周 娟，李 超

（湖北民族學院科技學院，湖北恩施445000）

盧卡西維茨多值邏輯在模糊模態(tài)邏輯中的應(yīng)用

周 娟，李 超

（湖北民族學院科技學院，湖北恩施445000）

模態(tài)推理是人工智能研究的重要內(nèi)容.已有的推理方法，由于計算復雜等原因，使用范圍受到限制.將模態(tài)邏輯轉(zhuǎn)換為盧卡西維茨多值邏輯，再將盧卡西維茨多值邏輯轉(zhuǎn)換為布爾邏輯的推理機計算簡單，而且還能用于模糊模態(tài)和模糊謂詞推理中.基于此，驗證了模態(tài)邏輯和盧卡西維茨的三值邏輯的相符性，并將推理機應(yīng)用于模糊模態(tài)邏輯中.

盧卡西維茨多值演算；模態(tài)邏輯；推理機；模糊邏輯

邏輯學研究的主要是推理形式及其規(guī)律.推理通常由若干命題組成，推理形式通過命題得以表示.模態(tài)邏輯研究模態(tài)推理形式及其規(guī)律，即，必然、可能及其相關(guān)概念的邏輯性質(zhì).其中，□表示必然，◇表示可能.□和◇之間的聯(lián)系為◇x=?□?x（?表示非、否定）.

古典邏輯是二值邏輯，一個命題只有兩種取值，非真即假，非假即真，是確定的.亞里士多得在《解釋篇》第九章中指出：“明天將有海戰(zhàn)”.這類命題既非真，又非假，而是真假都可能，具有隨機性、模糊性［2］.所以，一個命題有可能取三個或者更多值.針對將來不確定陳述，盧卡西維茨等引進了多值邏輯.在盧卡西維茨的三值邏輯中，公式x有三個值：val（x）=｛0，1/2，1｝，其中0代表不可能（假）的，1/2-可能的，1-必然（真）的.

模態(tài)邏輯和盧卡西維茨三值邏輯的轉(zhuǎn)換如下：

用二元矢量公式（x1，x2），（?x2，?x1），（y1，y2），（?y2，?y1）對應(yīng)地替換三值公式x，?x，y，?y［3］，即：

并使用以下三值公式和矢量公式之間的對應(yīng)關(guān)系：

即獲得了等價的布爾邏輯［4］.

與使用其他方法（如：公理化方法［5］、歸結(jié)原理［6］、自然演繹方法［7］、表列方法［8］等）的推理機相比，上述推理機的適用范圍更廣，計算更簡單［9］.

1 驗證模態(tài)邏輯和盧卡西維茨的三值邏輯的相符性

1.1 模態(tài)基本定理

用盧卡西維茨的邏輯推理替換模態(tài)邏輯推理需要驗證基本公理的可行性.用□x≡val（x）=1，◇x≡val（x）≥1/2證明以下定理（符號?指模態(tài)演算的蘊涵，→布爾命題演算的蘊涵.x［μ（x）］表示一個只允許val（x）≥μx解釋的公式.μx是公式x的不確定度.）

因為對于任意一個公式x，盧卡西維茨的三值邏輯不允許解釋x=（x1，x2）=（0，1）.因此，在上述系統(tǒng)還需要添加以下公式：

得到如下公式：

證明 ?p2∨q1·q2.

證明由歸結(jié)原理得到.

1.2 非模態(tài)基本定理

證明若干不使用模態(tài)算子□和◇的重要定理.

證明基于以下真值表1.

表1　x→y≡?x∨y真值表Tab.1 The truth tab1e of x→y≡?x∨y

這個定理用歸謬法（反證法）證明.用以下公式：

作為前提，并且證明：

通過觀察可得出結(jié)果，x·?y=（x1·?y2，x2·?y1）不允許解釋（1，0）和（1，1），其中x1·?y2=1.

用歸結(jié)原理，通過類比可以看出該公式是真的.

這個規(guī)則是直接根據(jù)本節(jié)的定理1和3而來的.

這條規(guī)則的解釋同第四個定理.

2 模糊模態(tài)邏輯

模糊模態(tài)邏輯是通過指定模糊測度從模態(tài)邏輯公式推導而來的.例如□xy［μ≥0.6］表示公式□xy為真的可能性為0.6.設(shè)S是給定的公式：

考慮到嚴格歸結(jié)原理的限制，我們根據(jù)盧卡西維茨多值邏輯建立推理機，多值邏輯允許近似推理具有足夠精確度的給定模糊邏輯.以盧卡西維茨四值邏輯為例：

其中：v=0-假，v=1-可能假，v=2-可能真，v=3-真.使用以下四值公式和矢量公式之間的對應(yīng)關(guān)系：

因為α≡（α1，α2，α3），所以◇α［μ≥1/3］=◇（010∨110∨111）=◇（?α1α2?α3∨α1α2?α3∨α1α2α3）=◇（α1α2∨α2?α3∨α2α3）=◇α2.

再看一個例子，◇α［μ≥2/3］=◇（110∨111）=◇（α1α2）→◇α1.

也就是說，用“簡明模態(tài)邏輯”的公式◇α2代替公式◇α［μ≥1/3］，用◇α1代替公式◇α［μ≥2/3］.

3 盧卡西維茨多值邏輯在模糊模態(tài)邏輯中的應(yīng)用

為了解決模糊模態(tài)邏輯的推理問題需要執(zhí)行兩個步驟：

1）把原始的模糊模態(tài)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成經(jīng)典邏輯系統(tǒng).

2）借助于已知的演繹方法（如歸結(jié)原理）實現(xiàn)經(jīng)典邏輯系統(tǒng)的推理.

例1 證明或反駁命題，從公式◇（x∨y）［μ≥1/3］和□?x［μ=1］推出公式◇y［μ≥1/3］.

用三元矢量公式（x1，x2，x3），（?x1，?x3，?x2），（y1，y2，y3），（?y1，?y3，?y2）對應(yīng)地替換四值公式x，?x，y，?y，得到：

獲得了等價公式：

證明基于歸結(jié)原理，即，首先對結(jié)論求反，然后將已知條件和結(jié)論的否定合在一起作為新子句集.如果新子句集存在矛盾，則證明了結(jié)論的正確性.對被證明的公式求反，得到以下的子句集：

借助于盧卡西維茨的三值公式可得：

最終形成以下的子句集：

該子句集存在矛盾，證明了結(jié)論的正確性.

例2 證明或反駁命題，從公式◇（x∨y）［μ≥1/3］，□?x［μ=1］和□?y［μ≥2/3］推出公式◇?y［μ≤1/3］.

同上可得：

從以上公式中證明公式◇（?y1·?y2）.

對被證明的公式求反，得到以下的子句集：

該子句集不存在矛盾，證明了結(jié)論是不正確的.

4 結(jié)論

本文的理論方法可以應(yīng)用在各種智能系統(tǒng)中.顯然，由于盧卡西維茨多值邏輯推理機的近似特性，還需要進一步研究多個真值和規(guī)定精度之間的關(guān)系.除此之外，如何將推理機應(yīng)用于含有模糊謂詞的模態(tài)推理中也是一個需要深入研究的課題.

［1］ 周娟，李超.基于盧卡西維茨多值演算的模態(tài)邏輯推理機［J］.湖北民族學院學報（自然科學版），2015，33（3）：285-289.

［2］ 張家錄，陳雪剛，趙曉東.經(jīng)典命題邏輯的概率語義及其應(yīng)用［J］.計算機學報，2014，37（8）：1775-1785.

［3］ GEMAN O V，SAMKO R A，GERMAN Yu O.An inference system for a fuzzy 1ogic on the basis of mu1ti-va1ued Lukasiewicz ca1cu1i［J］.Works of the Be1arusian University of Techno1ogy（Minsk，Be1arus），Natura1 Sciences and Informatics，VI，2010，（18）：190-193（in Russian）.

［4］ GERMAN O V.Non-c1assica1 1ogica1 ca1cu1i［M］.The Repub1ic of Be1arus：BSUIR，2012：21-25（in Russian）.

［5］ 李駿，王國俊.基于支持度理論的廣義Modus Ponens問題的最優(yōu)解［J］.軟件學報，2007，18（11）：2712-2714.

［6］ NIVELLE D H，SCHMIDT R A，HUSTADT U.Reso1ution-based methods for moda1 1ogics［J］.Logic Journa1 of the IGPL，2002，10（1）：265-292.

［7］ 陳曉平.自然演繹邏輯導論［M］.廣州：中山大學出版社，2006：102-103.

［8］ Jarmu-ek T.Tab1eau Metatheorem for Moda1 Logics［M］.Germany：Springer Internationa1 Pub1ishing，2014：103-126.

［9］ 王慶平，王國俊.多值Lukasiewicz邏輯公式的范式表示和計數(shù)問題［J］.軟件學報，2013，24（3）：433-453.

責任編輯：時 凌

APPlication of Lukasiewicz Multivalued Calculi in FuzzY Modal Logic

ZHOU Juan，LI Chao
（Science and Techno1ogy Co11ege of Hubei University for Nationa1ities，Enshi 445000，China）

In this paper rep1acement of inference machine in moda1 1ogic by the corresponding inference in 3-va1ued Lukasiewicz 1ogic is verified.The inference machine a11ows approximating the given fuzzy 1ogic with a reasonab1e degree of accuracy.By means of verification and examp1es，we showed the app1ication of Lukasiewicz mu1tiva1ued ca1cu1i in fuzzy moda1 1ogic.

mu1ti-va1ued Lukasiewicz ca1cu1us；moda1 1ogic；inference machine；fuzzy 1ogic

TP18

A

1008-8423（2016）02-0214-05

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.025

2016-01-28.

周娟（1986-），女，碩士，主要從事模態(tài)邏輯的研究.