李曉光，程鵬飛，成英燕

(1.遼寧工程技術(shù)大學，遼寧 阜新　123000；2.中國測繪科學研究院，北京　100830)

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BDS衛(wèi)星精密星歷中不同類型軌道的插值分析

李曉光1，2，程鵬飛2，成英燕2

(1.遼寧工程技術(shù)大學，遼寧 阜新123000；2.中國測繪科學研究院，北京100830)

為了進一步研究使用精密星歷獲取BDS衛(wèi)星精確的、更高采樣率的軌道位置的問題，提出應用拉格朗日和牛頓插值對3類BDS衛(wèi)星軌道進行內(nèi)插的方法，分析了2種內(nèi)插對3類衛(wèi)星的適用性。結(jié)果表明，要想得到最佳收斂效果應用的收斂階數(shù)是不同的，GEO最佳收斂在6～7階，IGSO最佳收斂在8～10階，MEO最佳收斂在10～11階。

BDS；精密星歷；拉格朗日插值；牛頓插值；GEO

0　引言

在北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(BeiDou navigation satellite system，BDS)精密星歷的應用中，正確獲取BDS衛(wèi)星精確的軌道位置是需要解決的基礎(chǔ)問題。衛(wèi)星精密星歷采用sp3格式，其存儲方式為ASCII文本文件，內(nèi)容包括表頭信息以及文件體[1-2]，文件體中每隔15 min給出一個衛(wèi)星的位置[3]，有時還給出衛(wèi)星的速度和鐘差，主要提供衛(wèi)星精確的軌道位置。而BDS接收機的采樣率一般為30 s或者15 s，甚至更密；因此要想利用某一時刻的衛(wèi)星位置，就必須對精密星歷進行高精度的插值。

本文利用武漢大學發(fā)布的2015年第74天廣播星歷采用拉格朗日和牛頓插值方法進行插值，并進行比較分析。

1　Lagrange插值方法原理

L1(xk)=yk,L1(xk+1)=yk+1。

(1)

則其線形插值多項式為

L1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)。

(2)

其中

式(2)稱為Lagrange線形插值基函數(shù)。

同理，相應的Lagrange插值多項式為

(3)

其中

式(3)是n次插值基函數(shù)，滿足條件

(4)

對于n階插值，即有n+1個已知點，是內(nèi)插位于這n+1個點之間的任意位置的函數(shù)值。

拉格朗日多項式插值模型簡單，是經(jīng)典的插值算法；但當精度不夠而需要增加新的插值節(jié)點時，原來的插值多項式包括連續(xù)乘積項都不能使用，必須重新構(gòu)造1個插值多項式。

2　Newton插值方法原理

Newton插值將插值基函數(shù)[4]定義為

(5)

其多項式的系數(shù)是各階均差，定義為：

1)1階均差

(6)

2)2階均差

(7)

3)k階均差

(8)

根據(jù)均差定義，高階均差是低1階均差的均差，因此可以用表 1 中遞推關(guān)系來計算各階均差。

4)Newton均差插值多項式

(9)

從上述定義可以看出：基函數(shù)的系數(shù)就是表1中主對角線元素，于是在實際計算中，可以先將表1列出。當增加節(jié)點時，只需在表的最下面增加1行，右面增加1列高階均差即可，原來計算全部有效。這樣就避免了增減節(jié)點引起插值基函數(shù)的改變，導致整個公式的變化。

表1　Newton各階均差表

3　BDS精密星歷內(nèi)插

本文采用2015年第74天 05∶00∶00至10∶00∶00的3類衛(wèi)星的精密星歷，運用MATLAB[5]對07∶30∶00時刻衛(wèi)星軌道進行2種方法的插值，并對原精密星歷數(shù)據(jù)進行對比。

1)GEO衛(wèi)星。BDS在軌工作衛(wèi)星有5顆地球靜止軌道(geostationary Earth orbit，GEO)衛(wèi)星[6](如表2所示)。選取C01號衛(wèi)星為案例進行插值分析。由于GEO衛(wèi)星是靜止軌道衛(wèi)星，因此這類衛(wèi)星坐標基本不變[7]；但在3個方向也會呈現(xiàn)周期變化如圖1～圖3，取7 d的精密星歷坐標畫出。

表2　C01衛(wèi)星插值結(jié)果　mm

圖1　X方向坐標變化

圖2　Y方向坐標變化

圖3　Z方向坐標變化

由圖1～圖3可以看出GEO衛(wèi)星在X、Y方向上的變化存在1 d和0.5 d周期項，在Z方向上存在1 d周期項，對于它的周期變化可能是由衛(wèi)星機動[8]、太陽光壓等因素造成的。

對于低階插值，2種方法都能夠迅速收斂。對于X、Z方向上的殘差，在6階插值時達到最低的mm級，階數(shù)大于6以后，用增加階數(shù)的方法提高精度不顯著，存在震蕩現(xiàn)象；Y方向上7階達到最低的mm級。在效率方面，由于只解算1組數(shù)據(jù)，耗時都很少，但Newton插值方法要比Lagrange插值方法快2/10。對于大數(shù)據(jù)解算來說，會產(chǎn)生較大時間差。

對于其他GEO衛(wèi)星進行插值都能迅速收斂，最佳收斂階數(shù)大多分布在6～7階。

2)IGSO衛(wèi)星。BDS在軌工作衛(wèi)星有5 顆傾斜地球同步軌道(inclined geo-synchronous orbits，IGSO)衛(wèi)星[6]。選取C06號衛(wèi)星為案例進行插值分析，如表3所示。

對于IGSO衛(wèi)星，2種插值也能迅速收斂，但較GEO衛(wèi)星來說相對慢些：Y、Z坐標方向上在8階插值時達到最佳插值效果；而X方向收斂較慢，在10階插值時達到最佳插值效果。在計算效率上，Newton插值方法比Lagrange插值方法節(jié)約了大約1/3的時間。

對于其他IGSO衛(wèi)星，通過計算得知最佳收斂階數(shù)大多分布在8～10階。

3)MEO衛(wèi)星。BDS在軌工作衛(wèi)星有4 顆中圓地球軌道(medium Earth orbit，MEO)衛(wèi)星[6]。選取C11號衛(wèi)星為案例進行插值分析，如表4所示。

表3　C06衛(wèi)星插值結(jié)果　mm

表4　C11衛(wèi)星插值結(jié)果　mm

MEO衛(wèi)星是3類衛(wèi)星中收斂速度最慢的衛(wèi)星。3個方向最佳收斂階數(shù)產(chǎn)生較大差異，X方向在11階達到最佳，Y方向在10階達到最佳，而Z方向收斂較快，在8階達到最佳。階數(shù)的增加對效果沒有產(chǎn)生更好的提高，多在mm級震蕩。MEO衛(wèi)星和GPS衛(wèi)星軌道相近，但與眾多關(guān)于GPS衛(wèi)星軌道插值的文獻比較發(fā)現(xiàn)[9-11]，GPS衛(wèi)星軌道插值最優(yōu)收斂階在8～9階。在計算效率上，Newton插值方法更節(jié)約時間。

其他MEO衛(wèi)星收斂較慢，最佳收斂階數(shù)在10～11階，高階后產(chǎn)生震蕩。

4　結(jié)束語

通過利用2種插值方法對3類BDS衛(wèi)星精密星歷進行內(nèi)插，數(shù)據(jù)結(jié)果分析得出如下結(jié)論：

1)對BDS精密星歷進行內(nèi)插，充分利用待插節(jié)點前后的數(shù)據(jù)信息能夠充分體現(xiàn)待插節(jié)點附近衛(wèi)星運動的基本規(guī)律，插值精度較高。

2)BDS不同類型軌道的衛(wèi)星要達到最優(yōu)收斂效果，應用的內(nèi)插階數(shù)不同。GEO衛(wèi)星收斂最快，最佳收斂階數(shù)大多分布在6～7階；IGSO衛(wèi)星收斂較慢，最佳收斂階數(shù)大多分布在8～10階；MEO衛(wèi)星收斂最慢，最佳收斂階數(shù)在10～11階。Lagrange方法隨著插值階數(shù)的增大，舍入誤差會造成龍格現(xiàn)象的出現(xiàn)。因此插值階數(shù)越高，插值效果不一定更好。

3)對于2種插值方法，從插值精度上來說2者插值效果幾乎一樣；在編程實現(xiàn)上，Lagrange插值方法原理簡單易懂，更易于編程；從運算效率上來說Newton插值方法更節(jié)約時間，對于大數(shù)據(jù)計算而言，建議采用Newton插值方法，這樣也避免了龍格現(xiàn)象。

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Analysis on BDS satellite precise ephemeris interpolation in different orbits

LI Xiaoguang1，2，CHENG Pengfei2，CHENG Yingyan2

(1.School of Geomatics，Liaoning Technical University，F(xiàn)uxin，Liaoning 123000，China；2.Chinese Academy of Surveying and Mapping，Beijing 100830，China)

In order to further study on using BDS satellite ephemeris to obtain accurate orbital position with higher sampling rate，the paper used Lagrange and Newton interpolation to interpolate three types of BDS satellite orbits in this paper，and analyzed the feasibility of the two algorithms on the three types of satellites.Result showed that for getting the best effect of convergence，the convergence orders used with the satellites should be different，as the GEO optimal convergence in order 6～7，IGSO in 8～10，and MEO in 10～11 orders.

BDS；precise ephemeris；Lagrange interpolation；Newton interpolation；GEO

2016-04-21

國家自然科學基金項目(41374014)；中國測繪科學研究院基本科研業(yè)務費支持項目(7771405)。

李曉光(1991—)，男，山東濱州人，研究研究生，研究方向為北斗雙差等科研和應用。

10.16547/j.cnki.10-1096.20160307.

P228

A

2095-4999(2016)03-0031-04

引文格式：李曉光，程鵬飛，成英燕.BDS衛(wèi)星精密星歷中不同類型軌道的插值分析[J].導航定位學報，2016，4(3)：31-34.(LI Xiaoguang，CHENG Pengfei，CHENG Yingyan.Analysis on BDS satellite precise ephemeris interpolation in different orbits[J].Journal of Navigation and Positioning，2016，4(3)：31-34.)