楊樟世，秦　營，李映輝

（西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031）

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沖擊荷載作用下軸向運動層合板非線性動力學(xué)響應(yīng)

楊樟世，秦營，李映輝

（西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031）

研究軸向運動層合板在沖擊荷載作用下的非線性動力學(xué)響應(yīng)?；趩螌硬牧媳緲?gòu)關(guān)系及大變形理論，考慮幾何非線性得到?jīng)_擊荷載作用下的軸向運動層合板非線性動力學(xué)控制方程；通過Galerkin法對控制方程進行離散得到模態(tài)方程組，用Runge-Kutta法對模態(tài)方程組求解，得到?jīng)_擊荷載作用下軸向運動層合板的動態(tài)響應(yīng)。討論了軸向速度、沖擊波峰值和相位持續(xù)時間對軸向運動層合板動力學(xué)響應(yīng)的影響。

聲學(xué)；沖擊荷載；軸向運動；層合板；幾何非線性

層合結(jié)構(gòu)常應(yīng)用飛行器、空間站、汽車、潛艇等。這類結(jié)構(gòu)有時處于運動狀態(tài)，并受音爆、爆炸等沖擊荷載作用。因此研究這類運動結(jié)構(gòu)在沖擊荷載下的非線性動力學(xué)行為具有學(xué)術(shù)理論和工程意義。

關(guān)于板在沖擊荷載下的力學(xué)行為，Aaron等研究了矩形板在沖擊荷載下的非線性動力學(xué)響應(yīng)［1］。Zafer等研究了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)在各種沖擊荷載下的非線性動力學(xué)響應(yīng)［2-4］。Schiffer等基于實驗和有限元法，討論了水下沖擊荷載下正交各向異性復(fù)合材料板的動力學(xué)響應(yīng)［5］。Demet等對沖擊荷載下黏彈性夾層板的動力學(xué)響應(yīng)進行分析，并用有限元解和實驗結(jié)果對其進行驗證［6］。曾誠等考慮阻尼非線性特性，研究了非線性橡膠隔振器的沖擊響應(yīng)［7］。關(guān)于軸向運動板，劉金堂等研究了軸向運動板的非線性動力學(xué)行為［8］。李映輝等研究了軸線運動下黏彈性夾層板非線性動力穩(wěn)定性［9］。李中華等討論了軸向運動黏彈性夾層板的多模態(tài)耦合橫向振動［10］。而目前未見軸向運動板在沖擊荷載下的研究內(nèi)容。

擬通過建立軸向運動層合板在沖擊荷載下的非線性動力學(xué)方程，研究其非線性動力學(xué)響應(yīng)，分析軸向運動速度、沖擊波峰值和相位持續(xù)時間等對其動力學(xué)響應(yīng)的影響。

1　控制方程

如圖1、圖2所示，層合板等效密度為ρ，第k層厚度為zk-zk-1，總厚度為H，長為a，寬為b，以速度νx沿x軸方向運動，受到?jīng)_擊荷載P（t）的作用，其平衡方程為［10］

其中zk為第k層厚度方向坐標(biāo)，Mx、My和Mxy為板內(nèi)截面彎矩（扭矩），Nx、Ny分別為板內(nèi)沿x方向、y方向的截面面力，F(xiàn)xy為面內(nèi)剪切力，w（x，y，t）為層合板的撓度，（·）x和（·）xx分別為對x的1階和2階偏導(dǎo)。考慮幾何非線性，層合板幾何方程為［9-10］

圖1　層合板中面模型

圖2　層合板截面模型

其中

層合板本構(gòu)方程為［11］

式（4）中

A、B、D分別為拉伸、耦合和彎曲剛度矩陣，其元素為［11］

式（6）中

其中sn=sinq，cs=cosq，q為纖維方向角，Q11=E1/（1 -ν12ν21），Q22=E2/（1-ν12ν21），Q66=G12，Q12=ν12E1/（1-ν12ν21），其中E1和E2為主方向彈性模量，ν12和ν21為泊松比。

將式（4）代入式（1），得

式（9）中，沖擊荷載P（t）一般形式為［1］

其中Pm為沖擊荷載峰值，tp為相位持續(xù)時間，α=1.98為修正系數(shù)。

2　求解方法

假設(shè)式（9）的解為

其中Fmn（x，y）是滿足邊界條件的試函數(shù)；M、N為截斷階數(shù)，代入方程（9），得到系統(tǒng)殘差R（x，y，t），使用Galerkin法，得

對四邊簡支層合板，其邊界條件為

3　數(shù)值結(jié)果與討論

考慮兩種材料組成的層合板，第一種材料為玻璃鋼M300，各向同性，E1=9 140 MPa，ν12=0.326，單層厚度為0.01 m。第二種材料為玻璃鋼W600，E1= 21 000 MPa，E2=20 500 MPa，ν12=0.137，G12=2 320 MPa，單層厚度為0.01 m。板長a=1 m，寬b=1 m，總厚度為0.04 m，等效密度ρ=1 680 kg/m3，鋪層方式為（M300/W600）s，鋪層角為（0°/90°）s，共4層。

3.1收斂性驗證

取軸向運動速度νx=200 m/s，沖擊荷載峰Pm= 3.447 MPa，相位持續(xù)時間tp=0.1 s，試函數(shù)［2-4］

取M=1，2，4，8，16，N=1，用Runge-Kutta法對式（12）進行求解，驗證M變化時結(jié)果的收斂性，圖3給出了板在（0.25 a，0.25 b）處的橫向位移的峰值隨M變化的規(guī)律。

圖3　橫向位移的峰值隨M變化的規(guī)律（νx=200 m/s， tp=0.1s， Pm=3.447 MPa）

取M=1，N=1，2，4，8，16，驗證N變化時結(jié)果的收斂性，圖4給出了板在（0.25 a，0.25 b）處的橫向位移的峰值隨M變化的規(guī)律。

圖4　橫向位移的峰值隨M變化的規(guī)律（νx=200 m/s， tp=0.1s， Pm=3.447 MPa）

圖3中M=1時的峰值與M=16時的峰值相差16%，圖4中N=1時的峰值與N=16時的峰值相差0.04%，可認(rèn)為沒有變化，故M可取16，N取1。有理由推出，不考慮速度項，由圖4，可取M=N=1，這與文獻［2-4］M和N的取值相同，故無需驗證M=2時，N= 1，2，4，8，16和其他類似情況的峰值變化規(guī)律。

3.2有限元驗證

將M=16、N=1的結(jié)果與有限元軟件LS-DYNA的結(jié)果進行對比。圖5給出了板在（0.25a，0.25b）處的橫向位移隨時間變化的規(guī)律，可見二者結(jié)果基本一致，說明本方法有效。

3.3軸向速度vx的影響

圖6為軸向速度為νx、2νx、4νx時層合板動力學(xué)響應(yīng)。可見，因陀螺效應(yīng)，產(chǎn)生速度阻尼，所以速度越大，響應(yīng)的幅值越小。

3.4沖擊荷載峰值Pm的影響

圖7為沖擊荷載峰值為Pm、2Pm、Pm時層合板動力學(xué)響應(yīng)。顯而易見，增加峰值使幅值和頻率變大。

圖5　橫向位移的峰值隨M變化的規(guī)律（νx=200 m/s， tp=0.1s， Pm=3.447 MPa）

圖6　軸向運動速度對板橫向位移影響（tp=0.1 s， Pm=3.447 MPa， νx=50 m/s）

圖7　沖擊荷載峰值對板橫向位移的影響（νx=200 m/s， tp=0.1 s， Pm=3.447 MPa）

3.5相位持續(xù)時間tp的影響

圖8為相位持續(xù)時間分別為tp、2tp、4tp時層合板的響應(yīng)?？梢姡辔怀掷m(xù)時間tp越長，沖擊荷載作用的時間越長，從而使幅值越大。

4　結(jié)語

基于單層材料本構(gòu)關(guān)系及大變形理論，得到軸向運動層合板非線性動力學(xué)方程。用Galerkin法得到層合板動力學(xué)響應(yīng)，結(jié)論如下：

因陀螺效應(yīng)，產(chǎn)生速度阻尼，幅值隨著速度增大而增大；沖擊荷載峰值越大，響應(yīng)頻率越大，幅值越大；相位持續(xù)時間tp越長，沖擊荷載作用的時間越長，幅值越大。

圖8　相位持續(xù)時間對板橫向位移的影響（νx=200 m/s， Pm=3.447 MPa， tp=0.005 s）

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Nonlinear Dynamic Response of Laminated Plates with Axial Motion Subjected to Impact Load

YANG Zhang-shi，QINYing，LI Ying-hui

（School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The nonlinear dynamic response of laminated plates with axial motion subjected to impact load is studied.Firstly，based on the constitutive relation of the material of each layer and large deformation theory，the nonlinear dynamical equation of the plates is obtained.Then，the modal equations are gained through Galerkin method and solved by Runge-Kutta method.Finally，the effects of axial motion velocity，the peak reflection pressure，the positive pressure phase duration of the impulse on the nonlinear dynamic response are investigated.

acoustics；impact load；axial motion；laminated plate；geometric nonlinearity

O422.6

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.04.004

1006-1355（2016）04-0021-03+37

2016-01-04

國家自然科學(xué)基金資助項目（11372257）

楊樟世（1990-），男，浙江省湖州市人，碩士研究生，研究方向為動力學(xué)與控制。E-mail:yinghui.li@swjtu.edu.cn