饒　偉,高惠娟,段美怡,張建秋

(1.復(fù)旦大學信息科學與工程學院,上海 200433;2.南昌工程學院信息工程學院,江西南昌 330099)

?

一種新的基于復(fù)指數(shù)函數(shù)映射的盲均衡算法

饒偉1,2,高惠娟2,段美怡2,張建秋1

(1.復(fù)旦大學信息科學與工程學院,上海 200433;2.南昌工程學院信息工程學院,江西南昌 330099)

定義了一個新的復(fù)指數(shù)函數(shù)將典型的16-QAM非常模信號的實部和虛部分別映射至單位圓上.然后利用映射后星座坐標的實部和虛部之間的關(guān)系建立代價函數(shù),從而提出了一種新的盲均衡算法.新算法克服了著名的恒模盲均衡算法及其典型的改進算法在對非常模信號均衡時穩(wěn)態(tài)誤差大的缺點.通過理論證明驗證了新算法在無噪聲環(huán)境下穩(wěn)態(tài)均方誤差為0;通過仿真實驗驗證了新算法在有噪環(huán)境下比恒模及其改進算法具有更低的穩(wěn)態(tài)均方誤差.

盲均衡;恒模算法;復(fù)指數(shù)代價函數(shù)

1　引言

在數(shù)字傳輸系統(tǒng)中受信道帶寬有限及多徑傳輸?shù)挠绊?接收信號中會存在碼間干擾(Intersymbol interference,ISI),致使信號產(chǎn)生嚴重失真[1].因此在接收端常采用盲均衡技術(shù)[2,3]來消除或減少ISI,其中恒模盲均衡算法[4](Constant Modulus Algorithm,CMA)因其強魯棒性和易于實現(xiàn)性[3,5]而被廣泛使用與研究[6,7].在發(fā)射端為了提高信道帶寬的利用率,常采用高階正交幅度調(diào)制(Quadrature Amplitude Moduluation,QAM)信號[8,9].對于低階QAM(4-QAM)信號,基于CMA的T/2分數(shù)間隔均衡器(Fractionally Spaced Equalizer,FSE)在無信道噪聲環(huán)境下能實現(xiàn)迫零均衡[5,10].而對于高階QAM信號,如16-QAM信號,均衡器會呈現(xiàn)出相對較大的誤調(diào),致使算法穩(wěn)態(tài)均方誤差(Mean Square Error,MSE)大,收斂速度慢.為了克服這一缺點,可以先利用CMA使接收信號的眼圖睜開,然后切換到判決引導(dǎo)(Decision-directed,DD)算法來進一步減小殘留誤差[11,12].但是只有當CMA的輸出誤差足夠小時才能保證切換成功,而在實際環(huán)境中CMA往往達不到要求[13].又或者采用軟切換的方法[13,14]在穩(wěn)態(tài)MSE和切換的可靠性上進行折衷處理.但是這種方法需要做大量的判決處理,計算復(fù)雜度大幅提升.為了能夠減小CMA的穩(wěn)態(tài)誤差,近年來提出了例如融入了粒子群優(yōu)化以及正交小波變換的盲均衡[15],或者基于電域反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)盲均衡方法[16],或者基于混合誤差函數(shù)的盲均衡[17～19];又或者針對CMA和DD切換方式提出新的切換方法[20]或降低其計算復(fù)雜度[21].上述算法的穩(wěn)態(tài)MSE較CMA雖有所減少,但對于非常模信號卻仍無法收斂至0.為此,文獻[22]提出了一種基于坐標變換的盲均衡算法,并通過DSP加以實現(xiàn)[23].但是這種變換并不是一一映射,這對算法的魯棒性有一定影響.因此作者在文獻[24]中定義了一種一一映射的變換方式,并提出了一種類似于Sign-GA[25]準則的代價函數(shù)與變換方式相配合.但是該算法在信道失真嚴重或者信噪比較低的情況下性能提升不明顯[24].

本文針對典型的16-QAM非常模信號定義了一種新的一一映射的復(fù)指數(shù)函數(shù),該函數(shù)能將16-QAM信號的實部和虛部分別映射至2個單位圓上,再利用各單位圓上信號坐標的實部和虛部之間的關(guān)系建立起一個全新的代價函數(shù),從而提出了一種新的盲均衡算法.該算法克服了傳統(tǒng)盲均衡算法對非常模信號均衡時穩(wěn)態(tài)誤差大的缺點,并且新算法在信道失真嚴重或者信噪比較低的情況下依然具有良好的性能.利用理論證明的方式驗證了在無噪聲環(huán)境下新算法的穩(wěn)態(tài)MSE為0.同時,采用Rice大學信號處理數(shù)據(jù)庫(SPIB)中的微波信道[26]以及嚴重失真信道[27]模型,在無噪和有噪環(huán)境下將新算法與具有代表性的盲均衡算法:CMA、CMA+SDD[14]、MCMA[28]、MMA[29]、文獻[24]算法,進行仿真實驗對比,實驗結(jié)果進一步驗證了新算法的優(yōu)越性能.

2　T/2分數(shù)間隔盲均衡

研究T/2分數(shù)間隔均衡器[5],其結(jié)構(gòu)模型如圖1所示.

圖中s(k)為發(fā)射信號;長度為2M的信道沖激響應(yīng)c分成奇偶兩部分ce、co;長度為2N的均衡器抽頭系數(shù)向量f也分成奇偶兩部分fe、fo,形成2個子均衡器.k時刻2個子均衡器的輸入向量分別為xo,k=[xo(k)…xo(k-N+1)],xe,k=[xe(k)… xe(k-N+1)];y(k)為均衡器輸出信號.令xk=[xo,kxe,k],fk-1=[fe,k-1fo,k-1],則

(1)

式中,T表示取轉(zhuǎn)置操作.

在T/2-FSE結(jié)構(gòu)中可以使用不同的盲均衡算法,這里以應(yīng)用最為廣泛的CMA[4,5]為例.CMA的代價函數(shù)定義為

(2)

式中,R2為發(fā)射信號的統(tǒng)計模值,定義為

R2=E[|s(k)|4]/E[|s(k)|2]

(3)

利用瞬時隨機梯度下降法對f進行更新以最小化代價函數(shù),則f更新公式為

(4)

式中,▽表示求瞬時梯度操作,eo(k)為誤差函數(shù)項.將代價函數(shù)(2)代入上式得CMA誤差函數(shù)項

eo(k)=y(k)[R2-|y(k)|2]

(5)

由代價函數(shù)式(2)可知,CMA的目的是期望每個輸出信號的幅度模值|y(k)|與|R|相等,此時代價函數(shù)被最小化為零,誤差函數(shù)項(5)為零,均衡器抽頭系數(shù)停止更新.當均衡器穩(wěn)定后的輸出信號滿足|y(k)|=|R|=|s(k)|時,稱之為理想均衡,此時CMA穩(wěn)態(tài)MSE為0.對于常模信號,基于CMA的T/2-FSE(簡稱CMA)在無噪聲環(huán)境下,可以實現(xiàn)理想均衡;但對于非常模信號,CMA無法實現(xiàn)理想均衡[5,30].

3　新算法

非常模信號的幅度模值與CMA統(tǒng)計模值的平方根不相等是導(dǎo)致CMA穩(wěn)態(tài)誤差大,收斂速度慢的主要原因之一.因此,針對典型的16-QAM非常模信號,通過映射處理再結(jié)合適當?shù)拇鷥r函數(shù)相配合,從而克服上述缺陷:

考慮到16-QAM信號的實部和虛部均與4階脈沖幅度調(diào)制(Pulse-amplitudeModulation,PAM)信號相同.因此,先以4-PAM非常模實信號為例引出新算法,然后在通過對實部和虛部分開均衡的方法將新算法引入16-QAM信號中.

針對4-PAM信號定義復(fù)指數(shù)映射函數(shù)

(6)

(7)

式中,下標r和i分別代表取實部和虛部操作.因此建立新算法代價函數(shù)

(8)

?y′(k)

(9)

這正是我們所期望的理想均衡.

結(jié)合式(4)、(6)、(8)得適用與4-PAM信號的新算法誤差函數(shù)項

(10)

式中,sgn[·]為符號函數(shù).

由于16-QAM信號星座可以由2個正交的4-PAM信號星座組合而成,因此利用實部和虛部分開均衡處理的思想可得適用于16-QAM信號的盲均衡新算法:

(1)代價函數(shù)為

(11)

(2)將式(11)帶入式(4)得新算法誤差函數(shù)項

(12)

4　新算法性能分析

4.1新算法穩(wěn)態(tài)MSE性能分析

應(yīng)用一種反饋式性能評估方法[30],對新算法收斂后的穩(wěn)態(tài)MSE進行評估,其核心計算式為[30]

(13)

(14)

通過該式,可以得到算法的穩(wěn)態(tài)MSE:E{|ea|2}.

在進行評估之前,先提出以下合理假設(shè)[30]:

(a)穩(wěn)態(tài)時,發(fā)射信號s與誤差ea相互獨立,即E{s*ea}=0.

(b)穩(wěn)態(tài)時,μ2‖x‖2與y相互獨立,μ2‖x‖2與ea相互獨立.

(1)計算T1

將新算法誤差項(12)代入T1得

(15)

利用余弦函數(shù)的麥可勞林展開式

(16)

并將yr=sr-ear、yi=si-eai[30]代入T1,再結(jié)合假設(shè)得

(17)

(2)計算T2

(18)

(19)

(20)

當μ、ear足夠小時,忽略包含ear的3次及更高次冪項,則

(21)

利用式(16)及正弦函數(shù)的麥可勞林展開式

(22)

(23)

(24)

同理可得

(25)

所以

T2=T21+T22≈πμE{|ea|2}

(26)

(3)穩(wěn)態(tài)MSE

由T1=T2,并結(jié)合式(17)、(26)得

E{|ea|2}

(27)

E{|ea|2}≈0

(28)因此,針對16-QAM非常模復(fù)信號,新算法穩(wěn)態(tài)MSE約為0.

針對4-PAM非常模實信號,在分析其穩(wěn)態(tài)MSE時可以把它看成虛部為0的16-QAM信號,因此易得其穩(wěn)態(tài)MSE

(29)

可見,無論是4-PAM非常模實信號還是16-QAM非常模復(fù)信號,新算法收斂后穩(wěn)態(tài)MSE約為零,而CMA穩(wěn)態(tài)MSE不為零[5,30].

4.2新算法與文獻[24]算法性能對比分析

新算法與文獻[24]算法屬同一類算法,因此有必要對這兩種算法進行對比分析(這里以4-PAM信號為例),詳見表1.

可見,新算法的映射函數(shù)和文獻[24]相比雖然只是一個π/4的變化,但是后續(xù)匹配代價函數(shù)的建立是全新的且它給算法性能,包括計算量、收斂速度、穩(wěn)態(tài)MSE、工作環(huán)境的適應(yīng)性等,帶來了較大的提升.

5　計算機仿真分析

為了進一步驗證新算法的性能,我們將新算法與5個極具代表性的盲均衡算法:CMA、CMA+SDD[14]、MCMA[28]、MMA[29]以及文獻[24]中的算法,進行仿真實驗對比.首先,通過無噪仿真實驗來驗證前面對新算法所做出的理論分析.其次,利用Rice大學信號處理數(shù)據(jù)庫(SPIB)中的微波信道模型在不同信噪比的情況下,對上述算法進行仿真實驗分析.最后,通過仿真實驗的方式來說明即便是在失真較為嚴重的信道環(huán)境[27]中,新算法同樣能夠體現(xiàn)出其優(yōu)越的性能.

表1　新算法與文獻[24]算法對比分析表(以4-PAM為例)

續(xù)表

5.1無噪聲環(huán)境下仿真實驗

該仿真實驗中,無噪聲信道的脈沖響應(yīng)為c=[-0.0901,0.6853,0.7170,0.0901][30],發(fā)射信號為16-QAM信號.所有算法均采用T/2分數(shù)間隔均衡器結(jié)構(gòu),各子均衡器抽頭個數(shù)均為5.新算法的步長均為0.001;文獻[24]中算法的步長為0.002;CMA和MMA的步長均為0.000016;MCMA中步長為0.000016,另一個參數(shù)取值為100;CMA+SDD中CMA部分步長為0.000016,SDD部分步長為0.0016,另一個參數(shù)取值為0.3.仿真結(jié)果如圖3所示,當各算法收斂后新算法和文獻[24]算法的輸出穩(wěn)態(tài)MSE約為-300dB,即MSE≈10-30近似為0,遠遠小于其它幾種算法的穩(wěn)態(tài)MSE.但需要注意的是,雖然新算法和文獻[24]算法均能得到近似為0的穩(wěn)態(tài)MSE,但是在保證這兩種算法穩(wěn)態(tài)MSE近似相等(實際上新算法穩(wěn)態(tài)MSE略低)的前提下新算法收斂速度比文獻[24]快了近1倍.

5.2有噪聲環(huán)境下微波信道仿真實驗

采用Rice大學信號處理數(shù)據(jù)庫(SPIB)中的微波信道模型chan2[26],在不同信噪比下對比分析各算法的穩(wěn)態(tài)MSE,且實驗過程中以各算法經(jīng)過大約1500次迭代后收斂為前提.各算法參數(shù)設(shè)置及仿真結(jié)果如表2所示.

表2　各算法在相同收斂速度(約1500次迭代)不同SNR情況下的仿真結(jié)果

可見,新算法在不同的信噪比下均具有最小的穩(wěn)態(tài)MSE且比次優(yōu)算法(文獻[24])小約1倍;此外,在低信噪比下(如20dB)文獻[24]算法與已有算法相比優(yōu)勢不夠明顯(這與文獻[24]中的分析是一致的),但是新算法卻依然能夠體現(xiàn)出其優(yōu)越的性能,該結(jié)論同樣體現(xiàn)在接下來的仿真實驗中.

5.3有噪聲環(huán)境下嚴重失真信道仿真實驗

采用文獻[27]中失真最嚴重的信道模型對新算法的適用性進行仿真驗證.發(fā)射信號為16-QAM信號,信噪比為20dB.所有算法均采用T/2分數(shù)間隔均衡器結(jié)構(gòu),各子均衡器抽頭個數(shù)均為9.CMA、MMA、文獻[24]算法、新算法的步長分別為0.000032、0.0002、0.003、0.0004;MCMA中步長為0.0001,另一個參數(shù)取值為40;CMA+SDD中CMA部分步長為0.00004,SDD部分步長為0.0008,另一個參數(shù)取值為0.8.仿真結(jié)果如圖4所示:新算法收斂后的穩(wěn)態(tài)MSE約為-12dB≈0.0631,比文獻[24]算法的-9dB≈0.1259減少約一倍多.此外,就此次實驗而言,其中的兩種算法MCMA和CMA+SDD在5.1和5.2中后者的性能要略優(yōu)于前者,而在5.3中正好相反.造成這個問題的一個重要原因是這兩種算法除步長外還受其它參數(shù)控制,且參數(shù)和步長對算法性能的影響并不相互獨立,不同的參數(shù)組合對算法性能會產(chǎn)生不同的影響.但是新算法不存在這種多參數(shù)的選擇問題,從這個角度講新算法除了穩(wěn)態(tài)MSE最低以外,其在操作實現(xiàn)上也要比MCMA和CMA+SDD簡單得多.

6　結(jié)論

傳統(tǒng)CMA及其改進的盲均衡算法雖然能有效克服多徑衰落,但是對于非常模信號均衡效果并不理想.本文詳細分析了產(chǎn)生上述問題的一個重要原因,并據(jù)此針對典型的16-QAM非常模信號提出了一種基于復(fù)指數(shù)映射的盲均衡新算法.利用理論證明和仿真實驗驗證了新算法在無噪聲環(huán)境下穩(wěn)態(tài)MSE能收斂至零;在有噪環(huán)境下通過仿真實驗驗證了新算法同樣具有比同類算法更加優(yōu)越的性能及強可操作性.

雖然新算法只適用于4-PAM和16-QAM信號,但是卻能為進一步提高現(xiàn)有盲均衡的性能提供一條新的途徑.例如對于其它類型非常模調(diào)制信號以及更高階的QAM信號,如果能找到適合的映射對象以及與之相匹配的代價函數(shù),那么盲均衡的性能可以得到很大提升.

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饒偉男,1982年出生,南昌工程學院信息工程學院副教授,復(fù)旦大學信息科學與工程學院在讀博士研究生,主要從事通信信號處理及應(yīng)用等方面的研究工作.

E-mail:wrao14@fudan.edu.cn

高惠娟女,1977年出生,碩士研究生,南昌工程學院信息工程學院講師,主要從事通信信號處理、圖像處理等方面的研究工作.

New Blind Equalization Algorithm Based on a Mapping from a Complex Exponential Function

RAO Wei1,2,GAO Hui-juan2,DUAN Mei-yi2,ZHANG Jian-qiu1

(1.SchoolofInformationScienceandTechnology,FudanUniversity,Shanghai200433,China; 2.SchoolofInformationEngineering,NanchangInstituteofTechnology,Nanchang,Jiangxi330099,China)

A new complex exponential function is defined to map the real and imaginary parts of a classic 16-QAM nonconstant modulus signal to the unit circle,respectively.With the relationship between the real and imaginary parts of the new constellation after mapping,a new cost function is built and then a new blind equalization algorithm is proposed.The proposed algorithm can converge the steady-state mean square error (MSE) to zero under a noiseless environment,which is different from the famous constant modulus algorithm (CMA) and some CMA-based improved algorithms.In addition,we provide the theoretical analysis of the proposed algorithm.Simulation results demonstrate that the proposed algorithm has the lower steady-state MSE than CMA and some CMA-based improved algorithms.

blind equalization;constant modulus algorithm;complex exponential cost function

2014-11-05;

2015-03-04;責任編輯：馬蘭英

國家自然科學基金(No.61401188，No.61171127);江西省科技支撐計劃項目(No.2013ZBBE50016);國家(江西省)大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目(No.201311319029)

TN911.5

A

0372-2112 (2016)05-1009-08

電子學報URL:http://www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.05.001