王奇生，王華生

?

關(guān)于一類(lèi)混合型泛函積分方程最佳平方逼近方法的深層研究

王奇生，王華生

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門(mén) 529020）

通過(guò)對(duì)泛函積分方程最佳平方逼近解法的深層研究，解決了本文第一作者2014年在《Journal of Computational and Applied Mathematics》上發(fā)表的論文存在的兩個(gè)不足，證明了一類(lèi)帶復(fù)合因子Volterra-Fredholm混合型積分方程解析解和最佳平方逼近解的存在唯一性定理.

Volterra-Fredholm型積分方程；復(fù)合因子；最佳平方逼近；解的存在唯一性

本文第一作者多年講授研究生課程數(shù)值計(jì)算方法[1-2]，經(jīng)常開(kāi)展討論班形式的研討型教學(xué)方法的研究. 結(jié)合學(xué)科研究前沿，我們將Lagrange插值法[3]、Taylor多項(xiàng)式逼近方法[4]、最佳平方逼近方法[5]、不動(dòng)點(diǎn)迭代方法[6]等經(jīng)典數(shù)值計(jì)算方法成功運(yùn)用于求解積分微分方程問(wèn)題，并取得了一些研究成果. 本文是對(duì)文獻(xiàn)[5]的進(jìn)一步探究，得到了一些深層的結(jié)果.

文獻(xiàn)[5]研究了一類(lèi)帶復(fù)合因子的Volterra-Fredholm混合型積分方程問(wèn)題：

并利用最佳平方逼近方法解決了其數(shù)值求解問(wèn)題，給出了最佳平方逼近解的求解格式及收斂性分析等結(jié)果，然而并沒(méi)有對(duì)方程（1）解析解的存在唯一性及最佳平方逼近解的存在唯一性進(jìn)行證明. 本文是對(duì)文獻(xiàn)[5]的進(jìn)一步研究，解決了上述兩方面的不足.

1 解析解的存在唯一性定理

利用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，給出方程（1）的解析解存在唯一性的充分條件.

定理1（解析解的存在唯一性） 如果下述條件滿足，即

則積分方程（1）存在唯一解.

2 最佳平方逼近解的存在唯一性定理

對(duì)方程（1），定義算子

則

證明 因?yàn)?/p>

根據(jù)式（3）和式（8），有

亦即

注意到方程組（13）可以寫(xiě)成如下矩陣形式：

定理3（最佳平方逼近解的存在唯一性） 如果方程（1）滿足定理1中的條件，則方程（1）的最佳平方逼近解也是存在且唯一的.

證畢.

參考文獻(xiàn)：

[1] 李慶揚(yáng)，王能超，易大義. 數(shù)值分析[M]. 5版. 北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[2] WAZWAZ A M. A first course in integral equations [M]. 2nd Edition. London: World Scientific, 2015.

[3] WANG Keyan, WANG Qisheng. Lagrange collocation method for solving Volterra-Fredholm integral equations [J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 219(21): 10434-10440.

[4] WANG Keyan, WANG Qisheng. Taylor polynomial method and error estimation for a kind of mixed Volterra- Fredholm integral equations [J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 229: 53-59.

[5] WANG Qisheng, WANG Keyan, CHEN Shaojun. Least squares approximation method for the solution of Volterra-Fredholm integral equations [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2014, 272(3): 141-147.

[6] WANG Keyan, WANG Qisheng, GUAN Kaizhong. Iterative method and convergence analysis for a kind of mixed nonlinear Volterra-Fredholm integral equation [J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 225(12): 631-637.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

An Exploration of the Best Square Approximation Method for a Kind of Mixed Functional Integral Equation

WANGQi-sheng, WANGHua-sheng

(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

This paper is a deep study of the least squares approximation method for the functional integral equation, and solves the two deficiencies in a paper published by the first author of the paper in(2014). The proof of the existence and uniqueness theorem of the analytic solution and the optimal square approximation solution for a class of Volterra-Fredholm mixed type integral equations with complex factors is given.

Volterra-Fredholm integral equation; complex factors; best square approximation; existence and uniqueness

1006-7302（2016）04-0001-04

O189.1

A

2016-04-08

廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2015A030313643）；五邑大學(xué)學(xué)位與研究生教育改革研究項(xiàng)目（YJS- JGXM-14-02；YJS-JGXM-14-03）.

王奇生（1961—），男，湖南衡陽(yáng)人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槲⒎e分方程數(shù)值解法.