☉河北省任丘市第一中學(xué) 鄧滿囤

一道階段考試題解法探究及教學(xué)反思

☉河北省任丘市第一中學(xué) 鄧滿囤

前期本校階段考試的最后一道選擇題，答對(duì)率很低，引起了筆者的深入思考.學(xué)生在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中，或者一頭霧水沒有思路，或者思路受阻時(shí)不知如何調(diào)整到正確的軌道上來.關(guān)鍵是學(xué)生對(duì)題目信息不知如何整合與轉(zhuǎn)換，教師在解題教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生“思維辨析”，由點(diǎn)及面，由面及體的良性循環(huán).下面就本校一道考試題為例，簡(jiǎn)要分析，與各位同仁分享.

一、題目展示

二、思維視角

視角1：估算思想，特殊化方法

估算是以正確的算理和對(duì)所研究的問題的特征已深刻理解為前提，通過大致估值、合理猜測(cè)或特值引路等手段，進(jìn)行粗略、近似的計(jì)算而得到正確結(jié)果的解題手段.在數(shù)學(xué)解題中滲透估算意識(shí)，能有效地避開以往“小題大作、費(fèi)時(shí)費(fèi)力”的邏輯推理過程，達(dá)到了簡(jiǎn)捷、快速、合理、準(zhǔn)確的解題目的，恰到好處地符合了近年高考命題提倡的“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”的精神.更確切地說，估算是一種數(shù)學(xué)思維方法，也是一種求簡(jiǎn)策略.

高考數(shù)學(xué)選擇題主要考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的理解程度、基本技能的掌握情況、基本運(yùn)算的合理性.學(xué)生考慮問題要全面、迅速獲得問題結(jié)論，注重在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)問題，體現(xiàn)各種數(shù)學(xué)思想和方法.所以，求解選擇題的常用方法是：敏銳地觀察用題目的條件和選項(xiàng)方面的特征，提取有效信息，綜合、判定，利用特殊化與一般化思想、正向思維與逆向思維辯證處理，或從問題成立的必要條件出發(fā)，排除不可能的選項(xiàng)，先排除后再求解，獲得簡(jiǎn)捷有效的解題途徑.

思考1：（2000年高考題）過拋物線y=ax（2a＞0）的焦點(diǎn)F，作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若PF=p，QF=q，則+=（）.

圖1

圖2

解析：由選項(xiàng)特征，結(jié)果是與直線斜率無(wú)關(guān)的定值，不管直線如何運(yùn)動(dòng)，+是定值，于是取斜率為0的直線，由拋物線的定義，知p=q=，易得答案D.

還可以從極限原理出發(fā)，思考直線的極限位置，當(dāng)直線的傾斜角無(wú)限接近直角時(shí)，y軸是它的極限位置，所以=4a，=0.

視角2：構(gòu)造思想，不等式法

當(dāng)從問題的條件得到結(jié)論的一般性方法直接推導(dǎo)遇到困難，甚至不能可解決時(shí)，通過觀察、聯(lián)想、整合、重組、變換等構(gòu)建一個(gè)熟悉的關(guān)系，使抽象的問題顯性化，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，從而把問題解決，這種方法稱為構(gòu)造性解題方法.利用平均值不等式求最值是最干脆利索而且應(yīng)用十分廣泛的一種方法，但許多最值問題并不能直接地使用基本不等式，必須合理折項(xiàng)、添項(xiàng)或配湊變形，創(chuàng)造應(yīng)用平均值不等式的環(huán)境.其中有些最值問題是變量較多的多元最值問題.通常先用平均值基本不等式進(jìn)行合理放縮減元，最后得到定值，然后檢驗(yàn)等號(hào)能否取得.本題屬于二元最值問題.

A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1

解析：由M（cosθ，sinθ）的特征，構(gòu)造圓x2+y2=1，由題意圓心（0，0）到直線bx+ay-ab=0的距離不大于半徑1，即≤1，平方得，故選D.

視角3：降維思想，消元法

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，經(jīng)常碰到多元問題，利用已知條件通過消元方法，降低為一元問題，達(dá)到把多元復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題的目的.它是實(shí)施化歸思想的重要方式和手段，在幫助學(xué)生解決函數(shù)與方程、最值與范圍等問題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用.本題屬于將二維問題轉(zhuǎn)化為一維問題.

思考3：已知a2+8b2=kb（a+b）對(duì)所有實(shí)數(shù)a，b總成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解析：除參數(shù)k外，仍有兩個(gè)變?cè)?，考慮到等式是關(guān)于a，b的齊次結(jié)構(gòu)，變?yōu)橐辉獑栴}處理，當(dāng)b=0時(shí)，顯然不是恒等式，于是）2+8=k+1），令=t，問題就轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程t2-kt+8-k=0有解的問題，由Δ= k2-4（8-k）≥0，解得-8≤k≤4.

視角4：轉(zhuǎn)化思想，換元法

換元法在解高考試題中有非常廣泛的應(yīng)用，根據(jù)題設(shè)條件，進(jìn)行合理的代換，可以使字母之間的關(guān)系更清楚，還可以改變研究式的結(jié)構(gòu)特征，為綜合運(yùn)用其他方法和有關(guān)知識(shí)創(chuàng)造條件.因此，常能起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用.

思考4：（2013年高考題）已知函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，求f（x）的最大值.

解析：利用對(duì)稱，f（-1）=f（-3），f（1）=f（-5），得到a= 8，b=15，f（x）=（1-x）（1+x）（x+3）（x+5），f（x）=［（x+2）2-1］· ［9-（x+2）2］，以x+2為基本量換元，令（x+2）2=t，則y=（t-1）· （9-t）=16-（t-5）2，故最大值為16.

視角5：對(duì)稱思想，變換法

對(duì)稱是普遍的自然現(xiàn)象，它代表了簡(jiǎn)單、和諧，給人以美的享受.對(duì)稱問題在數(shù)學(xué)中大量存在，如圖像的對(duì)稱性、代數(shù)式結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性、思維方式的對(duì)稱等.對(duì)稱是人們思考問題的一種方式，給人以思想的啟迪，給人以美的享受.

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“從一般意義上講，對(duì)稱對(duì)于我們探索怎樣解題是很重要的，如果題目具有某方面的對(duì)稱性，我們常常能得益于注意到可以互換的部分，而且，常常值得我們用同樣的方式來處理那些起相同作用的部分.”可見，對(duì)稱是一種思考問題的方式與策略.

A.90度 B.60度 C.45度 D.30度

分析：由題設(shè)，a，b互換，同時(shí)A，B互換，等式不變，利用對(duì)稱美，必有A=B，原等式轉(zhuǎn)化為，即sinC=1，A=B=，可以迅速獲取答案C.

三、問題推廣

四、教學(xué)反思

1.揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重基本方法的落實(shí)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)探究，探究解決問題的基本方法，就本題而言，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，由已知條件，化二元為一元化，就是通法.利用不等式求最值，也是最常見的方法之一，巧妙使用不等式能使問題的解決干脆利索.小題小做是智慧的象征，是辯證法的勝利.換元法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一，在百思不解時(shí)，可能是一劑靈丹妙藥，讓你有柳暗花明又一村之感.如1993年數(shù)學(xué)競(jìng)賽題：已知x，y是實(shí)數(shù)，4x2-5xy+4y2=5，S=x2+y2，求S最大值與最小值的倒數(shù)之和，可以考慮換元法，令，轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)式的最值問題.

2.精選習(xí)題，提煉方法

教師在平時(shí)教學(xué)中，注重習(xí)題的典型性、可探究性和可創(chuàng)造性.在習(xí)題分析過程中，教師要學(xué)會(huì)“示弱”，給學(xué)生充分的時(shí)空思考，發(fā)表自己的見解，允許他們犯錯(cuò)誤，同時(shí)也要發(fā)揮教師的“主導(dǎo)作用”，不憤不啟，不悱不發(fā)，達(dá)成解決問題的方法后，教師要加以總結(jié)，提煉解決問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，以深化理性認(rèn)識(shí)，比如，消元法、換元法等.在解題教學(xué)中，常重視技巧的訓(xùn)練，缺失思想的引領(lǐng)，如何溝通已知與未知之間的聯(lián)系，其本質(zhì)是利用一切手段，轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單問題.如2011年江蘇卷理第13題：設(shè)1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________.本題敘述簡(jiǎn)單，內(nèi)容繁雜，若陷入微觀思考，不易解決.抓住必要條件a6≤a7，由題意，a6=a2+2， a7=q3，且a2≥1，所以q3≥a2+2≥3，即q≥，此時(shí)1≤適合題意，所以q的最小值是

在教學(xué)中要重視對(duì)思維過程的分析，特別是考試過程中學(xué)生暴露出的問題，應(yīng)結(jié)合課堂教學(xué)深入分析，分析問題形成的原因，分析教學(xué)中存在的問題，不要只是追求題量，更重要的是對(duì)所做習(xí)題的深入思考，滲透習(xí)題求解過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.要知道，慢下來才會(huì)有“風(fēng)景”.

3.滲透美學(xué)教育，引入哲學(xué)思考

數(shù)學(xué)家們把歐拉公式eiπ+1=0視為最優(yōu)美的公式，美在哪里？我們知道數(shù)學(xué)中有五個(gè)最有代表性的數(shù)1，0，i，π，e，其中，1”、“0”代表算術(shù)，i代表代數(shù)，π代表幾何，e代表分析.這五個(gè)數(shù)被歐拉用兩個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)統(tǒng)一在一個(gè)等式中，確實(shí)美妙之至.在推導(dǎo)橢圓方程的過程中，為了美化方程，令a2-c2=b2，使方程更加整齊、對(duì)稱與和諧.觀察等式ab=4與式子的特點(diǎn)，等式中a，b對(duì)稱，但“和式”不對(duì)稱，利用轉(zhuǎn)化思想，作一變換，令a=9c，可得，使變形后的式子美觀且對(duì)稱.追求美是人類的天性.追求自然、和諧、對(duì)稱、簡(jiǎn)捷、奇異等是學(xué)生價(jià)值取向，感悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所蘊(yùn)含的美學(xué)意義、美學(xué)情趣與美學(xué)精神，一定會(huì)使他們?cè)趯?duì)數(shù)學(xué)美的賞析中，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂.

1.陸賢彬，朱占奎.聯(lián)系 拓展 創(chuàng)新——高考模擬試卷評(píng)講的一種嘗試［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2012（5）.

2.趙善華.高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的探究與創(chuàng)新［J］.數(shù)學(xué)通訊（下），2013（11）.

3.王新宏.探究特殊與一般思想在高考中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（2）.