孫朝仁??+??

【摘要】學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最高境界在于運用.作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的應(yīng)用意識，體現(xiàn)在讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界這3個方面.數(shù)學(xué)實驗作為一種以“做”為支架的學(xué)習(xí)活動，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的最為有效的載體，可以促進應(yīng)用意識遞進發(fā)展.從實踐論、認識論、方法論的視角，基于應(yīng)用意識的發(fā)展可以將數(shù)學(xué)實驗劃分為9種基本課型，并給出在課堂教學(xué)中的基本路徑.

【關(guān)鍵詞】應(yīng)用意識；數(shù)學(xué)實驗；若干思考

自“應(yīng)用意識”作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011版）》（以下簡稱《課程標準》）的十大核心詞之一被提出以來，培養(yǎng)應(yīng)用意識越來越受到廣大數(shù)學(xué)教育工作者的重視.有文獻指出，“在現(xiàn)實情景中教數(shù)學(xué)，通過應(yīng)用問題來引入數(shù)學(xué)概念，是有好處的”[1].“應(yīng)該使大部分學(xué)生都不同程度地學(xué)習(xí)如何在實際生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)”[2].美國杜克大學(xué)跨課程計劃即CCP計劃，其主要目的就是要把數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界聯(lián)系起來.所有這些都反映了數(shù)學(xué)教育目標在新時期的轉(zhuǎn)型，即由“算數(shù)學(xué)”“想數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”到“用數(shù)學(xué)”意識形態(tài)的轉(zhuǎn)變.

數(shù)學(xué)實驗作為提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效方式和路徑，本身具有素養(yǎng)結(jié)構(gòu)形態(tài)三個特征：一是認識論領(lǐng)域的應(yīng)用意識形態(tài)特征；二是實踐論領(lǐng)域的應(yīng)用行為形態(tài)特征；三是方法論領(lǐng)域的應(yīng)用觀念形態(tài)特征.為落實數(shù)學(xué)實驗提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目標，研究數(shù)學(xué)實驗對應(yīng)用意識發(fā)展的基本認識、本質(zhì)特征以及內(nèi)部關(guān)系至關(guān)重要.為此，江蘇省“初中數(shù)學(xué)實驗的理論與實踐研究”課題組進行了專題研討，基于數(shù)學(xué)實驗的視角進一步深化了對數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的認識.1為什么說數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一

《課程標準》指出，“為了適應(yīng)時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.”應(yīng)用意識發(fā)展的最好方式和路徑是數(shù)學(xué)實驗，它也是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的前提；而創(chuàng)新意識是應(yīng)用意識支配作用的結(jié)果，二者相互依存并關(guān)聯(lián).就數(shù)學(xué)教育的未來意義而言，創(chuàng)新意識是數(shù)學(xué)實驗的外顯目標，提高素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的內(nèi)隱目標，最終是通過“用數(shù)學(xué)”的活動行為激活內(nèi)部動機的，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)釋放內(nèi)力的表現(xiàn)形式.因此，基于數(shù)學(xué)實驗視角來深化對應(yīng)用意識的認識尤為必要也十分重要.

按照《課程標準》的表述來說，應(yīng)用意識有兩個方面的含義：一方面，有意識利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題；另一方面，認識現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決.在整個數(shù)學(xué)教育的過程中都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，數(shù)學(xué)實驗就是培養(yǎng)應(yīng)用意識一種很好的方式.因此，數(shù)學(xué)實驗課程實施的主要任務(wù)就是滲透素養(yǎng)型應(yīng)用意識.筆者認為，從認識論視角看應(yīng)用意識有兩層意思：一是思想領(lǐng)域“應(yīng)”的意識形態(tài)的支配狀態(tài)；二是動作領(lǐng)域“用”的能動行為的支配作用.前者是思想統(tǒng)領(lǐng)，后者是實踐跟進，二者互相轉(zhuǎn)化和運行，終歸于應(yīng)用意識支配下的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的漸次提高.所以，我們認為，基于數(shù)學(xué)實驗視角的“應(yīng)用意識”，就是形成用數(shù)學(xué)實驗的方式還原抽象數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的習(xí)慣.同時，善于從數(shù)學(xué)實驗現(xiàn)象中揭示數(shù)學(xué)問題本質(zhì)特征，終歸于認識世界能力的提高和發(fā)展.

《課程標準》還明確提出，“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).”這里的“基本素養(yǎng)”至少包含三層遞進含義：一是能用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、審視生活；二是能用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實世界，在數(shù)學(xué)與生活的不斷聯(lián)系過程中自覺鍛煉思維力、應(yīng)用力和行事觀；三是能用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，在生活中養(yǎng)成積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的習(xí)慣[1].就課程教育論的層面來說，這種素養(yǎng)層次觀和數(shù)學(xué)教育專家史寧中、顧沛等人關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的說法是一致的.他們把抽象、推理、數(shù)學(xué)建模、幾何直觀、運算、統(tǒng)計作為數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).就思維形態(tài)學(xué)來說，抽象概括可歸結(jié)為第1層次，幾何直觀、運算與推理可歸結(jié)為第2層次，數(shù)學(xué)建模和統(tǒng)計可歸結(jié)為第3層次.事實上，無論哪種思維形態(tài)的運行都離不開應(yīng)用意識的支配作用，否則，所有的思維哲學(xué)將演變成人生玄學(xué).誠然，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所必需的數(shù)學(xué)知識和技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維力和創(chuàng)新力方面的作用.而個體在后天的教育中獲得的知識技能，既是應(yīng)用意識支配的產(chǎn)物又能反哺應(yīng)用意識，思維力和創(chuàng)新力的發(fā)生、發(fā)展和提高更是應(yīng)用意識發(fā)揮作用的外在表現(xiàn).因此，應(yīng)用意識無論從認識論，還是從實踐論、方法論來認識，均符合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本標準.2數(shù)學(xué)應(yīng)用意識由低到高有幾個層次？各層次的基本要求有哪些

近期，教育部從社會參與、自主發(fā)展和文化修養(yǎng)等維度提出了一個學(xué)生的核心素養(yǎng)標準.社會參與行為從屬于社會學(xué)范疇，該行為發(fā)生是生活觀層面應(yīng)用意識支配的外在表現(xiàn)；自主發(fā)展行為從屬于實踐論范疇，該行為運行是以“現(xiàn)實經(jīng)驗”的重組和改造為突出特征，是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識在實踐層面發(fā)揮作用的表現(xiàn)；文化修養(yǎng)行為從屬于審美學(xué)范疇，該行為施加教育作用的表現(xiàn)是應(yīng)用意識在德化、立美、造美層面的價值力量.遵循數(shù)學(xué)素養(yǎng)維度劃分邏輯和公共應(yīng)用意識水平標準，課題研究組認為，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識由低到高可劃分為對應(yīng)的3個層次，即實踐型應(yīng)用意識觀、規(guī)劃型應(yīng)用意識觀和審美型應(yīng)用意識觀.

《課程標準》就應(yīng)用意識的培養(yǎng)任務(wù)來說，在學(xué)段目標中給予層次性闡釋和呈現(xiàn).第一學(xué)段（1—3年級）：經(jīng)歷實踐操作的過程，進一步理解所學(xué)的內(nèi)容.該學(xué)段目標反映實踐應(yīng)用意識特征，是微觀形態(tài)的學(xué)以致用.第二學(xué)段（4—6年級）：通過應(yīng)用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學(xué)知識之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.該學(xué)段目標反映規(guī)劃應(yīng)用意識特征，是中觀形態(tài)的學(xué)以致用.第三學(xué)段（7—9年級）：通過對有關(guān)問題的探討，了解所學(xué)過的知識（包括其他學(xué)科知識）之間的關(guān)聯(lián)，進一步理解有關(guān)知識，發(fā)展應(yīng)用意識和能力.該學(xué)段目標反映高級形態(tài)應(yīng)用意識特征，是宏觀形態(tài)的學(xué)以致用.比如，就“搭三角形”實驗來說，實踐型應(yīng)用僅要求學(xué)生能搭出三角形即可，即在搭的過程中感受三角形的外在要求；規(guī)劃型應(yīng)用則要求學(xué)生在搭的過程有追問反思，“為什么有的能搭？有的不能搭？三條線段滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系才一定能搭？”審美型應(yīng)用還要求學(xué)生在塔的體驗中明白“三角形三邊制約關(guān)系”的來龍去脈以及設(shè)計延伸實驗方案的造美行動.顯然，這里“搭三角形”行為是應(yīng)用意識支配作用的低級形態(tài)，“關(guān)聯(lián)不確定三角形”動作是應(yīng)用意識支配作用的中級形態(tài)（元認知監(jiān)控），“編制深層次搭三角形方案”是應(yīng)用意識造美的集中表現(xiàn).3個應(yīng)用意識層次隨學(xué)段的升高，其操作力、思維力、邏輯力水平不斷上升，反映應(yīng)用意識的“由外而內(nèi)——由內(nèi)而外——內(nèi)外一致”的動態(tài)特征，揭示數(shù)學(xué)實驗在形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面的應(yīng)用意義.

另外，《課程標準》在實施建議中明確指出，“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標志.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標.”事實上，積累活動經(jīng)驗的過程就是“悟數(shù)學(xué)”的過程，而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過程就是“用數(shù)學(xué)”的過程.這種“二分法”應(yīng)用意識觀在辯證學(xué)領(lǐng)域與章建躍教授的“限制課堂容量，延長知識獲得過程，給學(xué)生悟的時間”[2]是一致的，反映應(yīng)用意識的遞進式支配形態(tài).3數(shù)學(xué)實驗是如何促進應(yīng)用意識發(fā)展的數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生通過動手動腦，以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動方式，是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運用有關(guān)工具，通過實際操作，在認知與非認知因素參與下進行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識、驗證數(shù)學(xué)結(jié)論的思維活動.數(shù)學(xué)實驗的出發(fā)點“做數(shù)學(xué)”本身就是應(yīng)用意識支配作用的結(jié)果，做的過程就是應(yīng)用意識發(fā)展的過程；數(shù)學(xué)實驗的生長點“思維參與”是應(yīng)用意識的具體表現(xiàn)，參與思維的過程就是應(yīng)用意識水平得以提高的過程；數(shù)學(xué)實驗的物質(zhì)外殼“手腦并用”是應(yīng)用意識的物質(zhì)基礎(chǔ)，手腦協(xié)同并用的過程就是應(yīng)用意識傾向數(shù)學(xué)化的過程；數(shù)學(xué)實驗的技術(shù)手段“操作與觀察”、“實驗與猜想”是應(yīng)用意識由感性到理性的上升過程，由操作到觀察、實驗到猜想是應(yīng)用意識自覺序列化的外在表現(xiàn).而建構(gòu)和發(fā)展認知結(jié)構(gòu)的過程目標就是應(yīng)用意識得以發(fā)展的結(jié)果性表現(xiàn).

縱觀數(shù)學(xué)實驗對應(yīng)用意識的正遷移作用，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗作為培養(yǎng)應(yīng)用意識的有效路徑，關(guān)鍵是讓學(xué)生經(jīng)歷完整的發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.而“四能”得以具體落實的過程正是應(yīng)用意識水平漸次抬升的過程.筆者認為，應(yīng)用意識在數(shù)學(xué)實驗領(lǐng)域包括3種水平形態(tài)，即低級形態(tài)（做數(shù)學(xué)）、中級形態(tài)（用數(shù)學(xué)）和高級形態(tài)（思數(shù)學(xué)），實驗的過程就是“做”“用”“思”聯(lián)結(jié)復(fù)合的過程，是應(yīng)用意識形態(tài)梯級變遷和發(fā)展的過程.比如，感受“垂線的唯一性”的實驗，如果僅讓學(xué)生通過畫和折的方式感受“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”的性質(zhì)，這屬于低級形態(tài)的用數(shù)學(xué)；如果在折與畫的過程中再伴隨有語言表征的行為，這便屬于中級形態(tài)的用數(shù)學(xué)；而如果在實驗中既有行為動作和多元表征，又有驗證和論證行為發(fā)生，這就是高級形態(tài)的用數(shù)學(xué).4數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是如何滲透在數(shù)學(xué)實驗之中的？其基本路徑有哪些

就微觀教學(xué)論來說，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識屬于實踐論范疇.據(jù)此，可將數(shù)學(xué)實驗劃分為概念課、程序課和審美課3種課型.概念課是通過尋找“前概念”背景將應(yīng)用意識隱藏在具體知識的背后；程序課是通過操作不變性活動將應(yīng)用意識滲透在“用數(shù)學(xué)”的過程中；審美課是借助塑造美和展示美的活動將應(yīng)用意識滴灌在學(xué)習(xí)心理活動的動作中.現(xiàn)有《數(shù)學(xué)實驗手冊》中的“平面圖形的密鋪”、“折三角形的三線”屬于新概念課，“探索多邊形的內(nèi)角和與外角和”屬于程序課，而“制作微型動畫片”、“七巧板拼圖”屬于審美課.就中觀課程論來說，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識屬于認識論范疇.據(jù)此，又可將數(shù)學(xué)實驗劃分為數(shù)據(jù)課、算理課和存在課3種課型.數(shù)據(jù)課主要是通過定量分析將應(yīng)用意識滲透在收集整理數(shù)據(jù)的行為中；算理課主要是通過幾何直觀將抽象的算理直白的顯化出來，是在“做”和“思”的思維過程中來進行的；存在課主要是借助畫折動作、鏡像猜想、思維考證等推演行為發(fā)現(xiàn)存在性的事實.像《數(shù)學(xué)實驗手冊》中的“教科書有多厚”、“測量硬幣的厚度與質(zhì)量”屬于數(shù)據(jù)課，“拼圖·公式”、“字母表示數(shù)”屬于算理課，而“感受唯一性”、“感受無理數(shù)”屬于存在課.就宏觀數(shù)學(xué)教育的意義來說，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識屬于方法論范疇.此時，還可將數(shù)學(xué)實驗劃分為關(guān)系課、經(jīng)驗課和方法課3種課型.關(guān)系課主要是通過模擬探究和實物操作等活動發(fā)現(xiàn)規(guī)律或關(guān)系；經(jīng)驗課主要是通過操作實物來獲取知識積累經(jīng)驗；方法課主要是通過不斷嘗試并逐步逼近來獲得探究一類問題的具體方法.像《數(shù)學(xué)實驗手冊》中的“探究圓周角與圓心角的關(guān)系”、“萊洛三角形與圓”屬于關(guān)系課，“折紙與黃金矩形”、“折紙與特殊角的三角函數(shù)”屬于經(jīng)驗課，而“找重心”、“探究無蓋長方體紙盒的最大容積”屬于方法課.

數(shù)學(xué)實驗作為應(yīng)用意識培養(yǎng)的有效載體，承擔(dān)提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要任務(wù).

按照章建躍教授的數(shù)學(xué)教育觀來說，加強用數(shù)學(xué)解決實際問題的教學(xué)，是將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為認識世界、革新創(chuàng)造的智慧的關(guān)鍵環(huán)節(jié).基于實踐論視角的數(shù)學(xué)實驗，用數(shù)學(xué)的基本途徑就是為解決實際問題而設(shè)計并實驗.像“模擬7位數(shù)體育彩票開獎”這一實驗讓學(xué)生切身體驗中獎的隨機性，理解概率對生活的指導(dǎo)意義，體驗概率本不是高深莫測的代名詞.基于認識論視角的數(shù)學(xué)實驗，用數(shù)學(xué)的基本途徑就是為發(fā)現(xiàn)和提出問題而設(shè)計并實驗.像“有趣的平面坐標系”這一實驗讓學(xué)生在“做思結(jié)合”的過程中伴隨“用意識”水平的螺旋上升，感受平面內(nèi)點的表示方法可以進行多元立體的表征，可以是有序?qū)崝?shù)對法、極坐標法、三角形坐標法以及菱形坐標法等，反映了認知論體系中認識的適應(yīng)性，正如馬克思研究的結(jié)論那樣，“世界是按照美的規(guī)律建造的.”遵循這樣的認識觀，可以說應(yīng)用意識是按照美的素養(yǎng)結(jié)構(gòu)梯級排列的.基于方法論視角的數(shù)學(xué)實驗，用數(shù)學(xué)的基本途徑是為落實形而上的“后雙基”概念（基本思想、基本活動經(jīng)驗）而設(shè)計并使用.像“圖形運動與坐標變換”這一實驗，讓學(xué)生在計算機模擬環(huán)境下，感受圖形運動狀態(tài)是由點的運動方向和距離引發(fā)的，直觀體驗坐標變換對圖形運動的定性影響.

科學(xué)性和藝術(shù)性是教學(xué)的兩種基本屬性[3].按照實驗教學(xué)是科學(xué)更是藝術(shù)的應(yīng)用意識觀來說，科學(xué)素養(yǎng)來自于實驗理性的定量分析與定性把握，藝術(shù)素養(yǎng)更多來自于實驗經(jīng)驗的權(quán)衡與批判以至于變遷的“母思維”狀態(tài)，終歸于應(yīng)用意識水平的橫向延伸和縱向拓展，實現(xiàn)應(yīng)用意識支配的素養(yǎng)型實驗的教育本體意義和價值取向.

參考文獻

[1]齊民友.數(shù)學(xué)教育的改革要遵循數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通報，2006（8）：1-4

[2]王尚志，胡典順.齊民友先生對數(shù)學(xué)教育若干問題的看法——齊民友先生訪談錄[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015（2）：4-9

[1]孫朝仁，馬敏.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的應(yīng)用型數(shù)學(xué)實驗[J].中國數(shù)學(xué)教育，2015（11）：36-40

[2]章建躍.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和智慧發(fā)展[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（8）：4-11

[3]羅增儒.教學(xué)既是科學(xué)又是藝術(shù)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（8）：1