趙擁軍 趙勇勝 趙 闖

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基于正則化約束總體最小二乘的單站DOA-TDOA無源定位算法

趙擁軍*趙勇勝 趙 闖

(解放軍信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院 鄭州 450001)

針對(duì)利用單站外輻射源的目標(biāo)無源定位問題，該文提出一種聯(lián)合到達(dá)角度和時(shí)差信息的正則化約束總體最小二乘(RCTLS)定位算法。首先，將非線性的到達(dá)角度和時(shí)差的觀測(cè)方程進(jìn)行線性化處理，分析了方程系數(shù)矩陣可能出現(xiàn)的病態(tài)問題，將定位問題建立為RCTLS模型，并采用牛頓迭代方法對(duì)模型求解，從而得到目標(biāo)位置估計(jì)。最后，推導(dǎo)了算法的理論誤差，并按照均方誤差最小的原則推導(dǎo)了正則化參數(shù)的最優(yōu)值。仿真結(jié)果表明，算法的定位精度和魯棒性均優(yōu)于約束總體最小二乘(CTLS)算法。此外，對(duì)系統(tǒng)幾何精度因子圖的分析表明，目標(biāo)及外輻射源的位置對(duì)定位精度也有影響。

無源定位；到達(dá)角度和時(shí)差；單站；外輻射源；正則化約束總體最小二乘

1 引言

基于外輻射源的無源定位方法，又稱為無源相干定位(Passive Coherent Location, PCL)。作為一種特殊的雙基地雷達(dá)，PCL系統(tǒng)本身不輻射電磁波，而是利用第三方的非合作輻射源來探測(cè)目標(biāo)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本低，隱蔽性高，不占用頻譜資源，抗電子干擾，可探測(cè)隱形目標(biāo)等優(yōu)點(diǎn)[1]。多年來，一直是國際雷達(dá)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

無源相干定位系統(tǒng)利用第三方的外輻射源來照射目標(biāo)，通過接收外輻射源的直達(dá)信號(hào)和目標(biāo)回波信號(hào)，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)定位。目前，可利用的外輻射源包括模擬電視信號(hào)[2]，調(diào)頻廣播信號(hào)[3]，數(shù)字音頻廣播信號(hào)[3]，數(shù)字視頻廣播信號(hào)[3]，手機(jī)基站信號(hào)[4]，WIFI信號(hào)[5]等。而相比于多站系統(tǒng)，單站系統(tǒng)機(jī)動(dòng)性強(qiáng)，不存在時(shí)間和數(shù)據(jù)同步的問題。因此，研究高精度的單站外輻射源定位算法具有重要意義。

目前，對(duì)于固定目標(biāo)的無源定位方法主要包括基于信號(hào)到達(dá)強(qiáng)度[6]、信號(hào)到達(dá)方向(Direction Of Arrival, DOA)[7]、信號(hào)到達(dá)時(shí)差(Time Difference Of Arrival, TDOA)[8]，以及聯(lián)合其中兩種或者3種觀測(cè)信息的定位體制[9]。其中，聯(lián)合DOA和TDOA定位體制因其定位精度高，在單站條件下僅需一個(gè)外輻射源即可定位等優(yōu)點(diǎn)，在工程上被廣泛采用。

文獻(xiàn)[10]提出了一種基于牛頓迭代的單站多外輻射源定位方法，聯(lián)合DOA和TDOA信息，得到了目標(biāo)位置的近似最大似然估計(jì)，并證明了聯(lián)合DOA和TDOA信息的定位精度優(yōu)于僅TDOA定位方法。文獻(xiàn)[11]同時(shí)考慮DOA和TDOA方程中各項(xiàng)系數(shù)的誤差，將其建立為約束總體最小二乘(Constrained Total Least Squares, CTLS)模型。CTLS算法克服了總體最小二乘算法(Total Least Squares, TLS)在噪聲分量統(tǒng)計(jì)相關(guān)時(shí)不能達(dá)到最優(yōu)解的問題，在測(cè)量噪聲適中時(shí)可以達(dá)到CRLB。但由于目標(biāo)及外輻射源位置分布的影響，系數(shù)矩陣可能出現(xiàn)病態(tài)(ill-conditioned)問題，導(dǎo)致因微小的觀測(cè)誤差而造成方程求解結(jié)果的巨大波動(dòng)，使得CTLS算法性能下降?？朔匠糖蠼獠B(tài)問題的有效方法是使用正則化方法[12]。正則化約束總體最小二乘(Regularized Constrained Total Least Squares, RCTLS)算法作為約束總體最小二乘算法的擴(kuò)展，其基本思想是通過引入正則化參數(shù)，將最小化的目標(biāo)函數(shù)替換為兩個(gè)互補(bǔ)函數(shù)之和。文獻(xiàn)[13]提出了正則化約束總體最小二乘算法，解決了圖像恢復(fù)問題中的病態(tài)問題。文獻(xiàn)[14]從理論上證明，RCTLS算法具有比CTLS算法更低的均方誤差和更高的魯棒性。文獻(xiàn)[15]分析了大地測(cè)量中病態(tài)問題產(chǎn)生的原因及診斷方法，并將正則化思想應(yīng)用到線性方程組求解中，得到了較好的效果。文獻(xiàn)[16]將正則化約束總體最小二乘算法應(yīng)用到基于到達(dá)時(shí)差的無源定位問題中，證明了算法對(duì)于求解無源定位中時(shí)差方程具有較高的定位精度和穩(wěn)健性。

本文研究利用外輻射源的單站無源相干定位問題，采用到達(dá)角度和時(shí)差信息，對(duì)目標(biāo)位置進(jìn)行估計(jì)。分析了在目標(biāo)高度較低時(shí)，定位方程中系數(shù)矩陣出現(xiàn)的病態(tài)問題。為了解決病態(tài)問題，將正則化思想應(yīng)用到定位模型中，將定位方程建立為帶約束的RCTLS問題，并利用牛頓迭代方法求解。

2 定位場(chǎng)景

本文考慮的3維單站無源相干定位場(chǎng)景如圖1所示：假設(shè)場(chǎng)景中有個(gè)外輻射源，1個(gè)目標(biāo)，1個(gè)觀測(cè)站。觀測(cè)站上布設(shè)兩副天線，分別用于接收來自外輻射源的直達(dá)信號(hào)和目標(biāo)回波信號(hào)。

圖 1 單站無源相干定位模型

以觀測(cè)站為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。目標(biāo)位置為待估參量，外輻射源位置已知為。目標(biāo)到觀測(cè)站的距離為，外輻射源到觀測(cè)站的距離為，目標(biāo)到外輻射源的距離為。假設(shè)信號(hào)傳播速度為，則外輻射源的直達(dá)信號(hào)與其經(jīng)過目標(biāo)反射后的回波信號(hào)到達(dá)觀測(cè)站的時(shí)差為

(2)

不難證明到達(dá)角度和時(shí)差的觀測(cè)方程可以轉(zhuǎn)化為如式(3)的線性形式：

將該線性方程組表示成矩陣形式為

(4)

式中，

3 定位算法

3.1矩陣病態(tài)問題分析

在不考慮觀測(cè)誤差的情況下，對(duì)于式(4)中的線性方程組，其最小二乘解為

然而，以目標(biāo)高度較低時(shí)的情形為例：當(dāng)目標(biāo)的坐標(biāo)很小，近似為0時(shí)，的值近似為0，從而導(dǎo)致矩陣中的第3列元素，此時(shí)矩陣出現(xiàn)近似于式(7)中右側(cè)矩陣的病態(tài)性。

(7)

此時(shí)目標(biāo)位置的求解即為一個(gè)病態(tài)的求逆問題。而對(duì)于病態(tài)求逆問題，系數(shù)矩陣或數(shù)據(jù)矩陣的微小誤差，會(huì)引起方程組解的巨大偏差。為克服方程求解的病態(tài)問題，本文采用正則化約束總體最小二乘算法估計(jì)目標(biāo)位置。

3.2基于RCTLS的DOA-TDOA定位算法

(9)

式中，

(11)

其中，

(12)

將式(9)代入式(8)，并移項(xiàng)整理，得

求解目標(biāo)位置的正則化約束總體最小二乘解，即在滿足式(13)約束下，確定一個(gè)合適的解向量，使得目標(biāo)函數(shù)最小。令，那么RCTLS問題的數(shù)學(xué)表示為

(14)

(16)

(18)

對(duì)式(20)求解，得到牛頓迭代公式為

(21)

4 性能分析

4.1 理論誤差

本節(jié)通過一階小噪聲擾動(dòng)分析方法來推導(dǎo)RCTLS算法的理論誤差。設(shè)正則化約束總體最小二乘解與目標(biāo)位置真實(shí)值之間的誤差為，即

(23)

式中：

(25)

忽略式(25)中的二階及以上誤差項(xiàng)，得

(27)

從式(28)可以看出，RCTLS算法的理論誤差是關(guān)于正則化參數(shù)的函數(shù)。當(dāng)時(shí)，式(28)即為CTLS算法的理論誤差。設(shè)約束總體最小二乘解的誤差為，則將代入式(28)，可以得到CTLS算法的理論誤差為

(29)

這與文獻(xiàn)[11]中的推導(dǎo)結(jié)果一致。

4.2正則化參數(shù)分析

(31)

(34)

(36)

5 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)評(píng)估本文算法的定位性能，并分析影響算法性能的因素。仿真場(chǎng)景設(shè)置如下：場(chǎng)景中有1個(gè)固定目標(biāo)，8個(gè)待選的外輻射源，其位置如表1所示。到達(dá)角度和時(shí)差的測(cè)量誤差設(shè)置為服從零均值的高斯分布。根據(jù)文獻(xiàn)[17]和文獻(xiàn)[18]，將到達(dá)角度測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置為，到達(dá)時(shí)差測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置為10~105ns。

表1外輻射源位置

算法的定位誤差為5000次蒙特卡洛仿真的均方根誤差。其定義為

仿真1 不同測(cè)量條件下算法的定位誤差

為了評(píng)估本文算法的估計(jì)性能，在不同的測(cè)量條件下，利用本文算法進(jìn)行仿真定位實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)算法定位的均方根誤差，并將其與LS, TLS, CTLS算法及CRLB對(duì)比。外輻射源選取表1中的第1~4個(gè)外輻射源。目標(biāo)位置設(shè)置為會(huì)出現(xiàn)矩陣病態(tài)的低空情況和不會(huì)出現(xiàn)矩陣病態(tài)的一般情況：低空目標(biāo)設(shè)置為坐標(biāo)相對(duì),坐標(biāo)非常小，位置為；非低空目標(biāo)位置設(shè)置為。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同測(cè)量條件下算法的定位誤差

圖2(a)和圖2(b)給出了算法在一般情況下目標(biāo)定位的均方根誤差情況?？梢钥闯?，LS和TLS算法達(dá)不到CRLB。CTLS算法和本文算法的定位精度均可逼近CRLB，且本文算法的定位精度高于CTLS算法，在部分測(cè)量誤差條件下本文算法的定位誤差甚至低于CRLB。CRLB是無偏估計(jì)算法估計(jì)誤差的理論下界，對(duì)于無偏估計(jì)算法而言，只能無限趨近，不能超越。但是RCTLS算法作為一種有偏估計(jì)算法，其通過犧牲算法的無偏性來換取算法均方根誤差指標(biāo)的顯著改善，從而使得算法在一些測(cè)量誤差條件下的RMSE可以低于CRLB。文獻(xiàn)[19]表明，有偏估計(jì)算法通過犧牲算法的無偏性，其RMSE指標(biāo)可以突破CRLB的限制。

圖2(c)和圖2(d)給出了算法對(duì)低空目標(biāo)定位的均方根誤差情況。在目標(biāo)高度很低時(shí)，LS, TLS, CTLS算法的定位誤差均較大，偏離CRLB的程度也較大。本文算法的定位精度相比以上3種算法，定位精度優(yōu)勢(shì)更加明顯。此外，上述3種算法在測(cè)量誤差很小時(shí)，偏離CRLB的較為嚴(yán)重，原因在于當(dāng)測(cè)量誤差較小時(shí)，矩陣的病態(tài)較為嚴(yán)重，而當(dāng)測(cè)量誤差增大時(shí)，受測(cè)量誤差的影響，矩陣的病態(tài)性得到改善，偏離CRLB的程度也隨之減小。相比之下，本文算法則在各種測(cè)量誤差條件下均表現(xiàn)出了更加準(zhǔn)確而魯棒的定位精度。

圖2(e)給出了算法定位誤差隨外輻射源數(shù)量變化的情況?？梢钥闯?，隨著外輻射源數(shù)量的增加，幾種算法的定位性能均有改善。這是由于增加外輻射源數(shù)量可以增加觀測(cè)方程的數(shù)量，從而提高目標(biāo)位置解的估計(jì)精度。LS算法和TLS算法定位誤差較大，無法達(dá)到CRLB。CTLS算法和本文RCTLS算法的定位誤差隨著外輻射源數(shù)量增加不斷逼近CRLB，且本文RCTLS算法的定位精度更高。

仿真2 幾何精度因子(GDOP)圖

系統(tǒng)幾何精度因子(Geometric Dilution Of Precision, GDOP)也是衡量系統(tǒng)定位性能的重要指標(biāo)，其定義為，其中分別為目標(biāo)位置估計(jì)在方向上的誤差。根據(jù)式(28)中估計(jì)誤差的均方誤差，有

(39)

為分析目標(biāo)位置對(duì)系統(tǒng)估計(jì)精度的影響，需要畫出不同目標(biāo)位置上的GDOP等高線圖。但目標(biāo)位置有3個(gè)坐標(biāo)變量，而GDOP等高線圖是2維的。為此，分別展示目標(biāo)高度為100 m和10000 m時(shí)，系統(tǒng)的GDOP等高線圖。外輻射源選取表 1中的第1~4個(gè)外輻射源。角度測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置為，4個(gè)外輻射源對(duì)應(yīng)的到達(dá)時(shí)差測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別設(shè)置為0.1 ns, 1 ns, 10 ns, 100 ns。

圖3給出了目標(biāo)高度分別為100 m和10000 m的GDOP圖?？梢钥闯?，在,坐標(biāo)相同時(shí)，目標(biāo)高度越高，定位誤差越小。當(dāng)目標(biāo)位于外輻射源和觀測(cè)站所在的中央?yún)^(qū)域上方時(shí)，定位精度最高，隨著目標(biāo)遠(yuǎn)離該中心區(qū)域，定位誤差增大，且在觀測(cè)站和外輻射源連線方向，定位誤差增加相對(duì)較快。而不同外輻射源對(duì)應(yīng)的測(cè)量誤差之間的差異性，對(duì)于系統(tǒng)定位精度的相對(duì)分布的影響并不顯著。

圖3 定位系統(tǒng)的GDOP圖

6 結(jié)論

本文研究了利用外輻射源的單站無源相干定位問題，提出了一種聯(lián)合角度和時(shí)差的正則化約束總體最小二乘定位方法。本文的主要工作包括：(1)以目標(biāo)高度極低時(shí)為例，分析了定位方程中可能出現(xiàn)的病態(tài)問題。(2)考慮定位方程中各項(xiàng)系數(shù)的誤差，采用正則化約束總體最小二乘算法得到目標(biāo)位置的高精度估計(jì)。(3)通過仿真實(shí)驗(yàn)，表明RCTLS算法具有比CTLS算法更高的定位精度和魯棒性。(4)對(duì)系統(tǒng)GDOP圖的分析表明，目標(biāo)相對(duì)于外輻射源和觀測(cè)站的位置對(duì)定位精度有顯著影響。目標(biāo)位于外輻射源和觀測(cè)站所在的中央?yún)^(qū)域上方，且高度較高時(shí)，定位效果最好。

此外，本文算法針對(duì)的是量測(cè)-目標(biāo)之間匹配關(guān)系明確的單目標(biāo)定位場(chǎng)景。當(dāng)問題擴(kuò)展到多目標(biāo)場(chǎng)景時(shí)，量測(cè)-目標(biāo)之間的匹配關(guān)系未知，此時(shí)可通過一些數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法[20]，得到量測(cè)-目標(biāo)之間匹配關(guān)系后，即可利用本文算法對(duì)目標(biāo)定位。

[1] LIU Jun, LI Hongbin, and HIMED B. On the performance of the cross-correlation detector for passive radar applications[J]., 2015, 113: 32-37.doi: 10.1016/j.sigpro. 2015.01.006.

[2] WANG H, WANG J, and ZHONG L. Mismatched filter for analogue TV-based passive bistatic radar[J].&, 2011, 5(5): 573-581.doi: 10.1049/ iet-rsn.2010.0136.

[3] MICHAEL E, ALEXANDER S, and FABIENNE M. Design and performance evaluation of a mature FM/DAB/DVB-T multi-illuminator passive radar system[J].,&, 2014, 8(2): 114-122.doi: 10.1049/iet-rsn. 2013.0162.

[4] ZEMMARI R, BROETJE M, BATTISTELLO G,GSM passive coherent location system: performance prediction and measurement evaluation[J].,&, 2014, 8(2): 94-105.doi: 10.1049/iet-rsn.2013. 0206.

[5] FALCONE P, COLONE F, MACERA A,Two-dimensional location of moving targets within local areas using WiFi-based multistatic passive radar[J].,&, 2014, 8(2): 123-131.doi: 10.1049/iet-rsn.2013.0207.

[6] WEISS A. On the accuracy of a cellular location system based on RSS measurement[J]., 2003, 52(6): 1508-1518.doi: 10.1109/TVT.2003.819613.

[7] ZHONG Yu, WU Xiaoyan, and HUANG Caishu. Geometric dilution of precision for bearing-only passive location in three-dimensional space[J]., 2015, 51(6): 518-519.doi: 10.1049/el.2014.3700.

[8] WU Panlong, LI Xingxiu, ZHANG Lianzheng,Passive location using TDOA measurements from compass satellite illuminators[J]., 2015, 17(2): 722-728.doi: 10.1002/asjc.904.

[9] GABER A and OMAR A. A study of wireless indoor positioning based on joint TDOA and DOA estimation using 2-D matrix pencil algorithms and IEEE 802.11ac[J]., 2015, 14(5): 2440-2454.doi: 10.1109/TWC.2014.2386869.

[10] 李晶, 李冬海, 趙擁軍. 利用角度和時(shí)差的單站外輻射源定位方法[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版), 2015, 40(2): 227-232.doi: 10.13203/j.whugis20130065.

LI Jing, LI Donghai, and ZHAO Yongjun. Single-observer passive coherent location estimation based on DOA and TDOA[J]., 2015, 40(2): 227-232.doi: 10.13203/j.whugis 20130065.

[11] LI Jing, ZHAO Yongjun, and LI Donghai. Accurate single-observer passive coherent location estimation based on TDOA and DOA[J]., 2014, 27(4): 913–923.doi: 10.1016/j.cja.2014.06.004.

[12] 顧勇為, 歸慶明, 張璇, 等. 大地測(cè)量與地球物理中病態(tài)性問題的正則化迭代解法[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2014, 43(4): 331-336.doi: 10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0049.

GU Yongwei, GUI Qingming, ZHANG Xuan,Iterative solution of regularization to ill-conditioned problems in geodesy and geophysics[J]., 2014, 43(4): 331-336.doi: 10.13485/j.cnki.11-2089. 2014.0049.

[13] MESAROVIC V, GALATSANOS N, and KATSAGGELOS A K.Regularized constrained total least squares image restoration[J]., 1995, 4(8): 1096-1108.doi: 10.1109/83.403444.

[14] FAN X, YOUNAN N, and TAYLOR C. A perturbation analysis of the regularized constrained total least squares[J]., 1996, 43(2): 140-142.doi: 10.1109/82.486461.

[15] 王振杰. 大地測(cè)量中不適定問題的正則化解法研究[D]. [博士論文], 中國科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所, 2003: 25-54.

WANG Zhenjie. Research on the regularization solutions of ill-posed problems in geodesy[D]. [Ph.D. dissertation], Istitute of Geodesy and Geophysics, 2003: 25-54.

[16] LI Wanchun, WEI Ping, and XIAO Xianci. A robust TDOA-based location method and its performance analysis[J].:, 2009, 52(5): 876–882.doi: 10.1007/s11432-009-0101-1.

[17] 梁浩, 崔琛, 代林, 等. 基于ESPRIT算法的L型陣列MIMO雷達(dá)降維DOA估計(jì)[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2015, 37(8): 1828-1835.doi: 10.11999/JEIT141295.

LIANG Hao, CUI Chen, DAI Lin,Reduced-dimensional DOA estimation based on ESPRIT algorithm in MIMO radar with L-shaped array[J].&, 2015, 37(8): 1828-1835.doi: 10.11999/JEIT 141295.

[18] LI Jing, ZHAO Yongjun, and LI Donghai. Passive multipath time delay estimation using MCMC methods[J].,, 2015, 34(12): 3897-3913.doi: 10.1007/s00034-015-0037-1.

[19] SENGIJPTA S K. Fundamentals of statistical signal processing: Estimation theory[J]., 1995, 37(4): 465-466.doi: 10.1080/00401706.1995.10484391.

[20] 李猛, 王智, 李元實(shí), 等. 角度傳感器網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)定位的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法[J]. 電子學(xué)報(bào), 2014, 42(10): 1887-1893. doi: 10.3969/jissn.0372-2112.2014.10.003.

LI Meng, WANG Zhi, LI Yuanshi,. Data association in multi-target localization using bearing-only sensor networks [J]., 2014, 42(10): 1887-1893. doi: 10.3969/jissn.0372-2112.2014.10.003.

Single-observer Passive DOA-TDOA Location Based on Regularized Constrained Total Least Squares

ZHAO Yongjun ZHAO Yongsheng ZHAO Chuang

(School of Navigation and Aerospace Engineering, PLA Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China)

To solve the single-observer passive location estimation using illuminators of opportunity, a jointing Direction Of Arrival (DOA) and Time Difference Of Arrival (TDOA) location method based on Regularized Constrained Total Least Squares (RCTLS) algorithm is proposed. Firstly, the DOA and TDOA measurement equations are linearized. Considering the errors in the location equations, the localization problem is established as a RCTLS model. Then the Newton’s method is applied to solving the RCTLS model to obtain the target position. The theoretical error of the proposed algorithm is derived and an optimal regularization parameter is chosen by the least mean square error rule. Simulation results show that the proposed RCTLS algorithm has lower mean squares error than the Constrained Total Least Squares (CTLS) algorithm. Moreover, from the Geometric Dilution Of Precision (GDOP) figure, it can be concluded that positions of the target and illuminators are also important factors affecting the localization accuracy.

Passive location; DOA and TDOA; Single-observer; Illuminator of opportunity; Regularized Constrained Total Least Squares (RCTLS)

TN971

A

1009-5896(2016)09-2336-08

10.11999/JEIT151379

2015-12-08；

2016-04-27；

2016-06-24

國家自然科學(xué)基金(61401469, 41301481, 61501513)，國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(2012AA7031015)

The National Natural Science Foundation of China (61401469, 41301481, 61501513), The National High Technology Research and Development Program of China (2012AA7031015)

趙擁軍 zhaoyongjuntg@126.com

趙擁軍： 男，1964年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闊o源定位、陣列信號(hào)處理.

趙勇勝： 男，1990年生，碩士生，研究方向?yàn)闊o源定位.

趙 闖： 男，1978年生，副教授，研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)處理.