楊憲立，紀(jì)保存

(1.河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 鄭州 450046；2.濮陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系，河南 濮陽(yáng) 457000)

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對(duì)一個(gè)條件恒等式的反思探究

楊憲立1，紀(jì)保存2

(1.河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 鄭州 450046；2.濮陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系，河南 濮陽(yáng) 457000)

對(duì)一個(gè)條件恒等式進(jìn)行了反思探究.利用牛頓公式，給出了一個(gè)條件恒等式的簡(jiǎn)捷證明，探究反思得到了4個(gè)類(lèi)似的結(jié)論，從理論上對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了探索論證并進(jìn)行了推廣，得到了9個(gè)新的命題.

恒等式；探究；命題；正整數(shù)數(shù)組

文獻(xiàn)[1]中有這樣一道題目：已知a1，a2，a3∈R，且a1+a2+a3=0，求證

(1)

這個(gè)簡(jiǎn)單的條件恒等式洋溢著對(duì)稱(chēng)、奇異、和諧、統(tǒng)一等數(shù)學(xué)美．如此優(yōu)美的條件恒等式，自然引起了我們極大的興趣，好奇心驅(qū)使我們進(jìn)行反思：它是怎么得來(lái)的？還有類(lèi)似的條件恒等式嗎？能推廣嗎?

探究1探源與簡(jiǎn)證．

(1)式最初是何人給出，又是如何發(fā)現(xiàn)的，最早出現(xiàn)在何處，筆者手頭缺乏資料，無(wú)從考證，只有大膽猜測(cè)，它與牛頓公式有關(guān)．即使猜測(cè)錯(cuò)誤，至少利用牛頓公式也能給出(1)式的一個(gè)簡(jiǎn)捷證明．

1)當(dāng)m≤k時(shí)，sm=σ1sm-1-σ2sm-2+…+(-1)mσm-1s1+m(-1)m+1σm；

2)當(dāng)m>k時(shí)，sm=σ1sm-1-σ2sm-2+…+(-1)k+1σksm-k．

從以上證明中還可得出以下命題1.

命題1已知a1，a2，a3∈R，且a1+a2+a3=0，求證

探究2還有與(1)式類(lèi)似的恒等式嗎？

繼續(xù)利用牛頓公式計(jì)算：

由此，可得

命題2已知a1，a2，a3∈R，且a1+a2+a3=0，求證

(2)

探究3觀(guān)察結(jié)構(gòu)上完全一致的(1)式和(2)式，可統(tǒng)一表示為

(3)

那么，使(3)式恒成立的正整數(shù)數(shù)組(m，n)有幾組解呢？

因?yàn)閍1+a2+a3=0，所以a3=-(a1+a2)，從而(3)式等價(jià)于

(4)

(5)

(6)

可以驗(yàn)證，當(dāng)n=3時(shí)，(6)式左右兩邊相等，所以(2,3)是所求的一組解．

綜上所述，可得命題3.

命題3已知a1，a2，a3∈R，且a1+a2+a3=0，則使(3)式恒成立的正整數(shù)數(shù)組(m,n)(m≤n)只有兩組解(2,3)與(2,5)．

探究4(1)式的推廣．

命題4設(shè)a1，a2，a3，a4∈R，且a1+a2+a3+a4=0，求證

命題5設(shè)a1+a2+a3+a4=0，則使f4(m+n)=f4(m)f4(n)恒成立的正整數(shù)數(shù)組(m,n)(m≤n)只有一組解(2,3)．

證明當(dāng)a5=a6=……=ak=0時(shí)，命題6化為命題5，因此它最多只有一組解(2,3).取a1=a2=a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=a7=……=ak=0，則fk(2+3)=-6，fk(2)fk(3)=-8，從而(2,3)不是它的解，故命題成立．

限于篇幅，下面3個(gè)命題的證明略去，有興趣的讀者可自證．

命題7設(shè)a1+a2+a3=0，則使f3(m+n+t)=f3(m)f3(n)f3(t)(m≤n≤t)恒成立的正整數(shù)數(shù)組(m,n,t)只有一組解(2,2,3)．

命題8設(shè)a1+a2+…+ak=0(k≥4)，則不存在正整數(shù)數(shù)組(m,n,t)，使fk(m+n+t)=fk(m)fk(n)fk(t)恒成立．

命題9設(shè)a1+a2+…+ak=0(k≥3)，則不存在正整數(shù)數(shù)組(m1,m2,…,mr)(r≥4)，使fk(m1+m2+…+mr)=fk(m1)fk(m2)…fk(mr)恒成立．

[1]李長(zhǎng)明,周煥山.初等數(shù)學(xué)研究[M].北京:高等教育出版社,1995：127.

[2]余希元,田萬(wàn)海,毛宏德.初等數(shù)學(xué)研究:上[M].北京:高等教育出版社，1988：163.

The Reflection and Inquiry on a Conditioned Identity

YANG Xianli1, JI Baocun2

(1.School of Mathe matics and Statistics, Henan Institute of Education, Zhengzhou 450046, China；2.Department ofMethematicsandStatistics,PuyangVocationalandTechnicalCollege,Puyang457000,China)

The inquiry and reflection were made on a conditioned identity. And gives a succinct proof with the help of Newton formula. What’s more, probes into four similar conclusions, and demonstrates the problem theoretically. In addition, popularizes the problem and gets nine new propositions.

identity; inquiry; proposition; positive integer array

2016-04-16

河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(16B110005)；河南省教育廳教師教育改革研究項(xiàng)目(2015-JSJYYB-120)

楊憲立(1961—)，男，河南林州人，河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，主要研究方向：數(shù)學(xué)教育.

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.03.013

G642

A

1007-0834(2016)03-0046-03