康海芯

圓是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)、相似等后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是各地中考的必考內(nèi)容，它所涉及知識(shí)點(diǎn)多，內(nèi)容豐富，形式多樣，為幫助同學(xué)們復(fù)習(xí)圓的有關(guān)內(nèi)容，本文將從以下幾個(gè)方面加以分析，供復(fù)習(xí)時(shí)參考.

[考點(diǎn)1][垂徑定理]

例1 （2016·江蘇宿遷）如圖1，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，則BD的長為________.

【分析】如圖2，作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)即可求出BE，再根據(jù)垂徑定理可以求出BD.

解：如圖2，作CE⊥AB于E.

∵∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-20°-130°=30°，

在Rt△BCE中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，∴CE=BC=1，BE=CE=，

∵CE⊥BD，

∴DE=EB，∴BD=2EB=2.

【評(píng)注】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解答這類問題的關(guān)鍵是利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理求解.

[考點(diǎn)2][圓周角定理]

例2 （2016·江蘇南京）如圖3，扇形OAB的圓心角為122°，C是上一點(diǎn)，則∠ACB=________°.

【分析】如圖4，在☉O上取點(diǎn)D，連接AD，BD，根據(jù)圓周角定理求出∠D的度數(shù)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

解：如圖4所示，在☉O上取點(diǎn)D，連接AD，BD，

∵∠AOB=122°，

∴∠ADB=∠AOB=×122°=61°.

∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠ACB=180°-61°=119°.

【評(píng)注】本題考查了圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解答這類問題的關(guān)鍵是補(bǔ)全輔助圓，找出已知的角和要求的角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.

[考點(diǎn)3][與圓有關(guān)的位置關(guān)系]

例3 （2016·江蘇連云港）如圖5，在網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位）選取9個(gè)格點(diǎn)（格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)）.如果以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi)，則r的取值范圍為（ ）.

A. 2

C.

【分析】如圖6，分別求出與圓心A最近的四個(gè)點(diǎn)B、D、E、F的距離，當(dāng)最近的三個(gè)點(diǎn)在圓A內(nèi)部時(shí)，即可求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的半徑r的取值范圍.

解：如圖6，∵AD=2，AE=AF=，AB=3，∴AB>AE>AD，

∴當(dāng)

【評(píng)注】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，依據(jù)正確畫出的圖形來確定取值范圍.

例4 （2016·湖南湘西州）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3 cm，AC=4 cm，以點(diǎn)C為圓心，以2.5 cm為半徑畫圓，則☉C與直線AB的位置關(guān)系是（ ）.

A. 相交 B. 相切

C. 相離 D. 不能確定

【分析】如圖7，過C作CD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式求出CD，再根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.

解：過C作CD⊥AB于D，如圖7所示.

∵在Rt△ABC中，

∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB==5，

∵△ABC的面積=AC×BC=AB×CD，

∴3×4=5CD，

∴CD=2.4<2.5，

∴以2.5為半徑的☉C與直線AB的關(guān)系是相交；故應(yīng)選A.

【評(píng)注】判定直線與圓的位置關(guān)系，若已知圓的半徑，則需求出圓心到直線的距離，比較它們的大小即可.

[考點(diǎn)4][切線的判定和性質(zhì)]

例5 （2016·四川自貢）如圖8，☉O是△ABC的外接圓，AC為直徑，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E.

（1） 求證：∠1=∠BAD；

（2） 求證：BE是☉O的切線.

【分析】（1） 先依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知∠BAD=∠BDA，然后依據(jù)圓周角定理的推論可得∠1=∠BDA，問題即可獲證；（2） 如圖9，連接BO，依據(jù)平行線的判定（即∠CBO+∠BCD=180°）推出OB∥DE，推出EB⊥OB，根據(jù)切線的判定得出即可獲證.

證明：（1） ∵BD=BA，

∴∠BDA=∠BAD，

∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD；

（2） 連接BO，∵∠ABC=90°，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠1=∠BAD，

∴∠1+∠BCD=180°，

∵OB=OC，∴∠1=∠CBO，

∴∠CBO+∠BCD=180°，∴OB∥DE，

∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，

∵OB是☉O的半徑，

∴BE是☉O的切線.

【評(píng)注】本題考查了圓的性質(zhì)及切線的判定，判別直線是圓的切線有兩種方法：如果直線與圓有交點(diǎn)，則連接交點(diǎn)與圓心，證明半徑垂直于直線即可；如果不能確定直線與圓有交點(diǎn)，則過圓心作直線的垂線段，證垂線段等于圓的半徑即可.

[考點(diǎn)5][正多邊形與圓]

例6 （2016·江蘇南京）已知正六邊形的邊長為2，則它的內(nèi)切圓的半徑為（ ）.

A. 1 B.

C. 2 D. 2

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用正六邊形中的等邊三角形的性質(zhì)求解即可.

解：如圖10，連接OA、OB、OG.

∵六邊形ABCDEF是邊長為2的正六邊形，

∴△OAB是等邊三角形，

∴OA=AB=2，

∴OG=OA·sin60°=2×=，

∴邊長為2的正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為.故應(yīng)選B.

例7 （2016·江蘇泰州）如圖11，☉O的半徑為2，點(diǎn)A、C在☉O上，線段BD經(jīng)過圓心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，則圖中陰影部分的面積為________.

【分析】通過解直角三角形可求出∠AOB=30°，∠COD=60°，從而可求出∠AOC=150°，再通過證三角形全等找出S陰影=S扇形OAC，代入扇形的面積公式即可得出結(jié)論.

解：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1，∴OB==，sin∠AOB==，∴∠AOB=30°.

同理，可得出：OD=1，∠COD=60°.

∴∠AOC=∠AOB+（180°-∠COD）=30°+180°-60°=150°.

在△AOB和△OCD中，AO=OC，AB=OD，BO=DC，∴△AOB≌△OCD（SSS）. ∴S陰影=S扇形OAC.

∴S扇形OAC=πR2=π×22=π.

【評(píng)注】本題考查了全等三角形的判定、解直角三角形以及扇形的面積公式.求陰影部分面積往往需要將圖形進(jìn)行割補(bǔ)，利用方便計(jì)算的圖形的面積的和或者差來進(jìn)行計(jì)算.

（作者單位：江西省贛縣江口中學(xué)）