賀紅林　陶　結(jié)　劉堯弟　凌　普

南昌航空大學， 南昌，330063

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基于漸進法的約束阻尼結(jié)構(gòu)拓撲多目標動力學優(yōu)化

賀紅林陶結(jié)劉堯弟凌普

南昌航空大學， 南昌，330063

為實現(xiàn)阻尼結(jié)構(gòu)減振優(yōu)化,從阻尼材料的力學本構(gòu)出發(fā)，基于虛功原理建立了約束阻尼板動力學平衡方程，從阻尼耗能角度推導出模態(tài)損耗因子解析計算式。構(gòu)建了以模態(tài)損耗因子最大且模態(tài)頻率變動最小為目標、以阻尼材料用量為約束的阻尼板多目標優(yōu)化數(shù)學模型。在對模態(tài)損耗因子及模態(tài)頻率靈敏度進行推導的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了歸一化復(fù)合靈敏度算式，并引入拓撲漸進法求解優(yōu)化模型。編制出阻尼板漸近法優(yōu)化程序，并對阻尼板進行了優(yōu)化仿真。結(jié)果顯示，采用多目標拓撲漸進優(yōu)化，既能大幅提高阻尼材料的減振效能，又能保證阻尼板頻率特性的穩(wěn)定，且可較大幅度地降低阻尼材料用量。對阻尼板進行了諧響應(yīng)分析，驗證了優(yōu)化結(jié)果的有效性。該優(yōu)化法在對結(jié)構(gòu)動力學特性有嚴格要求的減振設(shè)計中存在應(yīng)用前景。

約束阻尼結(jié)構(gòu)；模態(tài)損耗因子；模態(tài)頻率；動力學優(yōu)化

0　引言

工程結(jié)構(gòu)在使用過程中常受到強烈的振動與沖擊，造成機械精度下降、振動疲勞等問題，因此有必要對振動進行有效控制。對結(jié)構(gòu)振動進行控制的方法很多，而利用阻尼材料進行減振處理是減振降噪技術(shù)的主要措施之一[1]。附加阻尼結(jié)構(gòu)根據(jù)耗能機理和特點不同可分為約束型阻尼結(jié)構(gòu)和自由型阻尼結(jié)構(gòu)。兩者均通過在表面敷設(shè)黏彈性阻尼材料以達到減振的目的，將阻尼材料完全敷設(shè)于結(jié)構(gòu)表面，不僅增加經(jīng)濟成本，也可能大幅改變結(jié)構(gòu)動力學性能。因此，必須在盡可能少地使用阻尼材料前提下，使結(jié)構(gòu)獲得最佳減振效果。從結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化角度看，楊德慶等[2]提出了阻尼胞單元和阻尼拓撲敏度等概念，建立了基于阻尼拓撲敏度綜合評價的阻尼材料拓撲優(yōu)化準則。張志飛等[3]基于密度法，建立了以模態(tài)阻尼比最大化為目標的優(yōu)化數(shù)學模型。王明旭等[4]基于均勻化方法建立了以模態(tài)阻尼比最大化為目標函數(shù)的優(yōu)化數(shù)學模型，通過數(shù)值方法得到阻尼材料最優(yōu)分布構(gòu)形。李攀等[5]基于SIMP插值模型和變密度方法，采用優(yōu)化準則對阻尼材料進行了優(yōu)化布局。李亞娟等[6]結(jié)合變密度法在正常環(huán)境下對板件進行了減振降噪拓撲優(yōu)化設(shè)計。郭中澤等[7]采用變密度法對阻尼結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化設(shè)計，得到阻尼材料最優(yōu)分布構(gòu)形。趙冬艷等[8]采用遺傳算法對約束阻尼梁進行減振優(yōu)化。Zheng等[9]以能量最小化為優(yōu)化目標，基于遺傳算法對阻尼材料優(yōu)化布局進行研究。由此可見，阻尼結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面已經(jīng)取得不少成果，但變密度法和準則法等數(shù)學推導嚴格，算法復(fù)雜，實際應(yīng)用較為困難。而Xie等[10]提出的結(jié)構(gòu)漸進法則具有算法簡單、計算效率高的特點。已有的研究多針對單一目標展開優(yōu)化，但在工程應(yīng)用中，設(shè)計目標通常包含多方面因素，故推進多目標研究更有實際意義。實踐證明，約束型阻尼結(jié)構(gòu)相對于自由阻尼結(jié)構(gòu)耗能效率更高[1]，故本文采用漸進優(yōu)化法，研究約束層阻尼板的多目標復(fù)合拓撲優(yōu)化問題。

1　模態(tài)損耗因子建模

約束阻尼結(jié)構(gòu)減振技術(shù)是通過提高結(jié)構(gòu)的阻尼力實現(xiàn)的。考慮到模態(tài)損耗因子能較綜合地表征結(jié)構(gòu)承受應(yīng)變時以熱能方式耗散機械能的能力，為便于計算附加阻尼結(jié)構(gòu)的耗能效率，有必要推導模態(tài)損耗因子的算式。當約束阻尼結(jié)構(gòu)振動時，主要受阻尼力和慣性力等外力作用，對結(jié)構(gòu)進行有限元網(wǎng)格化后，單元體隨結(jié)構(gòu)一起振動。根據(jù)虛功原理，單元外力在虛位移上所做虛功等于其虛位移上的應(yīng)變能[11]，故有

∫vσTδεdv=∫vFTδudv+Wm

(1)

式中，F(xiàn)為單元內(nèi)任意點所受除阻尼力以外的外力矢量；σ為單元應(yīng)力向量；δu為該點虛位移向量；δε為由δu引起的虛應(yīng)變向量；Wm為阻尼力所作虛功；積分區(qū)域v表示單元所在區(qū)域。

式(1)為單元的功能平衡方程。當單元做自由振動時，外力F即慣性力，根據(jù)達朗貝爾原理，有

(2)

式中，ρ為單元的材料密度；u為單元內(nèi)任意點位移向量；t為時間。

將式(2)代入式(1)，可得

(3)

根據(jù)有限元理論，單元i內(nèi)任一點位移可由單元的結(jié)點位移經(jīng)插值而得，即

u=Nui

(4)

式中，N為單元形函數(shù)矩陣，ui為單元節(jié)點位移列向量。

單元應(yīng)變與位移間關(guān)系用幾何方程描述，即

ε=Bu

(5)

式中，ε為應(yīng)變向量；B表示單元形函數(shù)矩陣。

單元應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系可用物理方程描述，即

σ=Dε

(6)

式中，σ為應(yīng)力向量；D為結(jié)構(gòu)的彈性矩陣。

結(jié)合式(3)～式(6)，可得

(7)

(8)

其中，S=BN，δui為單元節(jié)點i的虛位移向量。設(shè)黏彈材料的阻尼力正比于應(yīng)變速度，則阻尼應(yīng)力為

(9)

式中，σz為阻尼應(yīng)力矢量；β為比例系數(shù)。

故阻尼應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的虛應(yīng)變能：

(10)

將式(7)、式(8)、式(10)代入式(1)，則有單元的動力學平衡方程：

(11)

其中，mi、ci、ki分別為單元的質(zhì)量矩陣、單元阻尼矩陣、單元剛度矩陣，且分別為

(12)

根據(jù)約束阻尼結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)組成，可將單元矩陣質(zhì)量陣、阻尼陣、剛度陣進行組裝，從而建立結(jié)構(gòu)整體的自由振動方程：

(13)

研究表明，工程結(jié)構(gòu)特定階次模態(tài)的損耗因子可根據(jù)結(jié)構(gòu)的耗能和動態(tài)應(yīng)變能來求解[12]?？紤]到在約束阻尼結(jié)構(gòu)中，基層與約束層的阻尼耗能能力遠低于黏彈層，故其r階模態(tài)損耗因子可根據(jù)下式計算：

(14)

(15)

其中，ko、kz和ky分別為基層、阻尼層和約束層的剛度矩陣部分， 黏彈層的r階模態(tài)阻尼耗能為

(16)

式中，ηz為阻尼材料損耗因子。

將式(15)、式(16)代入式(14)，可得結(jié)構(gòu)的r階模態(tài)阻尼損耗因子為

(17)

2　結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化建模

2.1優(yōu)化數(shù)學模型

構(gòu)建適當?shù)膬?yōu)化模型是實現(xiàn)約束阻尼結(jié)構(gòu)減振優(yōu)化的前提，且關(guān)系到設(shè)計結(jié)果的好壞。振動位移、振動速度和振動加速度大小能直觀地表征結(jié)構(gòu)振動效應(yīng)的強弱，理論上應(yīng)基于這些物理量進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，但考慮到優(yōu)化實現(xiàn)時，不可能針對結(jié)構(gòu)的所有點而只能擇取少數(shù)點的振動位移或速度進行優(yōu)化計算，故所得優(yōu)化結(jié)果將帶有很大的局限性。

眾所周知，約束阻尼結(jié)構(gòu)通過黏彈性阻尼材料的剪切變形來最大限度地消耗結(jié)構(gòu)的振動能量，結(jié)構(gòu)的一定階次振動模態(tài)的阻尼損耗因子能綜合反映阻尼材料消耗結(jié)構(gòu)整體的該階次振動動能的能力，為此，引入模態(tài)損耗因子作為評價結(jié)構(gòu)黏彈阻尼材料優(yōu)化布局的技術(shù)指標。在進行阻尼減振結(jié)構(gòu)設(shè)計時，一般是先根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的功能，確定阻尼結(jié)構(gòu)基層形狀與尺寸，再根據(jù)減振特性要求，規(guī)劃結(jié)構(gòu)的阻尼材料布局。對于許多重要工程結(jié)構(gòu)如航天器太陽能板等，在進行減振設(shè)計時，通常不允許結(jié)構(gòu)頻率產(chǎn)生太大的變動，以保證結(jié)構(gòu)系統(tǒng)最大程度地避開共振頻率，在此條件下，模態(tài)頻率變化也應(yīng)成優(yōu)化目標的一部分。結(jié)構(gòu)的動力學優(yōu)化通常受幾何條件、應(yīng)力、位移等多因素限制，因此要對幾何邊界、尺寸做出限制以防止出現(xiàn)不合實際的邊界或尺寸，且應(yīng)保證結(jié)構(gòu)應(yīng)力不能超過材料的許用應(yīng)力值，且結(jié)構(gòu)中的某些點或部分的位移也需控制在合理的范圍內(nèi)。

基于以上考慮，為最大限度地消耗振動能量并盡量保證結(jié)構(gòu)的原有頻率特性，以模態(tài)損耗因子最大、頻率變動最小為聯(lián)合目標，以阻尼單元的有或無為設(shè)計變量，以阻尼材料用量等為約束條件，建立了結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化數(shù)學模型：

(18)

2.2模態(tài)損耗因子靈敏度

為了對式(18)進行求解，有必要推導出模態(tài)損耗因子對于拓撲設(shè)計變量的靈敏度顯式計算式，這是因為通過計算拓撲變量的靈敏度，可推斷結(jié)構(gòu)動力學特性的變化趨勢，為結(jié)構(gòu)優(yōu)化迭代提供最適方向，有助于快速尋找到滿足約束條件的最優(yōu)幾何拓撲。對于已進行有限元網(wǎng)格劃分的阻尼板，每個單元的幾何結(jié)構(gòu)即是一個拓撲設(shè)計變量，當結(jié)構(gòu)的各單元尺寸相等，刪除某阻尼單元時，將結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子變化，其變化量即為該單元的目標函數(shù)靈敏度。當?shù)趇個阻尼單元及相應(yīng)的約束層單元被刪除時，結(jié)構(gòu)第r階模態(tài)損耗因子變化量為

(19)

考慮到采用漸進法對式(19)進行求解時，在每輪優(yōu)化迭代中所刪單元數(shù)非常有限，因此結(jié)構(gòu)的總體變化較小，故可近似地認為：

(20)

(21)

式(21)表示第i個阻尼單元刪除后，約束阻尼結(jié)構(gòu)第r階模態(tài)損耗因子變化量。

2.3模態(tài)頻率靈敏度

影響結(jié)構(gòu)系統(tǒng)頻率的因素較多，且其影響規(guī)律較為復(fù)雜。頻率靈敏度定義為結(jié)構(gòu)的單位體積變化所引起的頻率變化。單元的頻率靈敏度作為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)頻率優(yōu)化的依據(jù)，為優(yōu)化提供迭代方向信息。根據(jù)結(jié)構(gòu)振動理論， 得到阻尼板振動特征方程為

(22)

式中，λ(r)為結(jié)構(gòu)特征值；ω(r)為結(jié)構(gòu)圓頻率。

利用瑞利商進行計算，可得

λ(r)=k(r)/m(r)

(23)

其中，k(r)、m(r)為第r階模態(tài)剛度和模態(tài)質(zhì)量，即

(24)

若刪除阻尼單元i，由刪除單元引起特征值變化量為

(25)

在優(yōu)化迭代過程中，由于每次迭代刪除單元數(shù)量較小，可假設(shè)優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)振型不變：

(26)

式中，kz,i、ky,i分別為在刪除第i個單元之前由阻尼層和約束層單元形成的總體剛度陣；mz,i、my,i分別為阻尼層和約束層單元形成的總體質(zhì)量陣。

將式(26)代入式(25)，可得黏彈阻尼單元i的頻率靈敏度計算式：

(27)

式中，mi為刪除第i個單元前結(jié)構(gòu)的總體質(zhì)量矩陣。

3　漸進法優(yōu)化模型求解

為求解式(18)，可建立待控結(jié)構(gòu)，并將阻尼材料完全覆蓋于待控表面，此時的拓撲優(yōu)化即依據(jù)漸進優(yōu)化算法逐漸刪除低效黏彈阻尼單元。為實現(xiàn)式(18)的求解，基于ANSY的APDL語言編寫漸進優(yōu)化算法；為使得約束阻尼材料布局邊界清晰，可制造性強，按照Sigmund等[13]提出的濾波方法編制獨立網(wǎng)格濾波程序，以改善阻尼材料優(yōu)化后棋盤格、網(wǎng)格依賴性等問題。約束阻尼板進行拓撲優(yōu)化，就是逐步刪除無效或低效單元，在減小阻尼材料用量的情況下，使得阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子最大化且模態(tài)頻率變動最小，因此，圖1的優(yōu)化流程主要步驟有：

(1)建立約束阻尼結(jié)構(gòu)有限元模型，設(shè)定邊界條件。

(2)模態(tài)分析并提取單元模態(tài)應(yīng)變能和模態(tài)動能。

(3)分別按式(21)、式(27)進行損耗因子靈敏度和模態(tài)頻率分析，并選取合適的濾波半徑，對靈敏度濾波處理。由于損耗因子靈敏度值和頻率靈敏度值數(shù)量級不同，故對二者進行歸一化處理，并按式(18)進行加權(quán)，得到新的靈敏度集合。

(4)對靈敏度集合中靈敏度值進行排序，提取正靈敏度中最小值ξ1min和負靈敏度中最大值ξ2max。

(6)若滿足材料用量要求，則優(yōu)化結(jié)束；不滿足，則重復(fù)步驟(2)至(6)，直到滿足用量要求，優(yōu)化結(jié)束。若僅針對單目標優(yōu)化，則優(yōu)化流程與多目標相同。

圖1　約束阻尼材料拓撲優(yōu)化程序流程圖

4　優(yōu)化算例

為充分驗證上述漸進優(yōu)化算法的有效性，本文針對矩陣板進行漸進優(yōu)化仿真，該板長0.84m，寬0.4m?；鶎訌椥阅Ａ繛?0GPa，泊松比為0.3，密度為2800kg/m3，基層厚度為6.5mm。黏彈性層彈性模量為12MPa，泊松比為0.495，密度為1200kg/m3，阻尼損耗因子為0.5，黏彈性層厚3mm。約束層彈性模量為70GPa，泊松比為0.3，密度為2700kg/m3，約束層厚2mm。阻尼板邊界約束條件：矩形板四邊簡支。在對阻尼結(jié)構(gòu)進行有限元網(wǎng)格劃分時，由于Solid185號單元能解算黏彈性大變形且可模擬彈性結(jié)構(gòu)小變形，故黏彈性層采用Solid185號單元劃分網(wǎng)格，厚度方向劃分為兩層單元，每層單元數(shù)量為20×24。

圖2為阻尼結(jié)構(gòu)有限元劃分模型和按單元編號刪除阻尼單元的非優(yōu)化布局圖。圖3為目標階次模態(tài)振型及應(yīng)變分布圖，圖中MX、MN表示阻尼板上模態(tài)應(yīng)變最大和最小位置，用顏色變化表征應(yīng)變值漸變。本文按阻尼材料刪除率為50%的要求進行材料優(yōu)化布局。圖4所示為基于漸進優(yōu)化算法，僅以損耗因子、模態(tài)頻率為優(yōu)化目標和綜合考慮二者而獲得的阻尼材料最佳布局。在優(yōu)化過程中，以特定的準則逐漸刪除處于無效或低效狀態(tài)的單元，從結(jié)構(gòu)耗能的角度來說，黏彈阻尼材料模態(tài)應(yīng)變能與其耗能能力呈正向關(guān)系，阻尼單元模態(tài)應(yīng)變能小，則耗散能力較弱，將優(yōu)先從材料布局中被刪除，故阻尼材料呈上述分布較為合理。從圖4還可看出，優(yōu)化布局邊界清晰，獨立網(wǎng)格濾波技術(shù)很好地解決了優(yōu)化過程中的棋盤格式和網(wǎng)格依賴性。

(a)網(wǎng)格劃分及約束　　(b)按單元編號刪除模式圖2　約束阻尼板未優(yōu)化布局圖

(a)一階振型及應(yīng)變分布　(b)二階振型及應(yīng)變分布圖3　模態(tài)振型及應(yīng)變分布圖

圖5所示為按不同目標進行優(yōu)化時，損耗因子隨材料刪除率的變化。隨著迭代的不斷進行，刪除率不斷增加，以損耗因子為目標對阻尼材料進行優(yōu)化布局時，各階次模態(tài)損耗因子雖有一定程度下降，但降幅均不大，阻尼結(jié)構(gòu)的減振效果最好。當僅考慮結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率目標時，結(jié)構(gòu)損耗因子變化較大。當綜合考慮損耗因子和模態(tài)頻率時，結(jié)構(gòu)損耗因子變化比較平穩(wěn)且降幅相對較小。

(a)一階復(fù)合多目標優(yōu)化　(b)二階復(fù)合多目標優(yōu)化

(c)一階損耗因子優(yōu)化　　(d)二階損耗因子優(yōu)化

(e)一階模態(tài)頻率優(yōu)化　　(f)二階模態(tài)頻率優(yōu)化圖4　約束阻尼材料優(yōu)化布局

(a)一階損耗因子迭代

(b)二階損耗因子迭代圖5　約束阻尼模態(tài)損耗因子隨刪除率的變化

圖6為基于不同目標優(yōu)化時，模態(tài)頻率隨刪除率變化的曲線。當以損耗因子為目標進行材料優(yōu)化布局或直接按單元編號順序刪除單元時，隨著優(yōu)化迭代的不斷進行，約束阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率變化較大。當按頻率目標進行優(yōu)化時，頻率變動最小。而采用復(fù)合目標優(yōu)化時，結(jié)構(gòu)的頻率變化較以頻率為目標優(yōu)化時要大，但較其它優(yōu)化或不優(yōu)化時情況要小得多。可見，基于復(fù)合多目標優(yōu)化方法進行結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，既可保持結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率穩(wěn)定、符合特定階次模態(tài)頻率的要求，又能使結(jié)構(gòu)獲得較好的減振效果。

(a)一階頻率迭代(50%)

(b)二階頻率迭代(50%)圖6　約束阻尼模態(tài)頻率隨刪除率的變化

圖7為約束阻尼結(jié)構(gòu)諧響應(yīng)分析圖。相比于阻尼材料全覆蓋的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，采用復(fù)合目標優(yōu)化時，對應(yīng)階次響應(yīng)幅值均有下降，按損耗因子為目標優(yōu)化時，結(jié)構(gòu)對應(yīng)階次響應(yīng)幅值進一步下降。而按單元編號刪除時，結(jié)構(gòu)一階、二階響應(yīng)幅值不降反升。通過阻尼結(jié)構(gòu)的諧響應(yīng)分析對比，驗證了復(fù)合多目標漸進拓撲優(yōu)化方法的可行性。由此可見，基于漸進法對阻尼結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，結(jié)構(gòu)減振效果顯著。

5　結(jié)論

(1)建立了約束阻尼結(jié)構(gòu)有限元動力學模型，推導出基于模態(tài)應(yīng)變能與模態(tài)動能的模態(tài)損耗因子靈敏度計算式，并推導出模態(tài)頻率靈敏度計算式。

(2)構(gòu)建出以模態(tài)損耗最大化、模態(tài)頻率變動最小化為目標，以阻尼材料用量為約束的阻尼板多目標動力學優(yōu)化數(shù)學模型。

(3)采用拓撲漸進法求解動力學優(yōu)化模型，基于歸一化復(fù)合靈敏度編程實現(xiàn)了約束阻尼板動力學優(yōu)化。

(4)采用多目標拓撲漸進法進行阻尼板減振優(yōu)化，既可大幅提高阻尼材料的減振效能，又能保證阻尼板動力學特性的穩(wěn)定性，還能大量減小阻尼材料用量。

(a)一階模態(tài)優(yōu)化后的諧響應(yīng)

(b)二階模態(tài)優(yōu)化后的諧響應(yīng)圖7　阻尼結(jié)構(gòu)頻響特性

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(編輯王旻玥)

Topological Multi-objective Dynamics Optimization of Constrained Damping Structure Based on Evolutionary Structural Optimization

He HonglinTao JieLiu YaodiLing Pu

Nanchang Hangkong University , Nanchang, 330063

Aimed to realize vibration reduction of damping structure，constrained damping plate vibration optimization was studied. From the constitutive relations of damping materials, the dynamics equation of constrained damping plate was deduced by principle of virtual work, modal loss factor mathematical calculation formula was deduced based on the energy dissipation. A modal was built, which took maximum the modal loss factor and minimum modal frequency changes as the objective function, damping materials consumption as constraint conditions, the modal loss factor and frequency sensitivity formula was deduced, normalized composite sensitivity formula was constructed. Evolutionary structural optimization was introduced to solve the topological optimization mathematical model, A program of damping structure topological optimization process was given in order to realize simulation calculation of damping plates. The simulations show that multi-objective of the evolutionary structural optimization may significantly improve the vibration reduction effectiveness of the damping material, guarantee the stability of frequency characteristics of the damping plates and greatly reduce the dosage of damping materials. The harmonic response analysis was carried out on the damping plates to verify the effectiveness of the optimization results. The optimization method may be widely used in the design of vibration reduction which have strict requirements in structure dynamics characteristics.

constrained damping structure; modal loss factor; modal frequency; dynamics optimization

2015-10-29

國家自然科學基金資助項目(51265040)；江西省自然科學基金資助項目(20122BA216027)

TH113.1；O328

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.17.007

賀紅林，男，1967年生。南昌航空大學航空制造工程學院教授。主要研究方向為復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化、精密驅(qū)動技術(shù)。陶結(jié)，男，1991年生。南昌航空大學航空制造工程學院碩士研究生。劉堯弟，男，1991年生。南昌航空大學航空制造工程學院碩士研究生。凌普，男，1992年生。南昌航空大學航空制造工程學院碩士研究生。