李彩彩，趙 春

（天津師范大學數(shù)學科學學院，天津300387）

一類具有Size結(jié)構(gòu)的非線性種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制

李彩彩，趙 春

（天津師范大學數(shù)學科學學院，天津300387）

研究一類具有Size結(jié)構(gòu)的非線性種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題.利用Ekeland變分原理和共軛系統(tǒng)證明了最優(yōu)控制的存在性，并借助法錐概念得到了最優(yōu)控制的必要性條件.

Size結(jié)構(gòu)；最優(yōu)控制；Ekeland變分原理；共軛系統(tǒng)

個體尺度對個體生命參數(shù)和種群發(fā)展的重要性已經(jīng)得到了生物學家的廣泛認可［1］，并且得到了相關(guān)數(shù)學家的普遍重視［2］.對基于個體尺度的種群模型的相關(guān)研究已取得了較為豐富的結(jié)果.文獻［3］建立了具Size結(jié)構(gòu)的單種群系統(tǒng)模型，首先用特征線給出了系統(tǒng)的形式解，然后探討了種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題.文獻［4-7］分別考慮具有尺度結(jié)構(gòu)的線性、非線性種群動力系統(tǒng)的最優(yōu)收獲問題.文獻［8］研究了一類具有尺度結(jié)構(gòu)和加權(quán)總規(guī)模的種群模型.文獻［9-10］對依賴個體尺度結(jié)構(gòu)的種群資源開發(fā)模型進行了理論分析.文獻［11］研究了一類具有個體尺度的種群模型的最優(yōu)繁殖率問題.受以上文獻思想啟發(fā)，本研究考慮如下非線性種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題

其中：Q=（0，m）×（0，T），固定常數(shù)m、T分別為個體所不能超越的最大尺度和控制周期；狀態(tài)變量p（s，t）為t時刻個體尺度為s的種群個體分布密度；μ0（s）和β（s）分別為個體的自然死亡率和出生率；g（s）為種群個體尺度的增長率；u（s，t）為控制變量.

選取目標函數(shù)

其中ρ為正常數(shù).

允許控制集為

其中u1、u2均為已知常數(shù).

為了討論系統(tǒng)（1）和（2）的最優(yōu)控制問題，本研究假設(shè)下列條件成立：

（A3）μ（x）∈C2（R+）.對任意的x∈R+，μ（x）≥0，且|μ′（x）|≤A，|μ″（x）|≤B，其中A、B均為正常數(shù).

（A4）p0（s）∈L∞（0，m）.p0（s）≥0 a.e.s∈（0，m）.

（A5）g（s）∈C1（0，m）.對任意的s∈（0，m），0＜g（s）＜L.

（A6）h（x）∈C2（R+）.對任意的x∈R+，h（x）≥0，且|h′（x）|≤G，|h″（x）|≤H，其中G、H均為正常數(shù).

（A7）μ0、β、g、p0在其定義域外均為0.

定義 稱函數(shù)p（s，t）為系統(tǒng)（1）的解，若p（s，t）∈L∞（0，T；L1（0，m））在每一條特征線處都絕對連續(xù)，且滿足下列條件

1 預(yù)備引理

由文獻［8］中的標準證明可得引理1.

引理1 在假設(shè)條件下，對于任意給定的u（s，t）∈U，方程（1）存在唯一解p（s，t）∈L∞（0，T；L1（0，m）），且0≤p（s，t）≤M（M為正常數(shù)），p（s，t）具有如下表達式

這里

引理2 在假設(shè)條件下，存在正常數(shù)M1、M2，使得

證明 由假設(shè)條件和式（5）～式（6）可得

當m＞G-1（t）時，由式（6）可得

當m＜G-1（t）時，利用式（6）可得

故有

由式（4）～式（6）和式（9）～式（10）可得

應(yīng)用Bellman引理可得

其中

由式（4）～式（7）及式（13）可得

引理3 存在正常數(shù)C1、C2，使得對任意的u、v∈U，有

證明 當m>G-1（t）時，由式（3）～式（8）可得

其中

利用Bellman引理可得

故有

其中C1=max｛B，A2exp（A2T）｝.

當s＞G-1（t）時，由式（3）可得

同理可證，當s＜G-1（t）時，有

故有

其中C2=max｛N，A3｝.

2 最優(yōu)控制的存在性

考慮控制問題（2）.定義映射φ：L1（Q）→（-∞，+∞），

引理4 函數(shù)φ是下半連續(xù)的.

證明 不失一般性，設(shè)｛un｝∈U，｛un｝在L1（Q）中收斂到u，又｛pun｝在L∞（Q）中有界.由引理3可知，在L∞（0，T；L1（0，m））中，有pun（s，t）→pu（s，t）.因此存在子列｛（un，pun）｝，使得

由Fatou引理得

引理5 設(shè)｛（u*，pu*）｝是控制問題（1）和（2）的最優(yōu)解.若對任意的v∈L∞（Q），當ε＞0充分小時，有u*+εv∈U，則在L∞（0，T；L1（0，m））中，當ε→0+時，有

其中z（s，t）滿足下列方程

證明 定義

顯然wε滿足

其中

由引理1可知，系統(tǒng)（18）存在如下形式解

利用與引理3類似的證明方法可得，在L∞（0，T；L1（0，m））中，當ε→0+時，wε（s，t）→0.因此，在L∞（0，T；L1（0，m））中，當ε→0+時，有

利用與引理3類似的方法可證得引理6.

引理6 設(shè)q為下列共軛系統(tǒng)的解

定理1 若T充分小，則存在唯一的最優(yōu)控制u*∈U.

證明 由引理4知φ是下半連續(xù)的，由Ekeland變分原理可得：?ε＞0，?uε∈U，使得

于是有

令λ→0+，取極限，并利用引理5可得

將式（17）的第1個方程兩邊乘以q（s，t），加上共軛系統(tǒng)（19）的第1個方程兩邊乘以z（s，t），并在Q上積分，得到

由式（20）可得

由文獻［12］可知，存在ξ∈L∞（Q）且‖ξ‖L∞（Q）≤1，使得

由文獻［12］可得

其中映射H：L1（Q）→L1（Q），

先證最優(yōu)控制的唯一性.定義算子

由引理1可知共軛系統(tǒng)的解滿足‖q（s，t）‖L∞（Q）≤TL1，這里L1為常數(shù).

由引理3和引理6及假設(shè)條件可知

其中L3=TC2L1AmM+AmMTL1C2+AKmM2T+M2BmL1· （Mm+u2mTC2）.當T充分小時，則可使ρ-1L3T＜1.故F是壓縮映射，有唯一不動點u*.

下證u*是最優(yōu)的.由式（21）和式（22）可知

故有

故有

因此u*為最優(yōu)控制.

3 最優(yōu)控制的必要條件

定理2 設(shè)（u*，pu*）為控制問題（1）和（2）的最優(yōu)解，qu*為對應(yīng)于u=u*的共軛系統(tǒng)（19）的解，則有

證明 對任意v∈TU（u*）（U在u*處的切錐），當λ≥0充分小時，u*+λv∈U，由于u*為最優(yōu)解，故有

即

其中z（s，t）是方程（17）的解.將式（17）的第1個方程兩邊乘以q（s，t），加上共軛系統(tǒng)（19）的第1個方程兩邊乘以z（s，t），并在Q上積分，得到

將上式代入式（24），可得

所以

根據(jù)法錐的性質(zhì)即知定理成立.

［1］EBENMAN B，PERSSON L.Size-Structured Populations：Ecology and Evolution［M］.Berlin：Springer-Verlag，1988.

［2］METZ J A J，DIEKMANN O.The Dynamics of Physiologically Structured Populations［M］.Berlin：Springer-Verlag，1986.

［3］WEBB G F.Population models structured by age，Size and spatial position［J］.Lecture Note in Mathematics，2008，36（1）：1-50.

［4］ KATO N.Maximum principle for optimal harvesting in linear Size-structured population［J］.Mathematical Population Studies，2008，15：123-136.

［5］KATO N.Optimal harvesting for nonlinear Size-structured population dynamics［J］.J Math Anal Appl，2008，324：1388-1398.

［6］陳波濤，何澤榮，劉炎.帶有Size結(jié)構(gòu)和收獲的種群控制系統(tǒng)分析［J］.四川大學學報：自然科學版，2010，47（6）：1238-1244.CHEN B T，HE Z R，LIU Y.Analysis of a Size-structured population control system with harvest［J］.Journal of Sichuan University：Natural Science Edition，2010，47（6）：1238-1244（in Chinese）.

［7］劉炎.具有Size結(jié)構(gòu)的種群動力系統(tǒng)的行為分析和最優(yōu)控制［D］.杭州：杭州電子科技大學，2009.LIU Y.Behavior Analysis and Optimal Control of Biological Population Dynamical Systems with Size-structure［D］.Hangzhou：Hangzhou Electronic Science and Technology University，2009（in Chinese）.

［8］楊立志，何澤榮，鄒世平.具有尺度結(jié)構(gòu)和加權(quán)總規(guī)模的種群模型分析［J］.應(yīng)用泛函分析學報，2014，16（3）：212-219.YANG L Z，HE Z R，ZOU S P.Analysis of a population model with Size-structure and weighted size［J］.Acta Analysis Functionalis Applicata，2014，16（3）：212-219（in Chinese）.

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［12］ANITAS.Analysis and Control of Age-Dependent Population Dynamics［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，2000.

（責任編校 馬新光）

Optimal control for a kind of nonlinear Size-structured population systems

LI Caicai，ZHAO Chun
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The optimal control for a kind of nonlinear Size-structured population systems is studied.The existence of the optimal control is proved by using Ekeland＇s variational principle and adjoint system，and by means of the concept of the normal cone，the necessary conditions of optimality is obtained.

Size-structured；optimal control；Ekeland＇s variational principle；adjoint system

O175.1

A

1671-1114（2016）03-0001-07

2015-11-17

國家自然科學基金資助項目（60972089）.

李彩彩（1988—），女，碩士研究生.

趙 春（1963—），男，教授，主要從事控制論及其應(yīng)用方面的研究.