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○課外測試○

高一數(shù)學測試

一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)

2.不等式|3x+1|>2的解集為______.

3.在?ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,則a∶b∶c=______.

4.等比數(shù)列{an}中,若a1=1,a4=8,則該數(shù)列的前10項之和為______.

5.一個圓錐的軸截面是個邊長為2的正三角形,這個圓錐的側面積等于______.

6.已知點P(x,y)在不等式組

表示的平面區(qū)域上運動,則z=x-y的取值范圍是______.

7.如果在等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=______.

8.m,n是不同的直線,α，β，γ是不同的平面，有以下四個命題

其中正確的命題是______.

11.已知?ABC的一個內角為 120°,并且三邊長構成公差為4的等差數(shù)列,則?ABC的面積為______.

二、解答題(本大題共6道題,計90分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)已知不等式ax2-3x+6>4的解集為{x|x<1或x>b}.

(1)求a,b;

(2)解不等式(x-c)(ax-b)>0.

16.(本小題滿分14分)在?ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列.

(2)若sinA, sinB, sinC成等比數(shù)列,試判斷?ABC的形狀.

17.(本小題滿分15分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PB,且側面PAB⊥平面ABCD,點E是AB的中點.

(1)求證:CD∥平面PAB;

(2)求證:PE⊥AD;

(3)若CA=CB,求證:平面PEC⊥平面PAB.

18.(本小題滿分15分)已知{an}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.

(1)求{an}和{bn}的通項公式;

(2)設cn=an·bn,n∈N*,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.

19.(本小題滿分16分)如圖,某水域的兩直線型岸邊l1,l2成定角120°,在該水域中位于該角角平分線上且與頂點A相距1公里的D處有一固定樁.現(xiàn)某漁民準備經(jīng)過該固定樁安裝一直線型隔離網(wǎng)BC(B,C分別在l1和l2上),圍出?ABC養(yǎng)殖區(qū),且AB和AC都不超過5公里.設AB=x公里,AC=y公里.

(1)將y表示成x的函數(shù),并求其定義域;

(2)該漁民至少可以圍出多少平方公里的養(yǎng)殖區(qū)?

(1)求數(shù)列{an}的前n項和Sn;

(2)記數(shù)列bn=an+λ,n∈N*,λ∈R,其前n項和為Tn.

① 若數(shù)列{Tn}的最小值為T6,求實數(shù)λ的取值范圍;

參考答案

一、填空題

6.[-1,2];7.28;8.① ③;

二、解答題

15.(1)由已知，1是方程ax2-3x+2=0的根,則a=1,∴方程為x2-3x+2=0?b=2,因此,a=1,b=2.

(2)由(1)可知,原不等式為

(x-c)(x-2)>0.

當c<2時，解集為{x|x2};

當c>2時，解集為{x|x<2或x>c};

當c=2時，解集為{x|x≠2}.

(2)因為sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列，所以

sin2B=sinAsinC.

由正弦定理，得b2=ac；由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,

所以ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,a=c.

17.(1)因為底面ABCD是菱形,所以CD∥AB.又因為CD?平面PAB,且AB?平面PAB,所以CD∥平面PAB.

(2)因為PA=PB,點E是棱AB的中點,所以PE⊥AB.因為平面PAB⊥平面ABCD,PE?平面PAB,所以PE⊥平面ABCD.

因為AD?平面ABCD,所以PE⊥AD.

(3)因為CA=CB,點E是AB的中點,所以CE⊥AB.由(2)可得PE⊥AB，又因為CE∩PE=E,所以AB⊥平面PEC.

而AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PEC.

18.(1)設{an}的公比為q,{bn}的公差為d,由題意q>0.由已知,有

消去d得q4-2q2-8=0,解得q=2,d=2.

所以{an}的通項公式為an=2n-1,n∈N*,{bn}的通項公式為bn=2n-1,n∈N*.

(2)由(1)，有cn=(2n-1)2n-1.

設{cn}的前n項和為Sn,則

Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)·2n-1,

2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)·2n,

兩式相減得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)·2n=-(2n-3)×2n-3,

所以Sn=(2n-3)2n+3.

19.(1)由S?ABD+S?ACD=S?ABC,得

又0

(2)設?ABC的面積為S,則結合(1)，易得

S=xysinA

①

②

②-①，得

2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an).

由題知an+1+an≠0,得an+1-an=2.

得a1=1,an=2n-1,Sn=n2.

(2) ① 由bn=2n-1+λ,得Tn=n2+λn的最小值為T6,得Tn≥T6, 得n2+λn≥T6=36+6λ,

② 因為{bn}是“封閉數(shù)列”,設

bp+bq=bm(p,q,m∈N*,且任意兩個不相等),∴2p-1+λ+2q-1+λ=2m-1+λ,

∴λ=2(m-p-q)+1,λ為奇數(shù).

由任意n∈N*,都有Tn≠0,且

即λ的可能值為1,3,5,7,9.

又Tn=n2+λn>0,

檢驗得滿足條件的λ=3,5,7,9,

即存在這樣的“封閉數(shù)列” {bn},使得對任意n∈N*，都有Tn≠0,且

所以實數(shù)λ的所有取值集合為{3,5,7,9}.