福建省南安第一中學　謝梓璋

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均值不等式求最值“失效”時的應對策略

福建省南安第一中學謝梓璋

利用均值不等式求最值時需要注意“一正、二定、三相等”的條件，三個條件缺一不可。但在實際應用過程中，這些條件有時不能同時具備，就需要一定的化解技巧，來應對這一系列的“失效”現(xiàn)象.

均值不等式 最值問題 “失效”對策 中學數(shù)學

均值不等式是人教版高中數(shù)學（必修5）第三章“不等式”中的重要一節(jié)，它是證明不等式和求各類最值的一個重要依據(jù)和方法，應用廣泛，具有變通靈活性和條件約束性的特點，是每年高考重點考查的知識點之一. 利用均值不等式求最值時需要注意“一正、二定、三相等”的條件，三個條件缺一不可。但在實際應用過程中，這些條件有時不能同時具備，就需要一定的化解技巧，來應對這一系列的“失效”現(xiàn)象，下面歸納出一部分學生在解題過程中容易步入的誤區(qū)，并提出相應的對策.

1　“一不正”時，化負為正

“一正、二定、三相等”中的“一正”是指應用均值不等式的兩個變量都必須是正實數(shù)。若兩個變量異號，則不能運用均值不等式求最值，若兩個變量同為負實數(shù)，可以提取負號后，使兩項都化為正數(shù)，再運用均值不等式來求解，但需要注意的是此時不等號的方向也發(fā)生了改變，所求的最大或最小值也隨之變化。一般來說，“正數(shù)”條件已體現(xiàn)在在題設(shè)中，但學生往往由于慣性思維忽視“一正”這一條件，導致解答過程出錯。

∴f（x）的最大值為4

∴f （x）的最大值為-4

2　“二不定”時，構(gòu)造定值

“定值”是指幾項式子的 “和”或“積”為常數(shù)，命題設(shè)計者通常把“定值” 條件以某種形式隱藏在所給數(shù)學式子中，既是式子的表現(xiàn)形式又是運算形式，可靜、可動，靈活多變，解題者要觀察出定值條件就必須對所給的式子進行適當?shù)淖冃?，而這種變形的方式具有較強的靈活性和技巧性。教學中，我們要讓學生獲取“定值”一般是對代數(shù)式進行拆項與添項，平衡系數(shù)等方法，通過“配湊”后，“構(gòu)造”出我們所需的定值。下面我們來看看以下例題是如何構(gòu)造出定值的：

∵0≤x≤4

∴當且僅當0=x時取最大值，最大值為16此題為兩個式子積的形式，若利用均值不等式求解“積”最大值，“和”必須為定值，但不是定值，所以不能生硬地套用均值不等式。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，為定值，所以只需將配湊一個系數(shù)即可使“和”為定值，進而利用均值不等式求解出最大值。

正解

3　“三不相等”時，變換求解

當“一正、二定”都有了，還不能魯莽地應用均值不等式，必須驗證等號能否取得到，如果等號取不到，可以考慮借助于函數(shù)的單調(diào)性來求最值.若在一道題中連續(xù)多次使用均值不等式，就必須保證各個等號能夠同時取到，如果等號不能同時成立，說明取不到該最值，這時應該選用其他方法或通過變形處理只用一次均值不等式。

錯解∵x2+4＞0

∴x+4y的最小值25。

是否能應用基本不等式求解函數(shù)的最值，主要是觀察式子中是否完全具備基本不等式的“一正、二定、三等”三個條件，這些條件看上去并不能同時滿足，需要我們進行一定的變形，使之同時成立進而運用均值不等式來解決問題。就是因為變形方法如此靈活多樣、 豐富多彩，才使得基本不等式如此地充滿了生機與活力，讓人感受到數(shù)學的無窮奧妙和神奇；也正因為基本不等式的 “活用”、“巧用” 能給我們的思維提供廣闊的發(fā)展空間，讓人學習起來充滿了樂趣和美的享受，才會使得高考中運用基本不等式求解的題目層出不窮、?？疾凰ァ?/p>

［1］ 杜偉林.用均值不等式求最值的幾種常見類型［J］.數(shù)學學習與研究：教研版，2015（15）：112-113.

［2］ 萬兆美.課本尋根——利用均值不等式求最值［J］.高中數(shù)理化，2015（19）：5-6.

［3］ 李培瑩. 走出均值不等式求最值的誤區(qū)［J］.赤峰學院學報：自然科學版，2014（1）：4-5.