詹英杰， 唐懷平， 童少偉

(西南交通大學(xué)， 四川成都 610031)

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某連續(xù)梁地震響應(yīng)分析

詹英杰， 唐懷平， 童少偉

(西南交通大學(xué)， 四川成都 610031)

選擇某連續(xù)梁，采用有限元軟件建立相應(yīng)模型，并選擇汶川地震波作為荷載進(jìn)行加載計(jì)算。作者分析了該連續(xù)梁跨中點(diǎn)的應(yīng)力、撓度時(shí)程響應(yīng)及根部的應(yīng)力時(shí)程響應(yīng);采用功率譜密度函數(shù)分析了地震波頻域特性，根據(jù)功率譜密度函數(shù)頻域特性分析，重新計(jì)算了模型在固有頻率接近地震功率譜密度峰值處情況下的響應(yīng)。

地震；連續(xù)梁；響應(yīng)；應(yīng)力；荷載；功率譜密度

地震對(duì)土木結(jié)構(gòu)的破壞作用巨大，汶川“5·12”大地震中，無(wú)數(shù)的房屋、橋梁、道路被毀；人身財(cái)產(chǎn)安全在地震中也受到了巨大的威脅。近年來(lái)，結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)也越來(lái)越成為人們關(guān)心的問(wèn)題?；诖?，筆者對(duì)我國(guó)某連續(xù)梁進(jìn)行了抗震驗(yàn)算，分析了結(jié)構(gòu)固有特性、地震荷載特性與結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的相互影響。

1　模型概要

1.1連續(xù)梁模型

選擇一我國(guó)高速鐵路線上的連續(xù)梁作為計(jì)算模型，采用有限元計(jì)算軟件進(jìn)行數(shù)值模擬。該連續(xù)梁模型整體采用C50號(hào)混凝土材料，跨度為40+64+40 m，模型見(jiàn)圖1。

材料參數(shù)為：

彈性模量：E=3.55E10 MPa

密度：ρ=2 600 kg/m3

泊松比：μ=0.3

圖1　計(jì)算模型

軟件中采用solid45空間實(shí)體單元對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分；底面采用兩方向位移約束；端部一邊采用三方向位移約束，另一邊采用兩方向位移約束。

1.2地震荷載

筆者選擇了汶川地震波作為該橋的驗(yàn)算地震波。由于汶川地震強(qiáng)度大、持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)。本文僅選擇其8 s時(shí)間的波(圖2)作為本次計(jì)算荷載；選定波的峰值加速度為2.28 m/s2；離散荷載共計(jì)400步，每個(gè)荷載步持續(xù)時(shí)間為0.02 s，其值遠(yuǎn)低于結(jié)構(gòu)固有第一階頻率0.27 s，因此可選擇作為驗(yàn)算荷載。

圖2　地震波荷載

2　模型計(jì)算

根據(jù)選定的模型以及相應(yīng)的荷載，即可在通用有限元軟件中進(jìn)行計(jì)算；計(jì)算采用瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)方法進(jìn)行。瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法存在一定缺陷，如：計(jì)算量大，對(duì)計(jì)算機(jī)的性能要求較高；需要的存儲(chǔ)容量高，對(duì)計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)容量要求較高。但是，現(xiàn)今計(jì)算機(jī)性能日益提升，瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)方法的優(yōu)點(diǎn)也日益體現(xiàn)，例如計(jì)算處理器性能的提升，對(duì)計(jì)算大型矩陣將不存在困難，存儲(chǔ)容量的加大，使得數(shù)據(jù)存儲(chǔ)不存在困難，并且，瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)計(jì)算是基于時(shí)間域的計(jì)算，其結(jié)果有直觀的物理意義，可以很好的被人們接受。

為了解結(jié)構(gòu)在該荷載作用的響應(yīng)以及對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，筆者重點(diǎn)選擇了幾個(gè)關(guān)鍵截面上的響應(yīng)作為分析對(duì)象：跨中截面應(yīng)力和撓度響應(yīng)、根部截面的應(yīng)力響應(yīng)，其分析結(jié)果見(jiàn)圖3～圖6。

圖3　跨中正應(yīng)力時(shí)程曲線

圖4　跨中撓度時(shí)程曲線

圖5　根部正應(yīng)力時(shí)程曲線

圖6　根部剪應(yīng)力時(shí)程曲線

通過(guò)處理后，該結(jié)構(gòu)根部剪應(yīng)力最大值為32 881.9 Pa，正應(yīng)力最大值為1.953 MPa；跨中正應(yīng)力最大值為2.375 MPa，撓度最大值為0.0078 m，總結(jié)發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)應(yīng)力均未超過(guò)C50混凝土的強(qiáng)度限值；撓度也小于相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中的L/400的規(guī)定。筆者認(rèn)為，從該橋整體上的響應(yīng)分析，可初步判斷結(jié)構(gòu)可以抵抗該地震荷載的作用。

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的常識(shí)，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)取決于荷載的大小、荷載的形式以及結(jié)構(gòu)本身的形式以及相應(yīng)的結(jié)構(gòu)特性，為驗(yàn)證結(jié)構(gòu)響應(yīng)同荷載類(lèi)型的相關(guān)性，筆者繼續(xù)通過(guò)功率譜密度函數(shù)分析的方式，分析了荷載特性與結(jié)構(gòu)特性之間的聯(lián)系對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。

3　功率譜密度函數(shù)分析

3.1功率譜密度函數(shù)理論

譜分析是研究振動(dòng)的一個(gè)重要手段。根據(jù)傅里葉分析，任何一個(gè)周期T的周期運(yùn)動(dòng)x(t)都可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)：

(1)

(2)

上式的物理意義：任何形式的周期運(yùn)動(dòng)可以看成是基頻(ω)和一系列的泛諧振的疊加。

對(duì)于任何非周期運(yùn)動(dòng)的時(shí)間函數(shù)x(t)，不能把它展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，而只能將其寫(xiě)成傅里葉積分，假設(shè)。

(3)

則：

(4)

(5)

即非周期運(yùn)動(dòng)的頻率譜是連續(xù)譜。

對(duì)于隨機(jī)過(guò)程，自然可以推測(cè)其頻率譜也是連續(xù)譜。然而：

(1)有些隨機(jī)過(guò)程x(t)有可能是隨時(shí)間t而無(wú)限連續(xù)下去，即x(t)在任何時(shí)刻都具有有限值，如理想白噪聲，此時(shí)條件式(3)不成立，即將x(t)表示成傅里葉積分不成立。

(2)有些運(yùn)動(dòng)或過(guò)程，它們有隨機(jī)性，但又不是完全的隨機(jī)，而是有一定的規(guī)律(色噪聲，如粉紅噪聲)。

因此，對(duì)于一般的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)不能利用傅里葉變換求出其振幅-頻率譜，有的即便可以求出，但不能反映出運(yùn)動(dòng)的某些特性。

繼而，定義自相關(guān)函數(shù)(離散卷積)，x(t)的自相關(guān)函數(shù)C(τ)的定義是：

(6)

式中的τ是時(shí)間的移動(dòng)值。這樣，C(τ)的值表示兩時(shí)刻(t和t+τ)運(yùn)動(dòng)或隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)聯(lián)程度：當(dāng)x(t)幅值一定時(shí)，C(τ)越大，則意味著x(t+τ)與x(t)越相似；又τ越小時(shí)，x(t+τ)與x(t)越相似，從而C(τ)值越大。反之，τ越大時(shí)x(t+τ)與x(t)差別可能越來(lái)越大。最后兩者完全無(wú)關(guān)而C(τ)趨于0。

自相關(guān)函數(shù)存在以下性質(zhì)：

其一：C(τ)是實(shí)偶函數(shù)，即:

因?yàn)椋?/p>

上面第二式是由代換λ=t-τ得到，第三式是考慮到由于積分上下限同時(shí)改變?chǔ)佣e分時(shí)間間隔T不變，當(dāng)T→∞時(shí)，這樣改變不引起結(jié)果變化；

其二：C(0)是C(τ)的最大值，因?yàn)椋?/p>

所以，C(0)≥|C(τ)|；

其三:C(0)等于x(t)的均方根值。

其四:對(duì)于周期運(yùn)動(dòng)，x(t)是周期函數(shù)，則C(τ)也是周期函數(shù)。此時(shí)，C(τ)不僅在τ=0處取極大值，在nT處(T為周期)都會(huì)出現(xiàn)極大值；

其五：在某些情況下，運(yùn)動(dòng)并不是規(guī)則的，但也不是完全隨機(jī)的。設(shè)，如果x(t)包含隨機(jī)過(guò)程s(t)和規(guī)則運(yùn)動(dòng)部分r(t)兩部分：

則，x(t)的自相關(guān)函數(shù)等于這兩部分各自自相關(guān)函數(shù)之和：

依據(jù)上述性質(zhì)，我們可以用自相關(guān)函數(shù)分析隨機(jī)過(guò)程中的確定信號(hào)或者隨機(jī)特征。

為表示運(yùn)動(dòng)的頻譜特性，可以對(duì)自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換：

C(τ)的傅里葉變換S(ω)即可用來(lái)描述運(yùn)動(dòng)的頻譜特征，S(ω)又稱(chēng)為功率譜密度函數(shù)。

可見(jiàn)，功率譜密度函數(shù)S(ω)在頻域中反映了荷載的分布情況，對(duì)于隨機(jī)的地震荷載信號(hào)，其也存在一定的頻域荷載峰值，通過(guò)功率譜密度函數(shù)的分析，可以了解該荷載在哪個(gè)頻率下，對(duì)結(jié)構(gòu)的作用最大。

3.2地震波的功率譜密度函數(shù)分析

筆者對(duì)所選用的地震荷載譜進(jìn)行了功率譜密度函數(shù)分析，得到了頻域下的功率譜密度函數(shù)分布(圖7)。

通過(guò)對(duì)上述的功率譜密度圖形分析，可知，選定的地震波對(duì)頻率較低的區(qū)域作用小，當(dāng)頻率f<2時(shí)，PSD值基本在0附近；對(duì)2.53.5的范圍內(nèi)，PSD值又較小。

圖7　功率譜密度

4　基于功率譜分析下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算

筆者基于對(duì)選定的地震波的功率譜密度分析結(jié)果，對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行了小幅度修改，并重新進(jìn)行了計(jì)算。

4.1結(jié)構(gòu)模態(tài)分析

筆者采用BlockLanczos方法對(duì)連續(xù)梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了兩組模態(tài)分析，第一組采用標(biāo)準(zhǔn)C50混凝土材料參數(shù)進(jìn)行網(wǎng)格劃分；第二組將混凝土的彈性模量E改成3.06MPa，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖8、圖9。

圖8　標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)下結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)

圖9　修改參數(shù)后結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)

其中，圖8為結(jié)構(gòu)材料為標(biāo)準(zhǔn)C50材料參數(shù)下的結(jié)構(gòu)第一階縱向彎曲模態(tài)。從截圖可知，結(jié)構(gòu)第一階縱向彎曲固有頻率為3.769Hz；圖9為結(jié)構(gòu)材料為修改彈性模量E為3.06MPa后，結(jié)構(gòu)第一階縱向彎曲模態(tài)，從截圖可知，結(jié)構(gòu)第一階縱向彎曲固有頻率為3.5Hz。

通過(guò)前文的功率譜密度分析可知，修改參數(shù)后結(jié)構(gòu)的第一階縱向彎曲固有頻率剛好與功率譜密度中的一個(gè)峰值重合。

4.2參數(shù)修改后結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析

基于前一步對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)的分析，筆者繼續(xù)對(duì)該修改了材料參數(shù)的模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)地震作用下的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，并提取了同第二步中一致的關(guān)鍵截面響應(yīng)數(shù)據(jù)，見(jiàn)圖10～圖13。

圖10　跨中正應(yīng)力時(shí)程曲線

圖11　跨中撓度時(shí)程曲線

圖12　根部正應(yīng)力時(shí)程曲線

圖13　根部剪應(yīng)力時(shí)程曲線

通過(guò)處理后，提取響應(yīng)參數(shù)的最大值，并同原始計(jì)算模型的結(jié)果進(jìn)行比較分析，可將結(jié)果匯總成一個(gè)表格(表1)。

表1　不同材料參數(shù)下的結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)值

從表1的計(jì)算結(jié)果可知，結(jié)構(gòu)在彈性模量E改變13.8 %的情況下，該連續(xù)梁結(jié)構(gòu)承受同樣地震荷載時(shí)，結(jié)構(gòu)關(guān)鍵截面的響應(yīng)大幅度提高，其中根部正應(yīng)力提高幅度達(dá)到68.9 %，其他選定的響應(yīng)值提高幅度均超過(guò)50 %。

從結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的角度看，這種放大作用是由于結(jié)構(gòu)荷載特征周期和結(jié)構(gòu)的固有頻率之間存在共振的情況，共振現(xiàn)象在一般的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)都是應(yīng)該盡力避免的。

5　結(jié)論

本文以數(shù)值模擬與理論分析相結(jié)合的方式，對(duì)我國(guó)某高速鐵路線連續(xù)梁模型進(jìn)行了地震荷載作用下的結(jié)構(gòu)瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，得到了一些有參考意義的結(jié)論。

(1)通過(guò)結(jié)構(gòu)地震荷載作用下的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，可以獲得結(jié)構(gòu)時(shí)域響應(yīng)信息，可通過(guò)對(duì)時(shí)域響應(yīng)信息的清晰判斷來(lái)評(píng)估結(jié)構(gòu)的安全性，可作為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參考。

(2)通過(guò)對(duì)地震波荷載離散形式下的功率譜密度函數(shù)分析，得到了頻域下地震波的功率譜密度分布情況，并結(jié)合結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析，計(jì)算了模態(tài)頻率和功率譜密度函數(shù)峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率接近情況下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，結(jié)合原始計(jì)算響應(yīng)，筆者發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率和功率譜密度函數(shù)峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率接近時(shí)，結(jié)構(gòu)關(guān)鍵截面的動(dòng)力響應(yīng)明顯的增大了。

(3)通過(guò)上述分析，筆者認(rèn)為，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，設(shè)計(jì)師還應(yīng)該考察當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)情況，盡可能的了解當(dāng)?shù)氐牡卣鹱吭街芷?，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，結(jié)構(gòu)低階頻率要盡可能避開(kāi)當(dāng)?shù)氐牡卣鹱吭街芷凇?/p>

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[定稿日期]2016-03-07