1989，12(3)：83-86.

[4]Born M,Wolf E.光學原理[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2005：35-36.

Derivation of the Bragg equation in the case of refraction and the half-wave loss

ZHANG Chao, HU Jian-min, HUANG Xiao-li, WANG Yue-yuan,WANG Xuan-zhang

(Key Laboratory for Photonic and Electronic Bandgap Materials, Ministry of Education, School of Physics and Electronic Engineering, Harbin Normal University, Harbin, Heilongjiang 150025, China)

To simplify the derivation of the Bragg equation and at the same time to reflect profoundly the physical nature of the crystal X-ray diffraction, a more universal Bragg equation is given using the single-beam reflectance model on the basis of law of refraction and coherent conditions in the case of considering refraction and the half-wave loss.

crystal refraction; half-wave loss; Bragg equation

2015-02-11；

2015-06-02

黑龍江省高等學校教改工程項目(JG2013010361)和國家自然科學基金項目(11075043)資助

張超，(1989—)，男，甘肅武威市人，哈爾濱師范大學物理與電子工程學院2010級本科生.

胡建民，Email:hujianmin@foxmail.com

O 436.1；

A

1000- 0712(2016)01- 0057- 02