李國龍　趙　君　劉小旭　楊　勇

1.重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室，重慶，4000302.重慶機床(集團)有限責(zé)任公司，重慶，400055

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基于有限元分析的滾齒SLD構(gòu)建

李國龍1趙君1劉小旭1楊勇2

1.重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室，重慶，4000302.重慶機床(集團)有限責(zé)任公司，重慶，400055

針對穩(wěn)定性耳垂線圖(SLD)應(yīng)用于滾齒顫振預(yù)測時存在動力學(xué)參數(shù)獲取困難、切削深度難以確定等問題，建立了考慮滾刀刀桿柔性的三維滾齒系統(tǒng)動力學(xué)模型，通過滾刀極限切屑厚度與軸向進給量的關(guān)系計算滾齒系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)，并在此基礎(chǔ)上繪制出滾齒SLD。設(shè)計了滾齒顫振實驗方案，通過采集的實驗數(shù)據(jù)分析平穩(wěn)切削與顫振切削振動的特征量，確定顫振頻率及顫振主體，證實了所建立的動力學(xué)模型及SLD的有效性。所提方法為滾齒工藝顫振預(yù)測、切削參數(shù)選取提供了一種新手段。

滾齒；顫振；穩(wěn)定性耳垂線圖；有限元分析

0　引言

在滾齒過程中，當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)或切削參數(shù)選用不當(dāng)時，刀具與工件之間會產(chǎn)生強烈的自激振動，即產(chǎn)生滾齒“顫振”。顫振使?jié)L齒過程不穩(wěn)定、齒面質(zhì)量和金屬切除率下降，嚴(yán)重時甚至?xí)茐臐L刀和滾齒機，是制約滾齒機加工能力的一個主要因素[1]。抑制顫振的可行途徑是通過改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)或預(yù)測顫振發(fā)生的臨界條件[2-4]。顫振臨界條件的預(yù)測主要有三種方法：穩(wěn)定性耳垂線圖(stability lobe diagram,SLD)、Nyquist曲線和有限元分析。其中，SLD可簡單而清晰地描述切削穩(wěn)態(tài)與非穩(wěn)態(tài)隨切削深度與速度變化的過程，進而預(yù)測系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并有助于切削速度和深度的合理選取，因而在切削顫振分析中得到廣泛應(yīng)用[5]。

目前，SLD主要應(yīng)用于理論切削深度恒定的車削工藝中，用于滾齒工藝時遇到兩個難點：①滾齒由一系列展成運動構(gòu)成，不是單純的正交切削即進給方向始終垂直于工件表面，而滾削過程中的切削方向隨著刀刃切入切出而不斷變化，因而滾齒SLD中的極限切削寬度不再表現(xiàn)為徑向吃刀量沿刃傾角的分量；②SLD所需的動力學(xué)參數(shù)一般通過實驗獲取，而滾齒中獲取動力學(xué)參數(shù)尤其是動態(tài)切削力系數(shù)的相關(guān)實驗非常困難，若采用動態(tài)實驗并輔以數(shù)據(jù)處理，則結(jié)果誤差較大。

本文提出基于有限元法進行滾削工藝的三維動力學(xué)仿真，將滾齒加工的頂刃最大切屑厚度與SLD中的極限切削寬度聯(lián)系起來，并利用模態(tài)分析確定SLD所需的動力學(xué)參數(shù)，以構(gòu)建符合滾齒實際工況的SLD。本文方法能使簡單清晰的SLD應(yīng)用于復(fù)雜滾齒工藝中，為滾齒工藝顫振預(yù)測、切削參數(shù)選取提供參考。

1　滾齒加工的仿真前處理及結(jié)果

1.1滾齒加工的結(jié)構(gòu)參數(shù)選取

滾齒系統(tǒng)穩(wěn)定性因素分為兩類[6]：①工藝系統(tǒng)固有特性，包括滾齒機、滾刀、齒輪、夾具的結(jié)構(gòu)形式、齒輪夾具的定位及固定方式等；②滾削工藝參數(shù)。

選取的滾齒系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：直齒圓柱齒輪模數(shù)m=6.5 mm，齒數(shù)Z=20，分度圓壓力角α=20°；A級阿基米德滾刀外徑de=110 mm，孔徑d=32 mm，全長L=100 mm，容屑槽數(shù)Zg=9。滾刀主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖1所示。

圖1　滾刀結(jié)構(gòu)參數(shù)及其三維模型

滾刀以螺旋升角安裝在刀架軸上，滾齒仿真時將其視為剛體，則加工振動最終反映在刀架軸上。另外，因齒輪軸剛度遠大于刀架軸剛度，齒輪安裝部分也可視為剛體。故本文主要討論刀架軸結(jié)構(gòu)參數(shù)對振動的影響。

由于顫振頻率總是接近于系統(tǒng)薄弱環(huán)節(jié)的某階模態(tài)固有頻率[7]，滾刀部件為滾齒系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)，故滾齒顫振將出現(xiàn)在刀架軸的某階固有頻率上，對刀架軸結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化，可有效提高滾齒系統(tǒng)的抗顫振能力[8-9]。

1.2滾齒加工仿真模型的建立

選用ABAQUS/Explicit有限元軟件，在不考慮熱變形的前提下，將滾刀簡化為剛體、刀架軸簡化為簡支梁，得到滾齒簡化模型，如圖2所示。

圖2　滾齒模型

首先，確立材料模型。采用Jonhson-Cook強度模型，其應(yīng)力與應(yīng)變、應(yīng)變率及溫度的關(guān)系為

(1)

式(1)等號右邊第一個圓括號代表材料彈塑性行為，第一個中括號代表材料黏性，第二個中括號代表材料的熱軟化效應(yīng)。A、B、n為材料應(yīng)變強化項系數(shù)，C為材料應(yīng)變速率強化項系數(shù)，m為材料熱軟化系數(shù)。A、B、C、m、n通過實驗測得。

針對切屑斷裂失效，采用ABAQUS/Explicit的剪切失效準(zhǔn)則與Jonhson-Cook斷裂準(zhǔn)則設(shè)置參數(shù)。Jonhson-Cook斷裂準(zhǔn)則本構(gòu)方程為

(2)

材料AISI4340的性能參數(shù)見表1，材料失效參數(shù)見表2。

表1　AISI4340材料性能參數(shù)

表2　AISI4340材料失效參數(shù)

1.3滾齒加工參數(shù)的確定

滾齒切削運動較為復(fù)雜，既有滾刀轉(zhuǎn)動與齒坯轉(zhuǎn)動構(gòu)成展成運動，又有滾刀沿齒坯軸線的進給運動以及由此產(chǎn)生的齒坯附加轉(zhuǎn)動。滾齒切削寬度主要表現(xiàn)為展成過程中滾刀頂刃能夠切削的最大切屑厚度h1max，如圖3所示。

圖3　頂刃最大切削厚度h1max

采用Hoffmeister建立的滾齒頂刃切屑厚度與工件軸向進給量的關(guān)系式[10-14]：

fa=Fh1FmFZ2FdFN/Z0Fa

(3)

其中,Fh1、Fm、Fz2、Fd、FN/z0、Fa為6個影響因子，其計算式見表3。表3中，h1max為滾刀頂刃的最大切屑厚度，mm；fa為滾刀軸向進給量，mm/r ；β為齒輪分圓螺旋角，rad。

表3　fa各影響因子計算公式

滾削加工一般作為剃前或磨前工藝，滾刀切入深度即吃刀量取a=2.25mn。根據(jù)式(3)，在已知滾刀結(jié)構(gòu)參數(shù)與齒輪參數(shù)的前提下，通過選取不同的軸向進給量，計算出對應(yīng)的頂刃最大切屑厚度h1max，可為仿真與實驗參數(shù)選取提供依據(jù)。

1.4滾齒加工的動力學(xué)仿真

滾齒加工的起始位置，即切入開始時滾刀中心線距齒坯端面的距離t0的計算式如下：

(4)

h1=h-de(1-cosθ)/2

(5)

(6)

式中，h為齒輪全齒高；CZ為滾刀與齒輪的中心距；φ為滾刀分度圓螺旋升角。

從被加工齒輪的強度和齒輪滾刀材料的性能出發(fā)，滾刀切削時頂刃存在一個最大許可負荷，而負荷與切削量有著直接的關(guān)系，滾刀頂刃應(yīng)規(guī)定一個最大許可切屑厚度。本文規(guī)定滾刀材料為高速鋼，故綜合考慮滾刀的硬質(zhì)合金材料及齒坯材料,h1max選用國際標(biāo)準(zhǔn)推薦值0.49 mm，由式(3)得到相應(yīng)軸向進給量fa為3 mm/r，對應(yīng)的滾刀轉(zhuǎn)速為214 r/min，時間長度選取1 s，采用上述參數(shù)進行動力學(xué)仿真，滾削位移分布如圖4所示。

圖4　滾削仿真位移分布圖

由于滾刀旋轉(zhuǎn)位移遠大于刀架軸的振動位移，故需單獨顯示刀架軸以分析其振動位移，圖5為刀架軸的振動位移圖。

圖5　刀架軸振動位移圖

當(dāng)軸向進給量變化時，仿真所得到的刀架軸振動位移也會發(fā)生變化，圖6、圖7分別為軸向進給量為4 mm/r、3 mm/r時的振動位移圖。

圖6　fa=4 mm/r時的振動位移

圖7　fa=3 mm/r時的振動位移

對比圖6、圖7，發(fā)現(xiàn)加大軸向進給量將導(dǎo)致顫振發(fā)生，軸向進給量變化引起滾刀頂刃切削厚度變化。通過快速傅里葉變換獲得滾齒系統(tǒng)共振頻率為760 Hz、顫振頻率為836 Hz，如圖8、圖9所示，印證了顫振頻率接近系統(tǒng)固有頻率這一說法。另外，在共振曲線的共振頻率f0峰值下3 dB處找到相應(yīng)的f1和f2，用于求取阻尼比ξ，即

(7)

圖8　穩(wěn)定切削頻域圖

圖9　顫振發(fā)生時的頻域圖

2　SLD的構(gòu)建

2.1SLD建模

滾齒加工的SLD是從二維平面角度構(gòu)建，其動力學(xué)模型如圖10所示。

圖10　滾齒的二維動力學(xué)模型

滾齒顫振系統(tǒng)動力學(xué)模型的振動系統(tǒng)運動微分方程為

(8)

其中，fd(t)為動態(tài)切削力，me為振動系統(tǒng)等效質(zhì)量，c為振動系統(tǒng)等效阻尼系數(shù)，k為振動系統(tǒng)等效剛度，β(齒輪分度圓螺旋角)為動態(tài)切削力與X坐標(biāo)軸的夾角。X向的動態(tài)切削力為

Ff=kfb[x(t-TL)-x(t)]

(9)

(10)

為簡化公式，設(shè)定參數(shù)之間的關(guān)系如下：

(11)

式中，ωn為系統(tǒng)固有頻率。

對式(10)進行拉普拉斯變換，得

(12)

由式(12)得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

(13)

s=σ+jω

當(dāng)σ=0時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，即系統(tǒng)極限切削寬度位置。其中，ω為系統(tǒng)的顫振頻率，其值略高于ωn。

將s=jω代入式(12)，得到傳遞函數(shù)的實部G(ω)與虛部H(ω)：

由于復(fù)振動信號中只有其實部才能真實描述振動信號的物理特征，故可得復(fù)振動信號臨界狀態(tài)下限切削寬度blim(與極限切削寬度等價):

令ω/ωn=λ，則有

(14)

式中，n1為自然數(shù)，n1=0,1,2,…。

主軸轉(zhuǎn)速為

(15)

由式(13)、式(14)可知，在已知系統(tǒng)的動力學(xué)參數(shù)me、c、k、kf、ξ、ωn的條件下，blim與N是λ的函數(shù)。

2.2SLD參數(shù)的確定

首先，通過有限元靜力分析得到刀架軸連接點剛度(振動系統(tǒng)方程的等效剛度)kh=209.8MN/m。滾齒強迫再生顫振發(fā)生時，因顫振為滾齒誤差的主要來源，故可將滾刀部件的固有頻率作為滾齒系統(tǒng)的固有頻率。

基于ABAQUS進行模態(tài)分析[15]，提取滾刀系統(tǒng)的前6階特征值以及相關(guān)參數(shù)，見表4。其中TOTALMASSOFMODEL(模型可運動質(zhì)量)值為9.857 152。

表4　滾刀系統(tǒng)振動參數(shù)

根據(jù)分析得到的各階模態(tài)參與系數(shù)，第4階振型主要在X方向上作用，且X向的總有效質(zhì)量超過模型可運動質(zhì)量的90%，模態(tài)提取合理。由表4可得ωn=4812.5，系統(tǒng)等效質(zhì)量為數(shù)據(jù)中的廣義質(zhì)量，me=9.0635。

在確定等效阻尼c時，采用Rayleigh阻尼進行瞬態(tài)動力學(xué)分析，公式如下：

C=α1M+β1K

(16)

其中，阻尼矩陣參數(shù)C是質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合，參數(shù)α1主要對低階頻響發(fā)揮作用，參數(shù)β1主要對高階頻響發(fā)揮作用，而顫振主要發(fā)生在低階頻響段，故只考慮參數(shù)α1。

取阻尼比ξ=0.038，通過式(10)求得系統(tǒng)等效阻尼c=3314.98，系統(tǒng)等效剛度k=209.8 MN/m。動態(tài)切削力系數(shù)kf表現(xiàn)為機床結(jié)構(gòu)的動柔度和切削過程的動態(tài)特性。滾削力的變化由參與滾削的滾刀齒的切削量共同決定，通過滾齒動力學(xué)仿真得到0.2 s時的滾削力變化曲線，如圖11所示。

在三維CAD軟件SolidWorks中，通過布爾運算求得0.2s時總切屑量為2.362mm3，計算每個波峰波谷對應(yīng)的動態(tài)切削力變化量，加權(quán)平均并除以總切屑量，得到kf=2.624×1010。使用MATLAB軟件繪制出SLD，如圖12所示。

圖11　滾削力變化曲線

圖12　滾刀轉(zhuǎn)速214 r/min附近的SLD

在圖12中選取轉(zhuǎn)速214r/min附近的6個點進行仿真分析，得到表5所示的極限切厚。當(dāng)滾刀轉(zhuǎn)速為214r/min時，其極限切厚為0.5mm，略大于推薦值h1max=0.49mm。因此，基于有限元仿真求取滾齒動力學(xué)參數(shù)進而構(gòu)建SLD具有可行性。

表5　 SLD上6點對應(yīng)的極限切屑厚度

3　SLD的實驗驗證

3.1實驗方案

在齒坯及滾刀結(jié)構(gòu)參數(shù)給定且轉(zhuǎn)速保持不變的情況下逐步加大軸向進給量fa，若工件表面有清晰振痕且產(chǎn)生強烈噪聲時，認(rèn)為系統(tǒng)發(fā)生了顫振。由時域信號分析及傅里葉變換可以看到，顫振時的振動信號幅值明顯大于正常切削狀態(tài)時振動信號的幅值，顫振頻率出現(xiàn)在切削系統(tǒng)某階固有頻率附近，并且顫振能量集中在很窄的范圍內(nèi)。

如圖13所示，通過傳感器信號采集，并進行數(shù)據(jù)處理，將發(fā)生顫振的軸向進給量轉(zhuǎn)換為最大切屑厚度h1max記錄下來。

圖13　實驗方案

如表6所示，改變軸向進給量，重復(fù)以上步驟。

表6　主軸轉(zhuǎn)速對應(yīng)的不同軸向進給量

3.2實驗器材及布置

利用加速度傳感器測量滾刀與齒輪軸X向上的振動加速度，并通過二次積分來反映滾齒系統(tǒng)的振動位移變化情況，實驗器材見表7。

表7　滾齒顫振實驗器材

因滾刀及齒輪均要旋轉(zhuǎn)，故將帶磁座加速度傳感器分別布置在刀架軸的防護罩殼和齒輪軸的頂尖導(dǎo)軌上，如圖14所示。信號在線測量界面如圖15所示。

圖14　加速度傳感器現(xiàn)場安裝位置

圖15　信號在線測量界面

3.3實驗結(jié)果

3.3.1 空轉(zhuǎn)

將滾刀調(diào)整到切削位置，主軸轉(zhuǎn)速調(diào)整到200 r/min，滾齒機空轉(zhuǎn)加工，提取滾齒機穩(wěn)定運行時滾刀軸與齒輪軸在X方向上的自功率譜曲線，如圖16、圖17所示?？辙D(zhuǎn)時，滾刀軸X方向在338 Hz處振幅取得最大值0.142 m/s2，齒輪軸X方向在500 Hz處振幅取得最大值0.128 m/s2。

圖16　空轉(zhuǎn)時滾刀軸X方向自譜曲線

圖17　空轉(zhuǎn)時齒輪軸X方向自譜曲線

3.3.2平穩(wěn)切削(軸向進給量為2.7 mm/r)

由圖18、圖19可知，滾刀軸在830 Hz附近振幅略有增加，其他處變化不大，X方向在898 Hz處最大振幅為0.28 m/s2；齒輪軸X向的峰值主要發(fā)生在492 Hz和1200 Hz附近，其大小為0.14 m/s2。另外，平穩(wěn)切削與空轉(zhuǎn)振動幅值接近。

圖18　平穩(wěn)切削時滾刀軸X方向自譜曲線

圖19　平穩(wěn)切削時齒輪軸X方向自譜曲線

3.3.3顫振切削

逐漸加大軸向進給量，當(dāng)軸向進給量達到2.9 mm/r時，系統(tǒng)發(fā)生顫振，如圖20所示。

圖20　顫振發(fā)生時滾刀軸X方向自譜曲線

圖21　顫振發(fā)生時齒輪軸X方向自譜曲線

由圖20可知，當(dāng)軸向進給量至2.9 mm/r時，刀架軸在850 Hz附近發(fā)生顫振，其X方向的最大振幅為7 m/s2，其他處變化不大。由圖21可知，齒輪軸仍在492 Hz和1200 Hz附近振幅達到X向最大值，其值0.19 m/s2也與平穩(wěn)切削時的振幅接近。

平穩(wěn)切削(軸向進給量為2.7 mm/r)時，切削過程平穩(wěn)、無刺耳噪聲、工件表面光滑、無振紋，如圖22所示。繼續(xù)加大軸向進給量，當(dāng)進給量達到2.9 mm/r時，振幅在顫振頻率范圍內(nèi)明顯增大，且噪聲刺耳、齒面出現(xiàn)魚鱗狀振紋，此時系統(tǒng)發(fā)生顫振，如圖23所示。

圖22　平穩(wěn)切削齒面　圖23　顫振切削齒面

通過實驗發(fā)現(xiàn)：顫振發(fā)生時，滾刀轉(zhuǎn)速為200 r/min，軸向進給量所對應(yīng)的頂刃切屑厚度按式(2)計算為0.488 mm，處于所構(gòu)建的SLD曲線附近；滾齒系統(tǒng)的顫振頻率在830～850 Hz之間，與滾刀部件的固有頻率接近，顫振優(yōu)先發(fā)生于滾刀部件。實驗得到的穩(wěn)定切削深度點與基于仿真方法繪制的SLD得到的相關(guān)數(shù)據(jù)點基本一致，驗證了通過仿真方法獲得SLD的正確性。

4　結(jié)論

(1)本文通過選擇合適的材料、本構(gòu)模型與切屑斷裂準(zhǔn)則與失效準(zhǔn)則，建立了圓柱直齒輪滾削的有限元模型，在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建了能夠反映不同軸向進給量與滾削速度下預(yù)測滾齒加工穩(wěn)定性的動力學(xué)模型。

(2)通過滾齒有限元仿真得到相關(guān)動力學(xué)參數(shù)，并將滾齒極限切屑厚度與軸向進給量聯(lián)系起來，實現(xiàn)了SLD在滾削工藝中的應(yīng)用。

(3)構(gòu)建了顫振實驗方案，通過實驗驗證了動力學(xué)仿真結(jié)果與構(gòu)建的SLD的正確性，得到該滾齒系統(tǒng)的顫振頻率范圍及顫振主體。

(4)本文方法對于預(yù)測滾削顫振、選取合適的切削參數(shù)，具有一定的參考價值。

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(編輯陳勇)

作者簡介：李國龍，男，1969年生。重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向為精密制齒技術(shù)與裝備、智能數(shù)控技術(shù)等。獲省部級一等獎1項，發(fā)表論文40余篇。趙君，男，1991年生。重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室碩士研究生。劉小旭，男，1988年生。重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室碩士研究生。楊勇，男，1980年生。重慶機床(集團)有限責(zé)任公司檢測技術(shù)研究所所長、高級工程師、博士。

Construction of SLD in Gear Hobbing Process Based on FEA

Li Guolong1Zhao Jun1Liu Xiaoxu1Yang Yong2

1. The State Key Laboratory of Mechanical Transmissions, Chongqing University，Chongqing，400030 2. Chongqing Machine Tool(Group) Co., Ltd., Chongqing，400055

Aiming at the problems of predicting gear hobbing chatters by SLD where the dynamics parameters were hard to get and the cutting depth was hard to determine, a 3D gear hobbing system dynamics model was established considering cutters arbor flexibility of hob. Hobbing system dynamics parameters was calculated with the relationship between limit chip thickness of hob and axial feed. And the SLD of gear hobbing was drawn based on the model. A hobbing chatter experiment plan was designed, features of steady state cutting and chatter cutting was analyzed via experimental data collected, and chatter frequency and chatter subject was determined, the validity of dynamics model established and SLD was verified. It provides a new method to predict hobbing chatter and to choose cutting parameters.

hobbing; chatter; stability lobe diagram (SLD); finite element analysis(FEA)

2015-06-17

國家科技支撐計劃資助項目(2014BAF08B02)；重慶市科技人才培養(yǎng)計劃資助項目(cstc2013kjrc-qnrc70001)

TG156

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.17.003

文澤軍，男，1966 年生。湖南科技大學(xué)機械設(shè)備健康維護湖南省重點實驗室教授、博士。主要研究方向為機電系統(tǒng)動力學(xué)與控制、制造系統(tǒng)質(zhì)量控制、制造過程監(jiān)測與控制和面向產(chǎn)品制造/裝配過程的穩(wěn)健設(shè)計。劉湛，男，1990年生。湖南科技大學(xué)機電工程學(xué)院碩士研究生。金永平，男，1984 年生。中南大學(xué)機電工程學(xué)院博士研究生。田續(xù)玲，女，1975年生。湖南科技大學(xué)海洋礦產(chǎn)資源探采裝備技術(shù)湖南省工程實驗室助理研究員。黃良沛，男，1971年生。湖南科技大學(xué)機械設(shè)備健康維護湖南省重點實驗室教授。