趙　強(qiáng)（西安交通大學(xué)理學(xué)院，陜西西安 710049）

教學(xué)經(jīng)驗(yàn)交流

略論電偶極線

趙強(qiáng)
（西安交通大學(xué)理學(xué)院，陜西西安 710049）

本文首先仿照電偶極子模型的定義給出了電偶極線模型的定義，然后導(dǎo)出了電偶極線的電勢(shì)公式和電場(chǎng)公式，最后利用電偶極線模型求出了沿垂直于軸方向均勻極化的長(zhǎng)圓柱體周圍的電場(chǎng).

電偶極線；線極化強(qiáng)度；等效；精確解

任何一本《電磁學(xué)》教科書都會(huì)講述電偶極子模型，有些教材還講述了電偶極層模型［1］，但是我卻沒見過哪本《電磁學(xué)》教材講述電偶極線模型.其實(shí)電偶極線模型和電偶極子模型很類似，并且還有著實(shí)際的應(yīng)用.什么是電偶極線呢？下面就來討論這個(gè)問題.

兩條均勻帶電的無窮長(zhǎng)平行直線，電荷的線密度分別為±λ，相距為l，當(dāng)所研究的場(chǎng)點(diǎn)A到兩直線的距離遠(yuǎn)大于l時(shí)，這種帶電體系叫做電偶極線模型.圖1為電偶極線模型的橫截面圖.若選擇兩直線間距離連線的中垂面作為零勢(shì)能面的話，則電偶極線在空間任一點(diǎn)A處的電勢(shì)為

式（1）不僅形式十分簡(jiǎn)單，而且還是精確解.根據(jù)電偶極線模型的定義，場(chǎng)點(diǎn)A總是離兩條帶電平行直線很遠(yuǎn)，即r?l，因此有

代入式（1）后，有

圖1　電偶極線模型的橫截面

利用公式ln（1+x）～x（x?1），可將上式簡(jiǎn)化為

式（3）中因子λl是一個(gè)反映電偶極線特征的物理量，其物理意義是單位長(zhǎng)度的電偶極矩，因此可將其稱為線極化強(qiáng)度.讓人感到有點(diǎn)驚訝的是其單位競(jìng)是庫(kù)侖.若用符號(hào)Pl表示線極化強(qiáng)度，有

也可將式（4）寫成矢量形式

將式（4）代入式（3），有

式（5）比式（1）更簡(jiǎn)單.雖然式（5）是一個(gè)近似解，但是式（5）才是電偶極線模型真正實(shí)用意義上的電勢(shì).

為了求出電偶極線模型周圍的電場(chǎng)，以圖1中的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立柱坐標(biāo)系，其中z軸垂直于紙面向外，電場(chǎng)的3個(gè)分量分別為

從式（6）可以看出，電偶極線的電場(chǎng)與電偶極子的電場(chǎng)有些類似，不同的是電偶極線的電場(chǎng)是柱形對(duì)稱的，其場(chǎng)強(qiáng)E與距離r的平方成反比.下面通過一實(shí)例來看電偶極線模型在實(shí)際中的應(yīng)用.

例 有一半徑為R的均勻極化的圓柱形長(zhǎng)棒，其極化方向與圓柱的軸垂直，極化強(qiáng)度為P.試求此圓柱體外部空間的電場(chǎng).

解 圖2為均勻極化圓柱形長(zhǎng)棒的截面圖，此問題的一般解法是求解靜電場(chǎng)的拉普拉斯方程，但是這對(duì)于沒有學(xué)過電動(dòng)力學(xué)課程的學(xué)生來說是困難的.然而利用電偶極線的模型，用普通物理的方法就可以方便地解決此問題.

根據(jù)E.M.珀塞爾的觀點(diǎn)［2］，一個(gè)均勻極化的長(zhǎng)圓柱體，可以等效為兩個(gè)完全重疊在一起的、分別均勻帶有體電荷密度為±p的長(zhǎng)圓柱體沿極化方向拉開一小段距離l后形成的一個(gè)新圓柱體（由于l可看做無限小，因此新體系仍是圓柱體）.拉開距離l后的兩圓柱體分別等效于位于其軸線的兩根均勻帶有線電荷密度分別為±λ的平行直線，而整個(gè)系統(tǒng)正好等效為一電偶極線模型！其外部電場(chǎng)當(dāng)然就是式（6）.然而令人感到驚訝的是式（6）雖是電偶極線模型的近似解，但卻是本例的精確解.線極化強(qiáng)度Pl和極化強(qiáng)度P的關(guān)系為

圖2　均勻極化的圓柱形長(zhǎng)棒的截面

將式（7）代入式（6），得到最后結(jié)果為

最后的結(jié)果相當(dāng)簡(jiǎn)潔漂亮！而且是精確解！

［1］ 趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué).新概念物理教程［M］.北京：高等教育出版社，2003：42-43.

［2］ E.M.珀塞爾.電磁學(xué).伯克利物理學(xué)教程［M］.第二卷.南開大學(xué)物理系，譯.北京：科學(xué)出版社，1979：400-402.

A BRIEF DISCUSSION ON ELECTRIC DIPOLELINE

Zhao Qiang
（College of Science，Xi，an Jiaotong University，Xi，an，Shanxi 710049）

In this paper，we firstly gave the definition of electric dipole line model followed the definition of electric dipole model.Then we derived the electric potential formula and electric field formula of electric dipole line.At last，we solved the electric field around the uniform polarized long cylinder along the perpendicular direction to the axis using the electric dipole line model.

electric dipole line；linear polarization intensity；equivalent；exact solution

2015-06-05