王　琳

(山東省青島職教教研室，266023)

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巧探數(shù)列通項(xiàng)公式

王琳

(山東省青島職教教研室，266023)

數(shù)列通項(xiàng)公式深刻揭示了數(shù)列各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系．通項(xiàng)公式的探求對(duì)研究數(shù)列至關(guān)重要,可以說(shuō)是數(shù)列的靈魂．在具體問(wèn)題中,數(shù)列特點(diǎn)不同,其通項(xiàng)公式的探求方法也不盡相同．

一、觀察法

根據(jù)所給的一列數(shù),通過(guò)觀察、分析，找出其變化規(guī)律，從而探求其通項(xiàng)．

例1設(shè)數(shù)列{an}的前5項(xiàng)分別是圖1中5個(gè)圖形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，試猜想該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

本題給出的一組圖形非常有特點(diǎn):

第一組點(diǎn)的個(gè)數(shù)a1=1：可以看成

a1=0×1+1；

第二組點(diǎn)的個(gè)數(shù)a2=3：可以看成

a2=1×2+1;

第三組點(diǎn)的個(gè)數(shù)a3=7:可以看成

a3=2×3+1；

第四組點(diǎn)的個(gè)數(shù)a4=13：可以看成

a4=3×4+1；

第五組點(diǎn)的個(gè)數(shù)a5=21：可以看成

a5=4×5+1；

……

通過(guò)觀察,分析,可得

該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為

an=(n-1)n+1.

二、定義法

根據(jù)定義判斷數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,從而用公式求通項(xiàng)．

例2在數(shù)列{an}中,已知a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,n≥2且n∈Z*，求證:數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列,并求數(shù)列的{an}的通項(xiàng)公式．

解∵an+2=3an+1-2an，

∴an+2-an+1=2an+1-2an，

即an+2-an+1=2(an+1-an)，

所以數(shù)列{an+1-an}是公比q=2的等比數(shù)列．

設(shè)an+1-an=bn,則數(shù)列{bn}是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列,其中b1=a2-a1=3-1=2，

所以bn=b1·qn-1=2×2n-1=2n，

即an+1-an=2n.

再解決如下問(wèn)題:在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=2n(n∈N*)，求an.

n=1時(shí),a1=1,n≥2時(shí)，

a2-a1=2,

a3-a2=22,

a4-a3=23,

……

an-an-1=2n-1.

以上n-1個(gè)等式累加，得

an-a1=2+22+…+2n-1

故an=2n-2+a1=2n-1，且a1=1也滿(mǎn)足該式，

∴an=2n-1(n∈N*).

三、前n項(xiàng)和法

利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2)求通項(xiàng).有些數(shù)列給出{an}的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系式Sn=f(an),利用該式寫(xiě)出Sn+1=f(an+1)，兩式作差，再利用an+1=Sn+1-Sn導(dǎo)出an+1與an的遞推式，從而求出an.

例3已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn滿(mǎn)足S1>1,且6Sn=(an+1)(an+2)n∈N*，求{an}的通項(xiàng)公式.

由已知a1=S1>1,因此a1=2.

(an+1+an)(an+1-an-3)=0.

∵an>0,∴an+1-an=3，

從而{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，故{an}的通項(xiàng)為

an=2+3(n-1)=3n-1.

四、累加法

形如an-an-1=f(n)(n=2、3、4…)且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求，則可用累加法求an.有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解.

例4在數(shù)列{an}中，a1=1,an-an-1=2n-1(n=2、3、4、…)，求{an}的通項(xiàng)公式.

解n=1時(shí)，a1=1.

n≥2時(shí)，a2-a1=3,

a3-a2=5,

a4-a3=7,

……

an-an-1=2n-1.

這n-1個(gè)等式累加，得

an-a1=3+5+7+…+(2n-1)

=n2-1.

故an=n2-1+a1=n2，

∴通項(xiàng)公式是an=n2(n∈N*).

五、累乘法

分別令n=1,2,3,…,(n-1),代入上式得n-1個(gè)等式，累乘，得

六、構(gòu)造法

1.構(gòu)造等比數(shù)列法

原數(shù)列{an}既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列．若把{an}中每一項(xiàng)添上一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子后,能使之成為一個(gè)等比數(shù)列,則可求出an.該法適用于遞推式形如an+1=ban+c或an+1=ban+f(n)或an+1=ban+cn，其中b、c為不相等的常數(shù),f(n)為一次式．

解構(gòu)造新數(shù)列{an+p},使之成等比數(shù)列.

例7已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=2an+3n,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

分析此問(wèn)題不同于例6,該數(shù)列中含3n是變量，而不是常量了，故應(yīng)構(gòu)造新數(shù)列{an+λ·3n}，其中λ為常數(shù)，使之為公比是an的系數(shù)2的等比數(shù)列，

解構(gòu)造數(shù)列{an+λ·3n}，λ為不為0的常數(shù)，使之公比成為q=2的等比數(shù)列.

即an+1+λ·3n+1=2(an+λ·3n),

整理得an+1=2an+(2λ·3n-λ·3n+1)，

與題設(shè)等式比較得λ=-1.

新數(shù)列{an-3n}是首項(xiàng)為a1-31=2,q=2的等比數(shù)列，

∴an-3n=-2×2n-1,

∴an=3n-2n.

2.構(gòu)造等差數(shù)列法

如果數(shù)列{an}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但具有遞推關(guān)系式形如an+1=ban+bn+1+f(n)，那么可以把兩邊同除以bn+1后，想法構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，從而間接求出an.

例8數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=-2an+(-2)n+1(n∈N*),首項(xiàng)為a1=-2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解an+1=-2an+(-2)n+1,

兩邊同除以(-2)n+1，得

故an=n(-2)n.

對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的探求,除了以上幾種方法外,還有根據(jù)遞推關(guān)系式求通項(xiàng)、取倒數(shù)等方法,可謂曲徑通幽,其樂(lè)無(wú)窮．限于篇幅，本文不再一一舉例說(shuō)明．