林海濤，楊曉鵬

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東潮州　521041）

約束條件為取大-取小型模糊關(guān)系不等式的取小-取大規(guī)劃問題

林海濤，楊曉鵬

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東潮州521041）

提出了目標(biāo)函數(shù)為取小-取大規(guī)劃、約束條件為取大-取小型模糊關(guān)系不等式的優(yōu)化規(guī)劃模型.通過求解其導(dǎo)出的單變量模糊關(guān)系不等式，得到求解該優(yōu)化模型的一種簡(jiǎn)易算法.同時(shí)討論了該規(guī)劃模型解的存在性、解的結(jié)構(gòu)及最優(yōu)解的唯一性的等價(jià)條件.最后給出兩個(gè)數(shù)值例子.

取小-取大規(guī)劃；取大-取小型模糊不等式；導(dǎo)出的單變量模糊關(guān)系不等式

取大-取小合成算子是模糊數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算.自從法國模糊學(xué)家、生物數(shù)學(xué)家桑切斯（E.Sanchez）［1，2］在1972年第一次提出了含取大-取小合成算子的模糊關(guān)系方程并進(jìn)行開創(chuàng)性的探究之后，模糊關(guān)系方程開始被應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域，諸如模糊邏輯推理、人工智能、模糊決策和圖像處理.模糊關(guān)系方程的研究主要有兩個(gè)方向：研究解的算法和結(jié)構(gòu)；研究模糊關(guān)系方程約束的規(guī)劃問題.曹炳元在文獻(xiàn)［3］中詳細(xì)介紹了取大-取小模糊方程的求法，B.S.Shieh［4-5］討論了取大-取小合成算子的模糊關(guān)系方程的新的求法.同時(shí)，具有模糊關(guān)系方程約束的規(guī)劃問題也成了研究的熱點(diǎn).楊吉會(huì)、曹炳元［6］應(yīng)用懲罰函數(shù)和遺傳算法提出了具有模糊關(guān)系約束的線性規(guī)劃的一種解法.最近幾年，他們?cè)谖墨I(xiàn)［7-9］中提出了模糊關(guān)系的幾何規(guī)劃及其解法.Cheung-Wen Chang［10］解決了目標(biāo)函數(shù)為加權(quán)求和、約束條件為取大-取小模糊關(guān)系方程的優(yōu)化問題.本文將探討目標(biāo)函數(shù)為取小-取大、約束條件為取大-取小模糊關(guān)系不等式的優(yōu)化問題.

1　預(yù)備知識(shí)

定義1取大-取小型模糊不等式是指型如

的方程.式中aij,bi,xj∈［0,1］，i∈I=｛1,2,…,m｝，j∈J=｛1,2,…,n｝，I,J是兩個(gè)指標(biāo)集.不等式組（1）可以記為 （ai1∧x1）∨（ai2∧x2）∨…∨（ain∧xn）≥bi， i∈I.或 A°x≥b，其中 A=（aij）m×n，b=（bi）m×1，x=（xj）n×1.

定義2稱不等式組（1）是相容的，如果（1）有可行解.即存在x∈［0,1］n，使得A°x≥b成立.并記（1）的所有可行解的集合為X（A,b）=｛x|A°x≥b｝.

證明（必要性）若式（1）是相容的，即存在，使得

記式（1）的極小解集為X?（A,b）.定理2可以看出式（1）的解集由其唯一的最大解和有限個(gè)極小解完全決定.

定理2［3］式（1）是相容的，則（1）的所有解集為

根據(jù)定理2，當(dāng)式（1）相容時(shí)，它的解集X（A,b）是一個(gè)非凸集.為了求式（1）的解集，一般要求出其最大解和全部極小解.前面討論知最大解為=［1,1,...,1］T，而對(duì)于極小解的求解，一般比較困難.

2　模型建立

建立如下的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

模型（2）是含取小-取大目標(biāo)函數(shù)且約束條件為取大-取小模糊不等式方程的非凸優(yōu)化問題.本文的目標(biāo)就是求出模型（2）的最優(yōu)解.為了求得模型（2）的最優(yōu)解，引入“導(dǎo)出模糊關(guān)系不等式”的定義.

定義4設(shè)變量t∈［0,1］，稱

為模糊關(guān)系不等式（1）的導(dǎo)出模糊關(guān)系不等式，其中aij,bi為（1）所定義.

并記下面模型為（4）

可見，模型（4）為單變量的模糊關(guān)系不等式.將通過求解模型（4）來求解模型（2）.

3　模型求解

3.1模型（4）求解

證明充分性是顯然的，下證必要性.

另一方面，設(shè)y為（3）任一可行解，下證：對(duì)任意的i∈I，y≥bi，從而，即為（4）的最優(yōu)解.

（反證法）設(shè)存在某一i0，y＜bi0，從而

此說明y不是（3）的可行解，與假設(shè)矛盾！因而對(duì)任意的i，y≥bi，從而.這說明為（4）的最優(yōu)解.

3.2模型（2）求解

其次，對(duì)于（2）的任一最優(yōu)解y*=［y1,y2,...,yn］T，下證g（y*）≥g（x*）.

（反證法）設(shè)g（y*）＜g（x*），即.取，，則，容易驗(yàn)證yˉ為（3）的解.事實(shí)上，因?yàn)閥*=［y1,y2,...,yn］T為（2）之最優(yōu)解，因而滿足（1），即

另一方面，

根據(jù)定理3、4，得到求解模型（2）的一種算法

證明根據(jù)定理4的證明，可知x*為模型（2）的最大最優(yōu)解.設(shè)模型（2）的任意最優(yōu)解為x=（x1,x2,...,x）.一方面，由定理2關(guān)于約束條件（1）極小解的結(jié)構(gòu)可知，存在∈X?（A,b），使得nx≥.另一方面，x必須滿足

最后，討論模型（2）解的唯一性.定理5說明模型（2）的解集一般不唯一，但定理6將給出模型（2）解唯一的充要條件.

定理6模型（2）的有唯一最優(yōu)解的充要條件是滿足：對(duì)任意 j∈J，存在i0∈I，使得

由唯一性，x#從而不是模型（2）的最優(yōu)解，從而不滿足（1）.故至少存在某一i0∈I，使得

（充分性）設(shè)［x1,x2,...,xn］T為模型（2）任一解，若對(duì)任意 j∈J，存在i0∈I，使得

另一方面，由定理5知x*為最大最優(yōu)解，故從而［x1,x2,...,xn］T=x*，即模型（2）的最優(yōu)解唯一.

4　數(shù)值例子

例1求解優(yōu)化模型

其中，

因而，該模型的一個(gè)最優(yōu)解為（0.8,0.8,0.8,0.8,0.8），其最小值為0.8.

例2求解優(yōu)化模型

解：由本文算法，易求得模型的最小值為g（x）=0.7.同時(shí)根據(jù)定理6的判別，可知該最優(yōu)解x*=［0.7,0.7］T為唯一最優(yōu)解.

5　小結(jié)

本文討論了目標(biāo)函數(shù)為取小-取大規(guī)劃、約束條件為取大-取小型模糊不等式規(guī)劃問題（2）.為求解該問題，引入“導(dǎo)出單變量模糊關(guān)系不等式”模型（4）.該模型與（2）具有相同的系數(shù).接著討論了兩模型的關(guān)系（定理4），并得到模型（2）最優(yōu)解算法.該算法避開了傳統(tǒng)求解所有極小解的復(fù)雜的步驟，間接通過計(jì)算模型（4）的最優(yōu)解來獲得模型（2）的一個(gè)最優(yōu)解.同時(shí)定理5給出模型（2）的解的結(jié)構(gòu).定理6則給出模型（2）解的唯一性判別的等價(jià)條件.最后通過兩個(gè)數(shù)值例子說明了算法的有效性和簡(jiǎn)易性.該規(guī)劃可用于實(shí)驗(yàn)室點(diǎn)對(duì)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)［11］的優(yōu)化問題，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義.

［1］SANCHEZ E.Equations de Relations Floues［M］.Marseille：These Biologie Humaine，1972.

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［6］楊吉會(huì)，曹炳元.具有模糊關(guān)系約束的線性規(guī)劃的解法［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2008，23（5）：627-631.

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［11］楊曉鵬，楊曉斌.模糊關(guān)系方程在實(shí)驗(yàn)室點(diǎn)對(duì)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的應(yīng)用［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016，35（1）：81-84.

Min-max Programming Problem Subject to Max-min Fuzzy Relation Inequalities

LIN Hai-tao，YANG Xiao-peng
（School of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041）

Min-max programming problem subject to max-min relation inequalities is introduced in this paper.The problem is solved with the help of the derived single variable fuzzy inequalities，which has close relationship with the proposed problem.An algorithm for the problem is provided with two numerical examples. Furthermore，the existence，the structure and the uniqueness of the solution to the problem are discussed in the paper.

min-max programming；max-min fuzzy relation inequalities；derived single variable fuzzy inequalities

O 159

A

1007-6883（2016）03-0029-05

責(zé)任編輯朱本華

2015-12-31

林海濤（1982-），男，廣東揭陽人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師.