黃慶學，李　佳，李宏洲，韓賀永，馬立東，馬立峰

液壓雙邊滾切剪非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

黃慶學1，李佳1，李宏洲2，韓賀永1，馬立東1，馬立峰1

（1.太原科技大學重型機械教育部工程研究中心，太原030024；2.河北文豐鋼鐵有限公司，河北武安056300）

雙邊剪機械動力學與液壓動力學的耦合作用以及上刀架與液壓缸之間的位置反饋，都是系統(tǒng)不穩(wěn)定的因素.在這個模型中，所有的不穩(wěn)定因素都來自于液壓油的控制.通過采用非對稱閥控制非對稱缸的方法建立液壓系統(tǒng)的數(shù)學模型，得到了伺服液壓缸壓力、流量的非線性狀態(tài)方程，并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)分析了四缸耦合的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性.通過采集現(xiàn)場實驗數(shù)據(jù)表明:四缸運動軌跡可以較好地按照既定軌跡運動，驗證了此方法可以滿足現(xiàn)場的實際需求.

穩(wěn)定性；新型液壓雙邊剪；李雅普諾夫法；非線性系統(tǒng)

雙邊滾切剪是中厚板生產(chǎn)線上加工鋼板雙邊寬度的重要設備之一，采用步進式剪切方法［1-2］，同步完成鋼板的切邊功能.新型的液壓雙邊滾切剪剪切機構采用伺服液壓缸臥式鉸接于機架上，直接驅(qū)動復合連桿機構帶動圓弧形上剪刃做滾動剪切的運動，上刀架運動軌跡復雜多變，4個伺服液壓缸運動相互耦合，長時間處于高速、大流量的運行狀態(tài)，對應的伺服閥工作在大開口位置，采用非對稱閥控制非對稱缸的方法［3］來消除運動過程中的流量誤差和換向壓力突變問題.該設備結(jié)構簡單、剪切力大、控制精度高，目前屬于世界首臺.閥控缸伺服系統(tǒng)穩(wěn)定性直接決定液壓雙邊滾切剪的剪切運動，因此有必要對其剪切機構的穩(wěn)定可靠性進行深入研究.

新型液壓雙邊滾切剪機構，是多自由度耦合系統(tǒng)，這類結(jié)構的靜、動力學性能等非常復雜.目前，國內(nèi)外很多學者都很重視系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，文獻［4］通過對隨機動力學的分析，采用Lyapunov函數(shù)法、隨機平均法、反饋控制策略等對具黏彈性/時滯的自由度系統(tǒng)進行了穩(wěn)定性分析.文獻［5］采用Llewellyn蒺s判據(jù)對多自由度觸覺系統(tǒng)進行絕對穩(wěn)定性分析.文獻［6］就力和位置耦合控制的主動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的多目標優(yōu)化，通過對其用Routh判據(jù)進行穩(wěn)定性分析得到可以滿足改善轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的路感和輕便性.文獻［7］就神經(jīng)網(wǎng)絡的機械手的混合壓力位置控制，基于自適應控制方法提出了一種新的算法，滿足了李雅普諾夫意義上的穩(wěn)定性條件，得到在末端執(zhí)行器和外部環(huán)境施加的耦合力以及在笛卡兒坐標系下機械手末端位置的混合控制，可以滿足機械手的正常動作.上述文獻雖然給出了一些機構穩(wěn)定性的方法研究，但均未考慮多自由度液壓系統(tǒng)中多缸和單缸系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，且國內(nèi)外無相關文獻介紹該方面的研究.

本文通過采用非對稱閥控制非對稱缸的方法，同時得到伺服液壓缸壓力、流量的非線性狀態(tài)方程，從而采用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)對此四缸耦合的非線性系統(tǒng)進行了穩(wěn)定性分析.并以現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)為基礎，比較了4個液壓缸的理論位移給定值與實際位移值.

1　剪切機構液壓伺服系統(tǒng)數(shù)學模型

新型液壓雙邊滾切剪液壓伺服系統(tǒng)所涉及的閥控缸機構具有閥口非對稱、液壓缸非對稱、閥芯位移范圍大以及負載變化大等特點.用經(jīng)典的線性系統(tǒng)數(shù)學模型分析閥控缸機構的穩(wěn)定性已不符合實際工況要求.因此，研究建立非對稱閥控制非對稱缸的非線性數(shù)學模型非常必要.

1.1非對稱伺服閥閥口流量公式

本文所研究的非對稱伺服閥是指閥口進出節(jié)流窗口的面積梯度成一定比例，即

式中:w1、w2、w3、w4分別為閥口1、閥口2、閥口3和閥口4的面積梯度，w1=w4，w2=w3；n為小于等于1的常數(shù).

當n小于1時，滑閥為非對稱閥；當n等于1時，滑閥為對稱閥.

對于非對稱液壓缸有

式中:A2、A1分別為液壓缸有桿腔和無桿腔的有效作用面積，m2；m為小于等于1的常數(shù).

如圖1所示的非對稱四通閥閥口1、2、3、4的節(jié)流公式［8］可以表示為

式中:cd為閥口的流量系數(shù)；v為閥芯位移；Δi為各閥口的重疊量，i=1～4；ps為供油壓力，Pa；ρ為油液密度，kg/m3；qsv1、qsv2、qsv3、qsv4分別為閥口1、2、3、4的流量，m3/s.

規(guī)定圖中閥芯位移的正向，則進入液壓缸2腔的流量可表示為

假設|Δ1|=|Δ2|=|Δ3|=|Δ4|，Δ1=-Δ4，Δ3=-Δ2，則無桿腔流量

有桿腔流量

式中:Q1、Q′1為無桿腔正反向移動時的流量；Q2、Q′2為有桿腔正反向移動時的流量.

當m=n時，液壓缸兩腔壓力不再受運動方向影響，換向時的壓力突變消失，系統(tǒng)能夠承受的負載變化范圍大.而且完全匹配的非對稱閥控制非對稱缸從根本上消除了非對稱缸對系統(tǒng)壓力特性帶來的不利影響.

1.2液壓缸在穩(wěn)態(tài)時的流量壓力特性

得

又根據(jù)液壓缸的力平衡方程

得

根據(jù)液壓缸的輸出功率

得

所以，液壓缸無桿腔相連的閥口的流量作為滑閥的負載流量.

根據(jù)式（9）～（11）可得負載流量

1.3非對稱伺服閥控制非對稱缸系統(tǒng)的基本方程

1.3.1滑閥正向移動時（xv＞Δ1），負載的流量方程［9］

式中:QL為負載流量；pL為負載壓力.

1.3.2伺服液壓缸的流量連續(xù)性方程

考慮泄漏和油液的可壓縮性，液壓缸無桿腔的流量連續(xù)性方程為

式中:V1=Vd1+A1（y0+y）；V2=Vd2+A2（L-L0-y）；Vd1、Vd2為無桿腔、有桿腔的閉死容積，即閥到缸的管道容積；y為活塞的位移；cip為缸的內(nèi)泄漏系數(shù).

根據(jù)式（10）（11）（15）得

式中:ctp=2cip/1+m；μ=m-1/m+1；V1的最小體積V1MIN為 Vd1+A1y0；V1的最大體積 V1MAX為Vd1+ A1L，L為液壓缸的長度，一般取V1MIN和V1MAX的均值為V1，V1=V1MIN+V1MAX/2=2Vd1+A1y0+A1L/2；等效體積Vt=4V1/1+m=4Vd1+2A1（y0+L）/1+m.

根據(jù)文獻［10］對閥控缸機構的穩(wěn)定性分析，當活塞處于中位時穩(wěn)定性最為尖銳，故一般情況下Vt取活塞在中位位置時的值為其名義值，即Vt= A1L/3.

1.3.3液壓缸的力平衡方程

式中:mt為活塞、油液及負載等效到活塞上的質(zhì)量；B為黏性阻尼系數(shù)；k為負載的彈性剛度；F為任意外負載力.

2　非對稱伺服閥控制非對稱液壓缸非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

根據(jù)求解的式（14）（16）（17），非對稱伺服閥控制非對稱液壓缸系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程簡化成線性方程組為

定義x=［x1x2x3］T=［yy·pL］

則

整理可得

將閥控液壓缸系統(tǒng)狀態(tài)變量的形式寫成狀態(tài)向量的形式

式中

新型液壓雙邊滾切剪液壓系統(tǒng)是含有4個伺服液壓缸驅(qū)動刀架運動的多自由度非線性系統(tǒng)，每個伺服液壓缸的負載流量方程、連續(xù)性方程和力平衡方程都是獨立的，所以由微分方程建立多自由度狀態(tài)方程的方法與單個液壓缸狀態(tài)方程的建立方法基本相同.

將式（20）和式（21）寫成矩陣形式

剪切機構的狀態(tài)方程是一個四維的矩陣方程，矩陣的穩(wěn)定性采用李雅普諾夫第法分析.

根據(jù)李雅普諾夫第一法穩(wěn)定性判別理論［11］，對于非線性系統(tǒng)，·x=Ax中滿足A的特征值具有負實部，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

液壓系統(tǒng)及負載參數(shù)匯總?cè)绫?所示.

表1　液壓系統(tǒng)和油缸相關參數(shù)Table 1　Parameters of hydraulic cylinder and system

·y=f（y，t），其平衡狀態(tài)為f（0，t）=0，顯然，一個物理系統(tǒng)儲存的能量總是正值，則V（y，t）＞0.

下面判斷·V是否滿足小于0.

此函數(shù)主要是根據(jù)能量守恒定律［12］，把液壓缸和外負載視為一個整體，即進口液體的壓力能轉(zhuǎn)化為液壓油的動能和壓力能、負載的動能和彈性勢能，為了便于分析忽略系統(tǒng)的熱能損失，建立如下李雅普諾夫函數(shù)V（y）

對V（y）求一階導可得

剪切機構的狀態(tài)方程是一個四維的矩陣方程，矩陣的穩(wěn)定性采用李雅普諾夫第法分析.

根據(jù)李雅普諾夫第一法穩(wěn)定性判別理論［11］，對于非線性系統(tǒng)，·x=Ax中滿足A的特征值具有負實部，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

式中ρA1y··=F1-F2-FL，F(xiàn)1表示無桿腔壓力，F(xiàn)2表示有桿腔的壓力.

其中p1A1-F1=0，F(xiàn)2-p2A2=0，只需滿足y·（FL-ky）＜0，y·＞0.

則FL-ky＜0，由于k是鋼板的彈性系數(shù)，約等于20×104，根據(jù)文獻［12］實際生產(chǎn)所測最大剪切負載力為5.12×106N.

所以為了滿足條件，需使y＞26 mm，當液壓缸位移為26 mm時，上刀架下降最大位移1 mm.根據(jù)實際生產(chǎn)要求，上刀架和鋼板之間開口量約為80 mm，即刀架下降80 mm才開始進行鋼板剪切，刀架開始承受負載力.顯然，前3項滿足小于0.

對于，式中各項均小于0，所以此項小于0滿足V·負定的條件.

根據(jù)上述分析可得，V·是負定的，滿足李雅普諾夫第二法穩(wěn)定性的要求，所以液壓雙邊滾切剪閥控缸非線性系統(tǒng)模型是穩(wěn)定的.

3　實驗研究

3.1實驗過程

新型液壓雙邊滾切剪是由太原科技大學設計，太原科大重工科技有限責任公司生產(chǎn)的.為測得實驗數(shù)據(jù)，在伺服液壓缸上分別裝有壓力傳感器和位置傳感器測量伺服液壓缸的壓力和位移.但液壓雙邊滾切剪的上刀架做滾切運動，而且運動比較復雜，無法直接測量，所以對伺服液壓缸位移進行采樣分析.液壓伺服系統(tǒng)采用力士樂生產(chǎn)的4WRTE伺服閥控制非對稱液壓缸，考慮其承載能力，選用閥口面積梯度比n=1/2，伺服液壓缸兩腔的有效面積比m=1/2.

3.2結(jié)果與討論

通過采集4個伺服液壓缸的實際位移，分析其實際位移與4個伺服液壓缸的給定位移誤差，驗證剪切機構的穩(wěn)定可靠性，實驗結(jié)果如圖2所示.

在同一時刻，從各個液壓缸實際位移和給定位移之間的誤差分析可得，1#液壓缸的位移誤差0.6% ～15.3%，2#液壓缸的位移誤差是0.1% ～13.3%，3#液壓缸的位移誤差是0.1% ～13.3%，4#液壓缸的位移誤差是0.4% ～5.8%，能夠滿足工程的實際需求.

4　結(jié)論

1）通過建立非對稱四通閥閥口的節(jié)流公式并結(jié)合非對稱閥控制非對稱缸的方法，得到液壓系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程組.根據(jù)液壓缸的壓力流量特性，將非對稱閥控制非對稱缸的非線性方程組線性化，從而為系統(tǒng)穩(wěn)定性分析做了鋪墊.

2）新型液壓雙邊滾切剪是四缸協(xié)調(diào)控制的剪切機構，本文采用李雅普諾夫第一法和李雅普諾夫第二法分別對四缸及單缸系統(tǒng)進行了穩(wěn)定性分析，因此，該方法為機械結(jié)構的動力學與液壓動力學耦合分析提供了理論基礎.

3）通過采集滾動剪切鋼板液壓缸的位移與理論給定位移值對比發(fā)現(xiàn)，可以滿足工況需求，達到預期的目標.

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（責任編輯楊開英）

Analysis of Nonlinear System Stability of a Hydraulic Bilateral Rolling Shear

HUANG Qingxue1，LI Jia1，LI Hongzhou2，HAN Heyong1，MA Lidong1，MA Lifeng1
（1.Heavy Machinery Engineering Research Center of Ministry of Education，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China；2.Hebei Wenfeng Iron and Steel Limited Liability Company，Wuan 056300，Hebei，China）

A hydraulic bilateral rolling shear is the composite connecting rod shearing mechanism with the upper blade driven by servo-cylinders.Because an interaction between the mechanical dynamics and hydraulic dynamics of the machine and the hydro-mechanical interaction has a positive feedback component，which produces instability phenomenon.In this model，all instabilities energy comes from the fuel.A hydraulic servo system model was established based on unsymmetrical valve controlling unsymmetrical cylinder and the nonlinear equation of the state between force and cylinder flow was proposed.Moreover，Lyapunov stability theory was used to analyze the stability of system.Based on field experiment data，actual trajectory agrees well with given trajectory，showing that this method can meet the practical demand in engineering.

stability analysis；new hydraulic bilateral rolling shear；Lyapunov；nonlinear system

TG 333.21

A

0254-0037（2016）06-0819-06

10.11936/bjutxb2015050077

2015-05-26

國家自然科學基金資助項目（51505315）；山西省自然科學基金計劃資助項目（2014011024-4）

黃慶學（1961—），男，教授，主要從事軋鋼機械、接觸問題邊界元法方面的研究，E-mail:mkj_lj@126.com