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高二數(shù)學測試

一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)

1.已知集合A={x|x≥0},B={x|x<1}，則A∩B=______.

2.復數(shù)i(2+i)的虛部為______.

3.命題:“若a≠0,則a2>0”的否命題是______.

4.若函數(shù)f(x)=2cosx,則f′(x)=______.

9.a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一個負數(shù)根的______條件.(填必要不充分、充分不必要、必要充分、既不充分也不必要)

11.已知函數(shù)f(x)=3x|x|，且f(1-a)+f(2a)<0，則a的取值范圍是______.

……

根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：

當n∈N*且n≥2時，fn(x)=f(fn-1(x))=______.

二、解答題(本大題共6小題,共計90分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)已知復數(shù)z=1-i.

(1)設w=z(1+i)-1-3i,求|w|;

16.(本小題滿分14分)定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),且f(x)+g(x)=x2+ax+a(a∈R).

(1)求f(x)、g(x)的解析式;

(2)命題p:?x∈[1,2],f(x)≥1,命題q:?x∈[-1,2],g(x)≤-1,若p∨q為真，求a的范圍.

17.(本小題滿分15分)袋中裝有4個黑球和3個白球,現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一個球．甲先摸,乙后摸,然后甲再摸,……摸取后均不放回,直到有一人摸取到白球即終止.每個球在每一次被摸出的機會都是等可能的.用X表示摸球終止時所需的摸球的次數(shù).

(1)求甲乙兩人各摸一次球就終止的概率;

(2)求隨機變量X的概率分布列和數(shù)學期望E(X).

18.(本小題滿分15分)某單位用3 240萬元購得一塊空地,計劃在該地塊上建造一棟至少15層的小高層、每層3 000平方米的樓房.經(jīng)測算,如果將樓房建為x(x≥15)層,則每平方米的平均建筑費用為840+kx(單位:元).已知蓋15層每平方米的平均建筑費用為1 245元.

(1)求k的值;

19.(本小題滿分16分)定義在[a,b]上的函數(shù)f(x),若存在x0∈(a,b)使得f(x)在[a,x0]上單調(diào)遞增,在[x0,b]上單調(diào)遞減,則稱f(x)為[a,b]上的單峰函數(shù),x0為峰點.

(1)若f(x)=-x3+3x,則f(x)是否為[0,2]上的單峰函數(shù),若是,求出峰點;若不是,說明理由;

(2)若g(x)=m·4x+2x在[-1,1]上不是單峰函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;

(3)若h(x)=|x2-1|+n|x-1|在[-2,2]上為單峰函數(shù),求負數(shù)n的取值范圍.

20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R),g(x)=2ax.

(1)求函數(shù)f(x)的極值;

(2)若a>0，函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)有且只有一個零點,求實數(shù)a的值;

(3)若0|g(x1)-g(x2)|成立，求a的取值范圍.

參考答案

一、填空題

1.[0,1);2.2;3.若a=0,則a2≤0;

4.-2sinx;5. 2; 6.4;7.3或6;

二、解答題

15.(1)∵z=1-i,

∴w=(1-i)(1+i)-1-3i=1-3i,

(2)由題意，得

z2+az+b

=(1-i)2+a(1-i)+b

=a+b-(2+a)i,

16.(1)由f(x)+g(x)=x2+ax+a,

①

得f(-x)+g(-x)=x2-ax+a.

因為f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),

所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),

所以-f(x)+g(x)=x2-ax+a,

②

①②聯(lián)立得f(x)=ax,g(x)=x2+a.

(2)若p真,則f(x)min≥1,得a≥1;

若q真,則g(x)min≤-1,得a≤-1.

因為p∨q為真,所以a≥1或a≤-1.

(2)袋中的7個球 3白4黑,隨機變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.

隨機變量X的概率分布列為:

X12345P3727635335135

18. (1)由題840+15k=1 245,解得k=27.

(2)設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元,則

x(0,20)x=20(20,+∞)f'(x)-0+f(x)遞減極小值遞增

所以當x=20時,f(x)有最小值.

答:為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應建為20層.

19. (1)令f′(x)=-3x2+3=0，得x=±1.當0≤x<1,f′(x)>0,1

(2)先考慮g(x)=m·4x+2x在[-1,1]上是單峰函數(shù).

(3)h(x)=

綜上,n≤-4.

當a≤0時,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上遞增，f(x)無極值.

綜上， 當a≤0時,函數(shù)f(x)無極值；當a>0時,f(x)極小值=a-alna,無極大值.

(2)令h(x)=x2-2alnx-2ax,則

∵a>0,∴令h′(x)=0,得

∴h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+∞)上單調(diào)遞增，

∴h(x)在x0處取得極小值h(x0)=0.