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高三數(shù)學(xué)綜合測試

一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)

1.已知集合A={1,a}，B={1，3，4},且A∩B={1,3}，則實數(shù)a的值為______.

3.對一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)進(jìn)行抽樣檢測,樣本容量為200,下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖,根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn),單件產(chǎn)品長度在區(qū)間[25,30)的為一等品,在區(qū)間[20,25)和[30,35)的為二等品,其余均為三等品,則樣本中三等品的件數(shù)為______.

4.某學(xué)校高三有A,B兩個自習(xí)教室,甲、乙、丙三名同學(xué)隨機選擇其中一個教室自習(xí),則他們在同一自習(xí)教室上自習(xí)的概率為______.

5.執(zhí)行如圖所示的流程圖,會輸出一列數(shù),則這列數(shù)中的第3個數(shù)是______.

所以tanAtanBtanC最小值是8(此時?ABC為等邊三角形).

評注該題解題方法樸實,由已知推出B=C,轉(zhuǎn)化得到關(guān)于tanC的函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解最值.與原題目相比,變式題對數(shù)學(xué)思維水平要求較低,可由已知條件直接推導(dǎo)出B=C,思維障礙較少；而原題目則需要從解題目標(biāo)出發(fā)分析變形的方向,思維挑戰(zhàn)較高.

綜上所述,2016年江蘇卷第14題確實是一道值得點贊的小題.試題源于教材,貼近江蘇學(xué)生的實際情況.作為一道填空題,試題有機結(jié)合了三角、不等式、函數(shù)等知識點,滲透了消元、化歸等思想方法.該題有多種解題方法,既有“通性通法”,同時又不排斥“特技”,這對今后的命題、教學(xué)和應(yīng)試都起到了很好的導(dǎo)向作用.

那么不禁要問,為什么很多學(xué)生在考場上會手足無措,遭遇“思維困境”?筆者認(rèn)為這主要還是由于教師在教學(xué)中慣于“題型”訓(xùn)練,忽視能力培養(yǎng),導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平不高,分析問題能力不足.因此要想學(xué)生能在高考中立于不敗之地,乃至終身受益,在教學(xué)中就務(wù)必堅持思維為重,聚焦能力培養(yǎng),回歸數(shù)學(xué)教育的本源.

7.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2S3-3S2=12,則數(shù)列{an}的公差是______.

8.已知一個圓錐的底面積為2π,側(cè)面積為4π，則該圓錐的體積為______.

12.已知圓C:x2+y2-2x-2y+1=0,直線l:3x+4y-17=0.若在直線l上任取一點M作圓C的切線MA,MB,切點分別為A,B,則AB的長度取最小值時，直線AB的方程為______.

13.已知函數(shù)

g(x)=kx+1，若方程f(x)-g(x)=0有兩個不同的實根,則實數(shù)k的取值范圍是______.

14.已知不等式(ax+3)(x2-b)≤0對任意x∈(0,+∞)恒成立,其中a,b是整數(shù),則a+b的取值的集合為______.

二、解答題(本大題共6小題,計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

(1)求f(x)的解析式；

16.(本小題滿分14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,側(cè)面PBC是直角三角形,∠PCB=90°，點E是PC的中點,且平面PBC⊥平面ABCD.證明：

(1)AP∥平面BED；

(2)平面APC⊥平面BED.

(1)求水上旅游線AB的長;

(1)求橢圓M的方程;

(2)如圖,橢圓M的上、下頂點分別為A,B,過點P的直線l與橢圓M相交于兩個不同的點C,D.

② 當(dāng)AD與BC相交于點Q時,試問:點Q的縱坐標(biāo)是否是定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.

19.(本小題滿分16分)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,其中n∈N*.

(1)若a1=b1=2,a3-b3=9,a5=b5,試分別求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;

(2)設(shè)A={k|ak=bk,k∈N*}，當(dāng)數(shù)列{bn}的公比q<-1時，求集合A的元素個數(shù)的最大值.

(1)若曲線y=f(x)在x=1的切線方程為y=e(x-1)，求實數(shù)a,b的值；

(2)① 若a=-2時，函數(shù)y=f(x)既有極大值,又有極小值,求實數(shù)b的取值范圍;

② 若a=2,b≥-2，且f(x)≥k(x)對一切正實數(shù)x恒成立,求實數(shù)k的最大值(用b表示).

參考答案

一、填空題

二、解答題

(2)由(1)知f(x)=2cosx.

所以f(α-β)=2cos(α-β)

=2(cosαcosβ+sinαsinβ)

16.(1)設(shè)AC∩BD=O，ABCD是平行四邊形,故O為BD中點.連結(jié)OE，因為點E是PC的中點，所以AP∥OE，OE?平面BED,AP?平面BED，所以AP∥平面BED.

(2)因為平面PBC⊥平面ABCD，∠PCB=90°，故PC⊥平面ABCD.又BD?平面ABCD，所以PC⊥BD.而底面ABCD是菱形，故AC⊥BD，又AC∩PC=C,所以BD⊥平面APC.BD?平面BED，所以平面APC⊥平面BED.

17.(1)以點O為坐標(biāo)原點，直線OM為x軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示.則由題設(shè)得A(6，0)，直線ON的方程為y=-3x,Q(x0,3)(x0>0).

及x0>0得x0=3,∴Q(3,3)，

∴直線AQ的方程為y=-(x-6),

即x+y-6=0.

(2)設(shè)試驗產(chǎn)生的強水波圓P，由題意可得P(3，9)，生成t小時時，游輪在線段AB上的點C處，則

∴C(6-18t,18t).

PC2=(18t-3)2+(18t-9)2

>r2=9at,

(1+4k2)x2+16kx+12=0.

由Δ>0,可得4k2>3,且

=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4

聯(lián)立方程組，消去x得

19.(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，數(shù)列{bn}的公差為q(q≠0,1)，則

(2)不妨設(shè)an=a+bn(b≠0),bn=nq2(pq≠0,q≠1),則

qn-tn-s=0

(*)

最多有多少個解.

綜上，當(dāng)n∈N*時，方程(*)最多有3個解.

②當(dāng)t<0時，同理可知方程(*)最多有3個解.事實上，設(shè)an=6n-8,bn=(-2)n時，有a1=b1,a2=b2,a5=b4,所以A的元素個數(shù)最大值為3.

20.(1)由題意知曲線y=f(x)過點(1，0)，且f′(1)=e.又因為

解得a=3,b=-2.

(2)①當(dāng)a=-2時，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)

所以，當(dāng)且僅當(dāng)b>1+ln 2時，b=g(x)有兩個不同的解，設(shè)為x1,x2(x1

x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘極大值↗極小值↘

此時，函數(shù)y=f(x)既有極大值，又有極小值.

即實數(shù)k的最大值為(2+b)e.