劉曉君　洪靈

(西安交通大學(xué) 機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室,西安　710049)

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分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的混沌及自適應(yīng)同步*

劉曉君洪靈?

(西安交通大學(xué) 機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室,西安710049)

對具有五次方非線性項的分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的混沌及自適應(yīng)同步進行了研究.首先分析了該系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性, 并發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)滿足出現(xiàn)雙渦卷混沌吸引子的必要條件.然后研究了在階數(shù)相同和不同的兩種情況下的吸引子以及系統(tǒng)隨階數(shù)變化的分岔情況.該系統(tǒng)在兩種情況下存在混沌的最小有效維數(shù)分別為2.784和2.793.基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，實現(xiàn)了該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的自適應(yīng)混沌同步.數(shù)值模擬驗證了所設(shè)計的自適應(yīng)控制器和未知參數(shù)的辨識觀測器的有效性.

混沌,同步,分?jǐn)?shù)階系統(tǒng),分岔,自適應(yīng)控制

引言

分?jǐn)?shù)階微積分理論已有300多年的歷史, 早期主要側(cè)重于理論研究, 因沒有實際的應(yīng)用背景而發(fā)展十分的緩慢.1983年Mandelbort指出了自然界及許多科學(xué)領(lǐng)域中存在大量的分?jǐn)?shù)維事實[1], 由此作為分形幾何和分?jǐn)?shù)維動力學(xué)基礎(chǔ)的分?jǐn)?shù)階微積分取得了極大的進展[2].一直以來, 整數(shù)階微積分都是研究的重點內(nèi)容, 但整數(shù)階微積分僅僅決定于函數(shù)的局部特征, 而分?jǐn)?shù)階微積分以加權(quán)的形式考慮了函數(shù)的整體信息, 在很多方面應(yīng)用分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型可以更準(zhǔn)確地描述實際系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng).近幾十年, 研究人員提出了很多的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng), 例如分?jǐn)?shù)階Chua系統(tǒng)[3-5], 分?jǐn)?shù)階Duffing振子[6-7], 分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)[8], 分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)[9]等.

1990年, Pecora和Carroll提出完全同步以來[10], 混沌同步由于在保密通信等領(lǐng)域的潛在應(yīng)用而得到了廣泛的研究并取得了很多成果.常用的同步方法非常的多, 例如驅(qū)動響應(yīng)同步法、自適應(yīng)同步法、主動同步法以及反步法等[11-15].這些同步法是針對整數(shù)階混沌系統(tǒng), 隨著分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的發(fā)展, 很多同步方法被應(yīng)用到了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng).在實際情況中, 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)較整數(shù)階系統(tǒng)更加具有普遍性, 而且具有更大的密鑰空間, 因而對于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步研究具有重要的價值.

Genesio-Tesi系統(tǒng)是一個比較典型的混沌系統(tǒng).該系統(tǒng)是由Genesio和Tesi基于諧波平衡法構(gòu)造的[16], 具有混沌系統(tǒng)的很多特征, 并只包含了一個簡單的平方項.Genesio-Tesi系統(tǒng)的混沌同步問題在文獻[17]中得到了詳細(xì)的研究.2005年, Lu提出了分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)[18], 并指出該系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的最小有效維數(shù)為2.4.2012年, Faieghi等人通過主動同步法和滑?？刂品▽崿F(xiàn)了該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌同步[19].

研究了一個具有五次方非線性項的分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的混沌和同步問題.在等階和不等階的情況下, 分別分析了該系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性, 系統(tǒng)隨階數(shù)變化的分岔情況.并得出了兩種情況下, 系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的最小維數(shù)分別為2.784和2.793.最后基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論,研究帶有未知參數(shù)的分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的自適應(yīng)同步問題, 通過設(shè)計合適的控制器和未知參數(shù)辨識規(guī)則, 實現(xiàn)了該系統(tǒng)的自適應(yīng)同步.數(shù)值模擬驗證了所設(shè)計的控制器和參數(shù)辨識規(guī)則的有效性.

1　系統(tǒng)描述

具有五階非線性項的分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)描述如下：

(1)

其中x,y,z為系統(tǒng)狀態(tài)變量,b1,b2,b3,b4為系統(tǒng)參數(shù),q1,q2,q3為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).

E1(l1=0.5109,l2,3=-0.4055±1.9365i)

E2,3(l1=-1.5053,l2,3=0.6027±2.2251i)

從特征值可以看出, 平衡點E1是指數(shù)1的鞍點,其它的兩個平衡點為指數(shù)2的鞍點.對于混沌系統(tǒng), 渦卷只能在指數(shù)2的鞍點附近產(chǎn)生.指數(shù)1的平衡點的作用是連接兩個渦卷.所以系統(tǒng)(1)滿足產(chǎn)生雙渦卷的必要條件[20-21].

1.1階數(shù)相等的情況

當(dāng)系統(tǒng)的階數(shù)相等時, 即q1=q2,q3=q, 系統(tǒng)的參數(shù)取為b1=-2,b2=3.5,b3=0.3,b4=-1, 階數(shù)為q=0.95.系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性可以通過計算其對應(yīng)的特征根來研究, 平衡點E1的特征方程為:

det(diag([lmqlmqlmq])-J)

=l285+0.3l190+3.5l95-2=0

(2)

det(diag([lmqlmqlmq])-J)

=l285+0.3l190+3.5l95+8=0

(3)

為了更好的研究系統(tǒng)(1)的動力學(xué)行為, 以分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)做為控制參數(shù), 通過數(shù)值仿真, 得到當(dāng)階數(shù)q∈[0.88,0.97]時系統(tǒng)的分岔圖, 如圖2所示.從圖中可以看到, 系統(tǒng)發(fā)生了倍周期分岔和內(nèi)部激變, 其中內(nèi)部激變在q=0.953時發(fā)生, 表現(xiàn)為系統(tǒng)的吸引子從單渦卷到雙渦卷的變化, 如圖3所示.同時可得系統(tǒng)在等階情況下, 產(chǎn)生混沌的階數(shù)為q=0.928 , 則系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的最小維數(shù)為2.784.

圖1　系統(tǒng)(1)在三維空間中的混沌吸引子Fig.1　The chaotic attractor of system (1) in 3D phase space

圖2　系統(tǒng)(1)在等階情況下隨階數(shù)q變化的分岔圖Fig.2　Bifurcation diagram of the system (1) with order q

圖3　系統(tǒng)在不同階數(shù)的x-y平面上吸引子Fig.3　The attractors in x-y phase plane for different orders

1.2階數(shù)不相等的情況

在這種情況下, 取q1=0.95,q2=0.97,q3=0.95, 系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性可以通過計算其對應(yīng)的特征根來研究, 平衡點E1的特征方程為:

det(diag([lmq1lmq2lmq3])-J)

=l287+0.3l192+3.5l95-2=0,

(4)

det(diag([lmq1lmq2lmq3])-J)

=l287+0.3l192+3.5l95+8=0,

為了獲得系統(tǒng)(1)在不等階的情況下產(chǎn)生混沌的最小有效維數(shù), 令q1=q2=1, 數(shù)值仿真得到當(dāng)q3≥0.822時, 系統(tǒng)為混沌態(tài).同樣可以得到當(dāng)其中兩個階數(shù)值為1時, 系統(tǒng)產(chǎn)生混沌態(tài)的條件分別為q2≥0.824和q1≥=0.793.因此, 系統(tǒng)的最小有效維數(shù)為2.793.

同樣通過分岔圖來分析系統(tǒng)隨階數(shù)變化的動力學(xué)行為, 數(shù)值仿真得到系統(tǒng)隨階數(shù)q3變化的分岔圖,其中變化范圍為q3∈[0.85,0.97],如圖4.從圖中可以看到, 除了在q3∈[0.85,0.874]和q3∈[0.92,0.93]時, 系統(tǒng)發(fā)生了倍周期分岔外.系統(tǒng)一直處于混沌狀態(tài), 并且在q3=0.938時, 混沌區(qū)域突然變寬, 即系統(tǒng)發(fā)生了內(nèi)部激變.吸引子為從單渦卷到雙渦卷的變化, 如圖5所示.

圖4　系統(tǒng)(1)在不等階情況下隨階數(shù)q3變化的分岔圖Fig.4　Bifurcation diagram of the system (1) with order q3

圖5　系統(tǒng)在不同階數(shù)的x-y平面上吸引子 Fig.5　The attractors in x-y phase plane for different orders

2　系統(tǒng)(1)的自適應(yīng)同步

在這一節(jié)中, 利用反步法來研究系統(tǒng)(1)的自適應(yīng)同步.以系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動系統(tǒng), 并將其改寫為如下形式:

(6)

其中參數(shù)均為未知的.響應(yīng)系統(tǒng)為如下形式:

(7)

(8)

定理1當(dāng)自適應(yīng)控制器和參數(shù)辨識規(guī)則分別設(shè)計為如下形式時, 驅(qū)動系統(tǒng)(6)和響應(yīng)系統(tǒng)(7)達到同步.

(9)

(10)

證明：將自適應(yīng)控制器(9)代入誤差系統(tǒng)(8),則可得誤差系統(tǒng)

(11)

結(jié)合上式和(10), 可得：

=A(e1,e2,e3,eb1,eb2,eb3,eb4)T

(12)

其中

假定λ為矩陣A的一個特征根,且該特征值所對應(yīng)的非零的特征向量為

ζ=(ζ1,ζ2,ζ3,ζ4,ζ5,ζ6,ζ7)T

則

Aζ=λζ

(13)

通過對上式兩端進行共軛轉(zhuǎn)置運算H,可得

(14)

式(13)左乘1/2ζH,同時式(14)右乘1/2ζ,所得結(jié)果相加得到

(15)

進一步化簡

(16)

將矩陣A代入上式,得到

(17)

其中

(18)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，則誤差動力系統(tǒng)(12)的平衡點漸進穩(wěn)定.因此

(19)

這說明驅(qū)動系統(tǒng)(6)和響應(yīng)系統(tǒng)(7)達到了同步,證畢.

圖6　系統(tǒng)(6)與(7)的同步誤差曲線Fig.6　The curves of the synchronization errors of the systems (6) and (7)

圖7　未知參數(shù)的辨識曲線

取參數(shù)的真實值分別為b1=-2,b2=3.5,b3=0.3,b4=-1, 階數(shù)為q1=q2=q3=0.95.驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初值分別取為(-0.2,0.5,0.2)和(0.5,1,-1).數(shù)值仿真,得到系統(tǒng)的同步誤差曲線(如圖6)和未知參數(shù)辨識曲線(如圖7),可以看到隨著時間t→200,誤差趨近0,同時未知參數(shù)的估計值趨向其真實值,驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達到了同步,說明所設(shè)計的同步控制器和未知參數(shù)辨識規(guī)則是有效的.

3　結(jié)論

對具有五次方非線性項的分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的混沌及自適應(yīng)同步進行了研究.分析了該系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性, 并發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)滿足出現(xiàn)雙渦卷混沌吸引子的必要條件.然后研究了在階數(shù)相同和不同的兩種情況下的吸引子以及隨系統(tǒng)階數(shù)變化的分岔情況.并得出了該系統(tǒng)在兩種情況下存在混沌的最小有效維數(shù)分別為2.784和2.793.最后，通過基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論,實現(xiàn)了該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的自適應(yīng)混沌同步.數(shù)值模擬驗證了所設(shè)計的自適應(yīng)控制器和未知參數(shù)的辨識觀測器的有效性.所得結(jié)果為該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)在保密通信中的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)數(shù)據(jù).

1Mandelbort B B. The fractal geometry of nature. New York: W.H. Freeman,1983

2Lorenz E N. Deterministic nonperiodic flow.JournaloftheAtmosphericSciences, 1963, 20(130): 130～141

3Hartley T T, Lorenzo C F, Qammer H K. Chaos on a fractional Chua′s system.IEEETrans.CircuitSystemFundationTheoryApplication, 1995, 42(8): 485～490

4Li C P, Deng W H, Xu D. Chaos synchronization of the Chua system with a fractional order .PhysicaA, 2006,360(2):171～185

5Zhu H, Zhou S B, Zhang J. Chaos and synchronization of the fractional-order Chua′s system.ChaosSolitions&Fractals, 2009,39(4):1595～1603

6廖少鍇, 張衛(wèi).分?jǐn)?shù)階Duffing振子的動力學(xué)研究. 動力學(xué)與控制學(xué)報, 2008, 6 (2): 122～124 (Liao, S.K, Zhang, W. Dynamics of fractional Duffing oscillator.JournalofDynamicsandControl, 2008, 6(2): 122～124 (in Chinese))

7Gao X, Yu J. Chaos in the fractional order periodically forced complex Duffing′s oscillators.ChaosSolitions&Fractals, 2005, 24(4): 1097～1114

8Lu J G, Chen G R. A note on the fractional-order Chen system.ChaosSolitions&Fractals, 2006, 27(3): 685～6889Gejji V D, Bhalekar S. chaos in fractional ordered Liu system.Computers&MathematicswithApplications, 2010, 59(3): 1117～1127

10Pecora L M, Carroll T L. Synchronization in chaotic systems.PhysicalReviewLetter, 1990,64: 821～824

11Yan J J, Chang W D, Hung M L. An adaptive decentralized synchronization of master-slave large-scale systems with unknown signal propagation delays.ChaosSolitons&Fractals, 2006, 29(2): 506～513

12Odibat Z M. Adaptive feedback control and synchronization of non-identical chaotic fractional order systems.NonlinearDynamics, 2010, 60(4): 479～487

13Agrawal S K, Srivastava M, Das S. Synchronization of fractional order chaotic systems using active control method.ChaosSolitons&Fractals, 2012, 45(6): 737～752

14Yu Y G, Zhang S C. Adaptive backstepping control of uncertain Lu system.ChinesePhysics, 2002, 11(12): 1249～125315胡建兵, 韓焱, 趙靈東. 一種新的分?jǐn)?shù)階階系統(tǒng)穩(wěn)定理論及在back-stepping方法同步分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)中的應(yīng)用. 物理學(xué)報, 2009, 58(4): 2235～2239 (Hu J B, Han Y, Zhao, L D. A novel stability theorem for fractional systems and its applying in synchronizing fractional chaotic system based on back-stepping approach.ActaPhysicaSinica, 2009, 58(4): 2235～2239 (in Chinese))

16Genesio R, Tesi A. Harmonic balance methods for the analysis of chaotic dynamics in nonlinear systems.Automatica, 1992,28 (3): 531～548

17Chen M Y, Han Z Z, Shang Y. General synchronization of Genesio-Tesi systems.InternationalJournalBifurcationandChaos, 2004,14(1): 347～354

18Lu J G. Chaotic dynamics and synchronization of fractional-order Genesio-Tesi systems.ChinesePhysics, 2005, 14 (8): 1517～1521

19Faieghi M R, Delavari H. Chaos in fractional-order Genesio-Tesi system and its synchronization.CommunicationsinNonlinearScienceandNumerical.Simulation, 2012, 17(2): 731～741

20Tavazoei M S, Haeri M. A necessary condition for double scroll attractor existence in fractional-order systems.PhysicsLettersA, 2007, 367(1): 102～113

21Zeng C B, Yang Q G, Wang J W. Chaos and mixed synchronization of a new fractional-order system with one saddle and two stable node-foci.NonlinearAnalysis-RealWorld, 2011, 65(4): 457～466

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China (11172224)

? Corresponding author E-mail: hongling@mail.xjtu.edu.cn

27 June 2013,revised 28 February 2014.

CHAOS AND ADAPTIVE SYNCHRONIZATION IN FRACTIONAL-ORDER GENESIO-TESI SYSTEMS*

Liu XiaojunHong Ling?

(StateKeyLaboratoryforStrengthandVibrationofMechanicalStructures,Xi′anJiaotongUniversity,Xi′an710049,China)

The chaos and adaptive synchronization for a fractional-order Genesio-Tesi system with fifth order nonlinearity were investigated. The stability of equilibrium points was studied, and the necessary condition for double-scroll attractor existence in the system was satisfied. The bifurcation and an interior crisis from single-scroll to double-scroll attractors were also found with the variation of derivative order. The minimum effective dimension for the system to remain chaos is 2.784 in commensurate-order case and 2.793 in incommensurate-order case. Furthermore, the adaptive synchronization of the system with uncertain parameters via back-stepping approach was realized by designing appropriated controllers. Numerical simulations were carried out to demonstrate the effectiveness and flexibility for the controllers.

chaos,synchronization,fractional-order systems,bifurcation,adaptive control

E-mail: hongling@mail.xjtu.edu.cn

10.6052/1672-6553-2016-09

2013-06-27收到第1稿,2014-02-28收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項目(11172224)