李海燕，王　彥，晏祥高，張夢(mèng)晨，黃亞群

(云南大學(xué)　信息學(xué)院，昆明　650091)

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平板折疊桌的設(shè)計(jì)參數(shù)模型分析

李海燕，王彥，晏祥高，張夢(mèng)晨，黃亞群

(云南大學(xué)信息學(xué)院，昆明650091)

論文建立模型求解創(chuàng)意平板折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程以及設(shè)計(jì)加工參數(shù)。首先，利用平面幾何的知識(shí)求出不同位置木棒可轉(zhuǎn)動(dòng)部分和不可轉(zhuǎn)動(dòng)部分的長(zhǎng)度；其次，建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用立體幾何分析的方法表示出每一根木棒兩端點(diǎn)的坐標(biāo)；然后，選擇平板狀態(tài)以及轉(zhuǎn)動(dòng)最終結(jié)束狀態(tài)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，利用距離公式求出卡槽的長(zhǎng)度；最后，用空間直角坐標(biāo)系表示出木棒末端的坐標(biāo)及木棒末端與地面的夾角，利用三維空間曲線擬合求出桌角邊緣線，并通過(guò)夾角與桌角邊緣線描述折疊桌運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程。

折疊桌參數(shù)；立體幾何分析；曲線擬合；Matlab 軟件；全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

創(chuàng)意平板折疊桌的桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。

給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120 cm×50 cm×3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。本文試建立模型描述該折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，并給出該折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。

1　創(chuàng)意平板折疊桌參數(shù)求解

1.1轉(zhuǎn)動(dòng)與非轉(zhuǎn)動(dòng)部分長(zhǎng)度

長(zhǎng)方形木板寬度為50 cm，每根木條寬2.5 cm。假設(shè)木棒與木棒之間沒(méi)有間隙，可以得出桌板每一側(cè)存在20根木棒。由于兩側(cè)是對(duì)稱的，所以我們僅研究一側(cè)的情況，每一側(cè)關(guān)于寬度中線對(duì)稱，故僅研究1/4側(cè)的數(shù)據(jù)[1-2]，即10根木棒，如圖1所示。

圖1　折疊桌支撐木棍平面圖

根據(jù)圓形的半徑及勾股定理，列出方程：

li=60-ri

式中：桌面半徑R為50 cm；ri和li分別表示支撐木棍不可移動(dòng)及可移動(dòng)部分長(zhǎng)度。求解結(jié)果如表1所示。

表1　支撐木棍不可移動(dòng)及可移動(dòng)部分長(zhǎng)度

1.2木條開(kāi)槽長(zhǎng)度

如圖2所示，建立空間直角坐標(biāo)系：以兩條鋼筋所在的平面為XY平面，X軸在兩條鋼筋中點(diǎn)連線上，Y軸平行于兩條鋼筋且到兩條鋼筋之間的距

離相等，Z軸垂直于XY平面，且穿過(guò)桌面的圓心，PiQi為木棒頂端到卡槽最低端的距離，θi是木棒與XY平面的夾角[3-4]。

圖2　折疊桌平面坐標(biāo)系

設(shè)O(x，y，z)=(0，0，0)，點(diǎn)P坐標(biāo)中x與上文r長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)相同，y坐標(biāo)可以用1.25(2i-1)確定，z=25。同理，點(diǎn)Q坐標(biāo)x不變，y隨P變化，z=0。根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式有：

(1)

開(kāi)槽長(zhǎng)度ki=PiQi+ri-30，利用Matlab可以算出所有卡槽長(zhǎng)度ki[5]，如表2所示。

表2　折疊桌開(kāi)槽長(zhǎng)度

1.3木棒與地面夾角及動(dòng)態(tài)描述

表3　木棒與XY平面的夾角

從以上數(shù)據(jù)可以看出，在變化過(guò)程中，木棒越短，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)過(guò)的角度越大，同時(shí)鋼筋在木條卡槽內(nèi)移動(dòng)的距離越大，移動(dòng)的角速度也越快。平板折疊桌開(kāi)始時(shí)與地面所成角度為0，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)即鋼筋到達(dá)木棒卡槽最低端，木棒轉(zhuǎn)到自身可達(dá)到的最大角。

2　桌角邊緣線數(shù)學(xué)描述

桌角邊緣線上單個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程可以描述為：當(dāng)桌子被折疊后，某一桌腿與地面呈一定夾角θ[6-7]。地面水平，過(guò)木條與桌面的接觸點(diǎn)作垂直于地面的垂線h。根據(jù)勾股定理可得：

過(guò)木條與鋼筋的連接點(diǎn)作垂直于地面的垂線h′，與地面構(gòu)成一個(gè)直角三角形；木條與h和地面構(gòu)成另外一個(gè)直角三角形。兩個(gè)三角形相似，則有：

該桌腳邊緣線的方程表達(dá)式為：

求出一側(cè)的20個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：zi=(li-PiQi)sinθi，y坐標(biāo)每次增加2.5，xi=15.3-(li-PiQi)cosθi，求出最后狀態(tài)木條末端坐標(biāo)見(jiàn)表4。

利用1stOPT進(jìn)行擬合，得到擬合方程為：

z=1.385-4.383x+0.777x2-0.057x3+

0.002x4-0.027y2

(5)

利用Matlab畫(huà)出三維圖像，如圖3所示。

表4　折疊桌穩(wěn)定時(shí)木條末端坐標(biāo)

圖3　桌角邊緣線

3　結(jié)束語(yǔ)

文中建立模型求解創(chuàng)意平板折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程以及設(shè)計(jì)加工參數(shù)，包括不同位置木棒可轉(zhuǎn)動(dòng)部分和不可轉(zhuǎn)動(dòng)部分的長(zhǎng)度，每一根木棒兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，卡槽的長(zhǎng)度和三維空間曲線。文中建立的平面直角坐標(biāo)系模型能從數(shù)學(xué)的角度解決問(wèn)題，容易完成構(gòu)建，不但將問(wèn)題簡(jiǎn)單化，而且使計(jì)算方便。但是在平板折疊桌設(shè)計(jì)參數(shù)模型的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的求解過(guò)程中，沒(méi)有充分考慮到未知桌子高度和半徑的情形?？臻g直角坐標(biāo)系模型很容易計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)以及數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離等參數(shù)，但卻很難反映數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，脫離開(kāi)三維空間使用時(shí)優(yōu)勢(shì)不明顯。這些問(wèn)題將在后續(xù)研究中解決。

[1]韓中庚. 數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用[M]. 北京：高等教育出版社，2005.

[2]楊啟帆. 數(shù)學(xué)建模[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[3]曹弋. Matlab教程及實(shí)訓(xùn)[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008.

[4]張志涌，楊祖櫻. Matlab教程R2008a[M]. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2010.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[6]陳錦昌，劉桂雄，梁利東.自由曲面造型中曲面信息的表示與分析[J].華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2002，(30)4：26-28.

[7]秦榮. 計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2001.

Analysis on Parameter Model of a Flat Folding Table

LI Haiyan，WANG Yan，YAN Xianggao，ZHANG Mengchen，HUANG Yaqun

(School of Information Science and Engineering，Yunnan University，Kunming 650091，China)

A mathematical model is established to solve the dynamic change process and parameter design of a creative flat folding table. Firstly，the length of the rotated part and un-rotated part of the table stick is computed based on plane geometry. Then a space rectangular coordinate system is built to represent the coordinate points of the two ends of each stick by using the method of three-dimensional geometric analysis. Thereafter，the flat state and the final rotation state are analyzed to calculate the length of slot. Finally，the coordinate of the stick end and the angle between the stick end and the ground are represented by the space rectangular system. The corner of the table edge is drawn by using three-dimensional space curve fitting. Therefore，the dynamic process of the folding table is described by using angle and the table edge line.

folding table parameter; three dimensional geometry analysis; curve fitting; Matlab software; contemporary undergraduate mathematical contest in modeling

2015-01-15；修改日期:2015-07-04

云南大學(xué)教改基金資助。

李海燕(1976-)，女，博士，副教授，主要從事人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方面的研究。

O242.1

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2016.01.015