李文杰　楊濤　梅艷瑩

摘要：針對(duì)稀疏重構(gòu)下二維波達(dá)方向（2D-DOA）估計(jì)存在計(jì)算量大的問題，提出一種基于協(xié)方差矩陣降維稀疏表示的二維波達(dá)方向估計(jì)方法。首先引入空間角構(gòu)造流形矢量矩陣冗余字典，將方位角和俯仰角組合從二維空間映射到一維空間，降低了字典的長度和求解復(fù)雜度，并且能自動(dòng)實(shí)現(xiàn)俯仰角和方位角配對(duì)；其次改進(jìn)了樣本協(xié)方差矩陣的稀疏表示模型，對(duì)該模型進(jìn)行了降維處理；然后由協(xié)方差矩陣稀疏重構(gòu)的殘差約束特性得到約束殘差項(xiàng)置信區(qū)間，避免采用正則化方法導(dǎo)致參數(shù)選取困難；最后通過凸優(yōu)化包實(shí)現(xiàn)了二維波達(dá)方向的估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，待選取的協(xié)方差矩陣列數(shù)達(dá)到某個(gè)閾值（在只有兩個(gè)入射信號(hào)情況下該值為3）時(shí)，可準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)入射信號(hào)角的估計(jì)；當(dāng)信噪比（SNR）較?。?5dB）時(shí)，該方法估計(jì)精度優(yōu)于基于空間角的特征矢量算法；低快拍數(shù)（<100）下該方法估計(jì)精度略低于特征矢量法，但小間隔角度下估計(jì)精度與后者相當(dāng)。

關(guān)鍵詞：稀疏表示；二維波達(dá)方向估計(jì)；協(xié)方差矩陣；空間角；L型陣列

中圖分類號(hào)：TN911.23

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

二維波達(dá)方向（Two-Dimensional Direction-Of-Arrival， 2D-DOA）估計(jì)作為信號(hào)處理領(lǐng)域的重要方向之一，在各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，比如雷達(dá)、檢測、通信等。隨著技術(shù)的發(fā)展更是對(duì)波達(dá)方向估計(jì)提出了高精度、高分辨率、解相干等要求。陣列信號(hào)的空間譜非連續(xù)性，僅在相應(yīng)的空間方位存在非零值，產(chǎn)生了稀疏表示求解波達(dá)方向估計(jì)思想。在一維波達(dá)方向估計(jì)（One-Dimensional Direction-Of-Arrival， 1D-DOA）方面，許多學(xué)者已經(jīng)對(duì)稀疏算法進(jìn)行了大量的研究[1-3]。

實(shí)際中，二維參量比一維參量更加具有實(shí)用價(jià)值和研究意義。以多重信號(hào)分類（MUltiple SIgnal Classification， MUSIC）[4]、旋轉(zhuǎn)不變子空間（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques， ESPRIT）[5]算法為代表的子空間類估計(jì)方法通常需要較高的信噪比（Signal-to-Noise Ratio， SNR）門限和較多的采樣快拍，并且需要事先已知信號(hào)的信源數(shù)。此外，MUSIC算法對(duì)相干信號(hào)需進(jìn)行去相干處理，容易造成陣列孔徑損失問題，限制了其應(yīng)用。Malioutov等[6]提出了l1范數(shù)奇異值分解（l1-norm Singular Value Decomposition， l1-SVD）方法，利用l1范數(shù)約束求解稀疏目標(biāo)估計(jì)值。但此方法需要事先知道入射信號(hào)信源數(shù)，當(dāng)信源數(shù)超出估計(jì)值時(shí)，帶來性能嚴(yán)重下降問題。當(dāng)進(jìn)行2D-DOA估計(jì)時(shí)，l1-SVD算法計(jì)算量會(huì)變得非常龐大。張妍君[7]提出一種利用l1范數(shù)項(xiàng)和Capon譜約束解決參數(shù)選擇問題的二維稀疏估計(jì)算法，避免了正則化參數(shù)的選取不當(dāng)而降低算法性能。但由于引入Capon譜，不適宜處理相干信號(hào)。李鵬飛等[8]提出空間角稀疏求解DOA估計(jì)方法，利用空間角構(gòu)造冗余字典，降低了計(jì)算難度，但沒有避免正則化參數(shù)選取，對(duì)算法性能有較大影響。

對(duì)此，本文提出利用協(xié)方差部分信息稀疏求解2D-DOA估計(jì)的方法，首先依據(jù)陣列的方向矢量作為原子給出陣列信號(hào)的稀疏模型。對(duì)陣列輸出協(xié)方差矩陣列數(shù)降維處理，利用陣列輸出協(xié)方差矩陣某幾列進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)，且通過引用變換矩陣避免了正則化參數(shù)的選取。同時(shí)利用空間角概念，降低了計(jì)算的復(fù)雜度。

1陣列信號(hào)模型

假定兩個(gè)均勻線性正交陣列，組成L型陣列結(jié)構(gòu)，共由2M-1個(gè)陣元組成，具體結(jié)構(gòu)如圖1，陣元間距d=dx=dz=0.5λ，λ為信號(hào)波長；俯仰角θk定義為信號(hào)來波方向與坐標(biāo)系z軸正向的夾角，角度范圍為：0<θk<180°；方位角φk為信號(hào)來波方向在x-y平面投影與坐標(biāo)系x軸夾角，同樣角度范圍為：0<φk<180°。

3基于協(xié)方差矩陣的稀疏估計(jì)方法

3.1陣列接收信號(hào)處理

文獻(xiàn)[9-10]提出根據(jù)協(xié)方差矩陣估計(jì)波達(dá)方向方法，但是必須要知道噪聲功率的限制。本文方法以子陣Z的接收信號(hào)rz（t）為例進(jìn)行說明，對(duì)子陣X也類似。根據(jù)前面設(shè)定的信號(hào)與噪聲之間不相關(guān)性質(zhì)，則根據(jù)式（9），Z子陣列輸出協(xié)方差矩陣可表示為：

3.2方位角和俯仰角配對(duì)

大多數(shù)情況下，用分維方法進(jìn)行方位角和俯仰角估計(jì)的時(shí)候，比較困難之處在于方位角和俯仰角的配對(duì)問題。利用稀疏分解可得到信號(hào)幅值，進(jìn)而可以根據(jù)信號(hào)幅值得到信號(hào)的方位信息，可實(shí)現(xiàn)俯仰角和方位角配對(duì)問題。

在式（16）中，Bz和Bx中非零元素的位置代表了入射信號(hào)對(duì)應(yīng)的空間角的值，非零元素的值代表了入射信號(hào)對(duì)應(yīng)的幅度信息，據(jù)此可同時(shí)求解空間角α和β的值，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)配對(duì)，經(jīng)過式（6）就可以反推得θ和φ。

3.3陣列輸出協(xié)方差矩陣列數(shù)優(yōu)化

通過第2章可知使用空間角可以降低計(jì)算復(fù)雜度，將2D-DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為1D-DOA估計(jì)問題。通過3.2節(jié)可知道空間角α和β與方位角俯仰角θ和φ之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此可以用空間角α和β來進(jìn)行2D-DOA估計(jì)計(jì)算。

協(xié)方差矩陣列數(shù)的增加會(huì)造成算法的計(jì)算復(fù)雜度增大，為了選取最優(yōu)的陣列協(xié)方差矩陣列數(shù)，這里通過逐步增加列數(shù)的方法進(jìn)行搜索。假定入射信號(hào)個(gè)數(shù)在短時(shí)間內(nèi)保持不變，則其輸出協(xié)方差矩陣的秩也保持不變，在這段時(shí)間內(nèi)可選取相同的輸出協(xié)方差矩陣列數(shù)，這樣可明顯降低計(jì)算量。假定子陣元數(shù)目M=8，信源數(shù)為2個(gè)，信源1的俯仰角和方位角設(shè)為α1=35°、 β1=30°，信源2的俯仰角和方位角設(shè)為α2=60°、 β2=70°，信號(hào)和噪聲不相關(guān)。信噪比為20dB，快拍數(shù)設(shè)為200，獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的次數(shù)為300，本文采用每個(gè)信源俯仰角和方位角估計(jì)誤差平方和求得均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE），定義如下：

文獻(xiàn)[11]中第4章中提到：基于協(xié)方差矩陣的稀疏表示波達(dá)方向估計(jì)方法實(shí)際上是利用協(xié)方差矩陣列向量的聯(lián)合稀疏特性來進(jìn)行的，實(shí)際中為降低計(jì)算復(fù)雜度，只需對(duì)某幾列進(jìn)行聯(lián)合稀疏求解就可以獲得很好的性能，規(guī)定協(xié)方差矩陣列數(shù)Q≤M。在假定2個(gè)遠(yuǎn)場入射信號(hào)情況下，為選出計(jì)算復(fù)雜度最小且不影響DOA估計(jì)性能的最優(yōu)列數(shù)，從最小列數(shù)（1）到最大列數(shù)（子陣元數(shù)M），取單個(gè)信源均方根誤差，圖2顯示了兩信源角度估計(jì)的均方根誤差RMSE隨協(xié)方差列數(shù)變化的關(guān)系。

從圖2可以看出，當(dāng)協(xié)方差矩陣列數(shù)增加到3列時(shí)，角度估計(jì)的均方根誤差趨于0，滿足條件，此時(shí)可以準(zhǔn)確地估計(jì)出入射角的信息。當(dāng)入射信號(hào)的個(gè)數(shù)發(fā)生變化時(shí)或者部分陣元失效時(shí)，可定時(shí)采用上述方法搜索最優(yōu)的協(xié)方差矩陣列數(shù)，從而減少計(jì)算量。

從減少計(jì)算量與平衡算法的性能角度出發(fā)，本文協(xié)方差矩陣列數(shù)選擇3列，當(dāng)然為了使結(jié)果更加精確，可根據(jù)需要適當(dāng)增加陣列數(shù)目。

3.4計(jì)算復(fù)雜度分析

本文算法的計(jì)算量主要在于利用內(nèi)點(diǎn)法對(duì)凸優(yōu)化包形式求解，算法復(fù)雜度為O（N3），而同類稀疏表示算法中，文獻(xiàn)[8，12]的方法（下文簡稱特征矢量法）也主要集中于對(duì)凸優(yōu)化的求解，算法復(fù)雜度也為O（N3）。子空間類MUSIC算法復(fù)雜度為O（M3），通常情況下NM，MUSIC算法具有較低的復(fù)雜度，本文算法與特征矢量法相當(dāng)。

4仿真實(shí)驗(yàn)與分析

本章主要進(jìn)行各種仿真驗(yàn)證，文獻(xiàn)[8]中已經(jīng)對(duì)比了eigenvector算法與MUSIC算法，結(jié)果顯示eigenvector算法的性能遠(yuǎn)優(yōu)于MUSIC算法，這里不再重復(fù)比較，主要將本文方法與特征矢量法作比較。仿真的基本條件與3.3節(jié)中相同。子陣元數(shù)目M=8，信源數(shù)為2個(gè)，信源1的俯仰角和方位角設(shè)為α1=35°、 β1=30°，信源2的俯仰角和方位角設(shè)為α2=60°、 β2=70°，信號(hào)和噪聲不相關(guān)，獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的次數(shù)為300。

公式重復(fù)定義，而且下標(biāo)k表示什么？

均方根誤差定義如下：

，K

實(shí)驗(yàn)1比較信噪比與估計(jì)精度關(guān)系。

本實(shí)驗(yàn)比較兩種方法估計(jì)精度與信噪比關(guān)系?；緱l件同上，快拍數(shù)設(shè)為200，SNR在-10dB到20dB范圍內(nèi)變化。圖3顯示兩信源的角度估計(jì)變化情況。從圖3中可以看出，當(dāng)SNR從-10dB增加到20dB過程中，本文方法估計(jì)精度變化較小，在信噪比較低時(shí)，估計(jì)精度高于特征矢量法，信噪比較大時(shí)，二者估計(jì)精度相當(dāng)。

實(shí)驗(yàn)2比較快拍數(shù)與估計(jì)精度關(guān)系。

本實(shí)驗(yàn)比較兩種方法估計(jì)精度與快拍數(shù)關(guān)系。基本條件同上，信噪比設(shè)為15dB，快拍數(shù)在2到600范圍內(nèi)取值。圖4顯示了快拍數(shù)從2到600的過程中兩信源角度估計(jì)變化情況。從圖4可以看出在快拍數(shù)從2增加到600過程中，本文方法在快拍數(shù)很小情況下估計(jì)精度略低于特征矢量法，其他情況下兩種方法估計(jì)精度相同。

實(shí)驗(yàn)3比較角度間隔與估計(jì)精度關(guān)系。

本實(shí)驗(yàn)比較兩種方法在角度間隔下的分辨能力。假定兩信源互不相關(guān)，快拍數(shù)取為200，信噪比取為15dB。首先假定信源1和2的方位角不變，假設(shè)為30°，令α1=35°+δ，β1=30°，α2=55°+δ，β2=30°，δ從1變到5，看看估計(jì)算法的超分辨能力；其次假定信源1和2的俯仰角不變，假設(shè)為35°，令α1=35°，β1=30°+δ，α2=35°，β2=40°+δ，δ從1變到5，看看估計(jì)算法的超分辨能力。圖5顯示了在信源1和2的方

位角β1和β2不變時(shí)，δ從1變化到5過程中兩信源估計(jì)精度變化情況。從圖5中可以看出在俯仰角α間距增大過程中，估計(jì)精度略有下降，信源1和信源2的均方根誤差RMSE曲線完全重合，說明兩種方法的分辨能力相同。圖6顯示了在信源1和2的俯仰角α1和α2不變時(shí)，δ從1變化到5過程中兩信源估計(jì)精度變化情況。從圖6中可以看出隨方位角β間距增大過程中，信源1在兩種方法下均方根誤差曲線重合，信源2在兩種方法下均方根誤差RMSE曲線也重合，估計(jì)精度都略有下降，說明兩種方法的分辨能力也相同。綜合上述兩種情況下的分析，本文方法與特征矢量法分辨能力相同。

實(shí)驗(yàn)4運(yùn)算時(shí)間分析。

比較本文算法、特征矢量方法及去相干2D-MUSIC方法運(yùn)行一次所需的時(shí)間，實(shí)驗(yàn)在配置相同的計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，筆記本型號(hào)為宏基GT520M系列，CPU為Intel 酷睿i3 380M、內(nèi)存為2GB、操作系統(tǒng)為Windows 7，得到運(yùn)算時(shí)間如表1所示。

由表1可以看出，MUSIC算法運(yùn)行一次所需時(shí)間最少，表明子空間算法復(fù)雜度小于稀疏重構(gòu)算法。本文算法運(yùn)行時(shí)間略低于特征矢量法，與3.4節(jié)中對(duì)算法復(fù)雜度的分析相符。

5結(jié)語

本文針對(duì)2D-DOA估計(jì)存在計(jì)算量大、無法實(shí)現(xiàn)角度自動(dòng)匹配的問題，引入?yún)f(xié)方差矩陣稀疏表示模型和空間角的概念，構(gòu)建一種新的2D-DOA估計(jì)方法，能自動(dòng)實(shí)現(xiàn)俯仰角與方位角的匹配。該方法與可實(shí)現(xiàn)角度自動(dòng)配對(duì)的稀疏類2D-DOA方法（如特征矢量法）相比，不需選取正則化參數(shù)，對(duì)信噪比和快拍數(shù)要求低，小間隔角度下估計(jì)精度穩(wěn)定。

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