□ 江蘇省昆山中學(xué) 楊傳頂

“衛(wèi)星變軌”中疑難問題突破舉隅

□ 江蘇省昆山中學(xué) 楊傳頂

處理衛(wèi)星變軌中加速還是減速的問題，關(guān)鍵在于會(huì)比較衛(wèi)星在不同位置的速度大小。穩(wěn)定圓軌道上的速度可直接通過公式比較，而變軌前后瞬間的速度大小，則需要根據(jù)其做向心還是離心運(yùn)動(dòng)來判斷。

衛(wèi)星變軌向心和離心曲率半徑玻爾模型

一、變軌過程

以發(fā)射地球同步衛(wèi)星為例，將其過程簡(jiǎn)化為圖1所示。軌道1為近地圓軌道，軌道2、3分別為同步轉(zhuǎn)移軌道和同步軌道。發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí)，并非直接使用運(yùn)載火箭將其運(yùn)送至軌道3，而是先發(fā)射至近地圓軌道1，從軌道1至3也不能直接完成，還需要經(jīng)過軌道2的過渡，再調(diào)整到軌道3，加速或減速的操作只在切點(diǎn)P和Q處短暫進(jìn)行。對(duì)該過程的理解，是正確掌握前文所提問題的基礎(chǔ)。

二、變軌原理

假定衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)行速率為v1，軌道1半徑為r1，萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由動(dòng)力學(xué)知識(shí)

可知，此時(shí)為穩(wěn)定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若需將軌道調(diào)整至軌道2，即在P點(diǎn)處做離心運(yùn)動(dòng)，需滿足條件

其中r為軌道2在P、Q點(diǎn)處的曲率半徑。然后衛(wèi)星僅在引力作用下，沿橢圓軌道2從P運(yùn)行至Q，速率減小至vQ，在無任何其他影響下，又將沿軌道2做向心運(yùn)動(dòng)回到P點(diǎn)。若需將軌道從2調(diào)整至3，則應(yīng)在Q點(diǎn)處再次執(zhí)行加速指令，將速率從vQ增加至v3。同理在Q點(diǎn)處滿足方程

其中為軌道3的半徑。由以上分析可知，在P、Q處需要執(zhí)行的是加速操作。我們也可通過簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到Vp＞V1以及V3＞VQ的結(jié)論。由能量守恒

由⑥式不難看出r1＜r＜r3，比較①式和②式，可知vp＞v1，比較③式和④式，可得v3＞vQ。該過程的另一意義在于，即使不用復(fù)雜數(shù)學(xué)知識(shí)，只通過物理方法，也可以解出橢圓軌道2在P、Q處的曲率半徑，這種方法突出體現(xiàn)了數(shù)理結(jié)合的思想，讓學(xué)生有耳目一新的感覺，對(duì)提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平很有好處。

三、曲率半徑

上述計(jì)算中使用到了曲率半徑的知識(shí)，《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理②必修》（下文簡(jiǎn)稱《必修②》）對(duì)該部分知識(shí)有如下描述：“運(yùn)動(dòng)軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運(yùn)動(dòng)，可以稱為一般的曲線運(yùn)動(dòng)。盡管這時(shí)曲線各個(gè)位置的彎曲程度不一樣，但在研究時(shí)，可以把這條曲線分割為許多很短的小段，質(zhì)點(diǎn)在每小段的運(yùn)動(dòng)都可以看作是圓周運(yùn)動(dòng)的一部分。這樣，在分析質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過曲線上某位置的運(yùn)動(dòng)時(shí)，就可以采用圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法來處理了?！薄侗匦蔻凇凡⑽刺峒扒拾霃降母拍?，教授時(shí)對(duì)此部分內(nèi)容也幾乎一帶而過。其實(shí)在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，不妨明確指明曲率半徑的概念，這對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)將大有裨益，如圖2所示，圖中的圓周即為曲線分別在A、B點(diǎn)的曲率圓，其半徑即為相應(yīng)的曲率半徑。

也可以通過一種比較特殊的、直觀的辦法來理解曲率半徑。圖3中兩個(gè)圓相切于A點(diǎn)，兩個(gè)圓在A點(diǎn)處的曲率半徑分別為兩圓的半徑，顯然外圓半徑大于內(nèi)圓半徑。因此，可以得出定性的結(jié)論：在切點(diǎn)處，外弧線的曲率半徑比內(nèi)弧線的大。該圖對(duì)理解和比較曲率半徑大小有著積極的意義。

四、能量問題

從能量角度，可以對(duì)變軌問題有一個(gè)更直觀的認(rèn)識(shí)。從低軌道至高軌道，需要發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)衛(wèi)星做正功使其加速，做離心運(yùn)動(dòng)；從高軌道至低軌道，則需做負(fù)功使其減速，從而做向心運(yùn)動(dòng)。反之，如果從低軌道至高軌道，對(duì)衛(wèi)星不是做正功，而是做負(fù)功，相當(dāng)于發(fā)射衛(wèi)星時(shí)不用火箭推進(jìn)，這是違背自然常識(shí)，違背對(duì)能量守恒的基本認(rèn)知的。

五、四個(gè)速度

以上分析過程清晰表明：衛(wèi)星從低軌道變軌至高軌道，需要執(zhí)行的是加速操作，而不是減速操作。衛(wèi)星在高軌道運(yùn)行速度之所以小于在低軌道上的速度，則是在軌道2上從P點(diǎn)至Q點(diǎn)克服引力做功的原因。根據(jù)方程①～④和⑥式可以分別解出 v1≈7.9km/s，vp≈10.4km/s，vQ≈1.6km/s，v3≈3.1km/s，并能直接比較出各個(gè)速度的大小。這些計(jì)算過程并不復(fù)雜，可以留給學(xué)生自主完成，既熟悉了公式，又可以加深對(duì)原理的理解，還可以拓展知識(shí)面，可謂一舉多得。

六、軌道漸變和修正

人造衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，衛(wèi)星運(yùn)行空間仍然有稀薄大氣存在，其運(yùn)行將會(huì)受到阻力的影響，且大氣阻力對(duì)衛(wèi)星做負(fù)功，這將會(huì)導(dǎo)致其軌道半徑緩慢減小。當(dāng)這種改變到了比較明顯的程度，影響正常功能發(fā)揮的時(shí)候，就需要對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行變軌，通過發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)其做正功，使之升高到原來的軌道。對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行變軌操作時(shí)，需要消耗其所攜帶的燃料，當(dāng)燃料因各種需要耗盡以后，將無法再對(duì)其進(jìn)行軌道修正與控制，最終變成太空垃圾。

七、與玻爾原子模型類比

人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，與電子繞氫原子核的運(yùn)動(dòng)相比，既有相似點(diǎn)，又有不同之處。

1.相似點(diǎn)。衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，電子繞氫原子核運(yùn)動(dòng)的向心力則由庫侖力提供，二種運(yùn)動(dòng)都是在有心力作用下的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，遵循完全相似的分析方法。由及前述分析過程可知，當(dāng)電子由內(nèi)層軌道往外層軌道躍遷時(shí)，同樣也需要吸收能量，到半徑更大的新軌道上時(shí)，速度變小。同理，從外層軌道向內(nèi)層軌道躍遷時(shí)，則會(huì)放出能量，到半徑更小的內(nèi)層軌道上時(shí)，速度變大。

2.不同點(diǎn)。實(shí)際問題中更多關(guān)注的是二者的相同點(diǎn)，往往忽視了兩者之間的不同之處。衛(wèi)星繞地球運(yùn)行時(shí)，其軌道是連續(xù)的，不會(huì)發(fā)生突變，而在玻爾原子模型中，電子的軌道卻是定態(tài)的，不連續(xù)的，從一個(gè)軌道躍遷至另一軌道，會(huì)發(fā)生能級(jí)的突變。當(dāng)然這是經(jīng)典理論與量子理論的區(qū)別，這里僅僅提出該問題，以引起教學(xué)上的重視，并不做重點(diǎn)討論。