馮曉九　梁立孚

1. 常州大學(xué)環(huán)境與安全工程學(xué)院， 常州213164； 2. 哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院， 哈爾濱 150001；? 通信作者， E-mail: lianglifu@hrbeu.edu.cn

?

Lagrange方程應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)

馮曉九1梁立孚2，?

1. 常州大學(xué)環(huán)境與安全工程學(xué)院， 常州213164； 2. 哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院， 哈爾濱 150001；? 通信作者， E-mail: lianglifu@hrbeu.edu.cn

如何將Lagrange方程應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)， 一直是學(xué)術(shù)界關(guān)注的理論課題。應(yīng)用變導(dǎo)的概念和運(yùn)算法則， 研究Lagrange方程中的求導(dǎo)的性質(zhì)， 進(jìn)而將Lagrange方程應(yīng)用于線性彈性動力學(xué)和非線性彈性動力學(xué)， 并且給出相應(yīng)的算例。結(jié)果表明， 借鑒變積分學(xué)來解決將Lagrange方程應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的問題是可行的。

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)； Lagrange方程； 變導(dǎo)； 線性彈性動力學(xué)； 非線性彈性動力學(xué)

北京大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

1755年Lagrange的著作《Mecanique Analytique》（分析力學(xué)）問世［1］（1788 年首次正式出版）， 力學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)了與牛頓的矢量力學(xué)并駕齊驅(qū)的一個力學(xué)體系。Lagrange 力學(xué)體系的特點是用對能量和功的分析代替對力和力矩的分析。1834 年 Hamilton［2-3］建立了Hamilton原理和正則方程， 進(jìn)一步發(fā)展了分析力學(xué)， 從而形成Lagrange體系和Hamilton體系。

如何將經(jīng)典分析動力學(xué)應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，一直是各國學(xué)者關(guān)注的研究課題。

我國 1958 年出版的第一部分析力學(xué)專著《分析動力學(xué)》［4］， 注意到將分析力學(xué)從質(zhì)點剛體力學(xué)擴(kuò)展到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、從離散系統(tǒng)擴(kuò)展到連續(xù)系統(tǒng)的問題。2015年影印的《Classical Mechanics》［5］仍然研究連續(xù)體分析動力學(xué)。一些學(xué)者成功地將Lagrange方程應(yīng)用于機(jī)構(gòu)動力學(xué)分析［6-9］、振動系統(tǒng)［10］、防護(hù)工程［11］、電器系統(tǒng)和機(jī)電系統(tǒng)［12］等領(lǐng)域， 也有學(xué)者研究如何將Lagrange方程應(yīng)用于非慣性系統(tǒng)［13-15］， 以及彈性力學(xué)的 Lagrange 形式、彈性介質(zhì)的 Lagrange 動力學(xué)和精確 Cosserat 彈性桿動力學(xué)的分析力學(xué)方法［16-18］。另有一些學(xué)者研究完整系統(tǒng)三階 Lagrange 方程、狀態(tài)空間 Lagrange函數(shù)和運(yùn)動方程［19-20］以及關(guān)于 Birkhoff 方程和Lagrange方程分析力學(xué)問題［21］。

在一定的意義上， Lagrange 方程和 Hamilton原理都涉及變分學(xué)， 而Lagrange 作為變分學(xué)的奠基人之一， 研究的就是基于變分學(xué)的基本理論，所以借鑒變分學(xué)或許是一條可行的途徑。Liang等［22］提出變分的逆運(yùn)算變積概念， 建立變積方法，然后應(yīng)用變積方法， 建立一般力學(xué)三類變量的廣義變分原理［23］。劉高聯(lián)先生充分肯定了變積方法的首創(chuàng)性［24］。以上研究使微積分學(xué)中的積分、微分和導(dǎo)數(shù)在變分學(xué)中有了對應(yīng)的概念——變積、變分和變導(dǎo)， 初步地將變分學(xué)擴(kuò)充為變積分學(xué)。

本文基于陳濱［25］關(guān)于 Lagrange 力學(xué)完整的敘述， 應(yīng)用變導(dǎo)的概念和運(yùn)算法則， 研究 Lagrange 方程中求導(dǎo)的性質(zhì)， 逐步將Lagrange方程應(yīng)用于線性彈性動力學(xué)， 進(jìn)而應(yīng)用于非線性彈性動力學(xué)， 并且給出相關(guān)的算例， 對理論研究進(jìn)行驗證。

1　Lagrange方程中的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)

首先， 明確變導(dǎo)的概念。設(shè)有定積分形式的泛函為

邊界條件為

其中， （）yx為自變函數(shù)， x為自變量。對式（1）進(jìn)行變分運(yùn)算可得

應(yīng)用分部積分:

將式（4）代入式（3）， 考慮到邊界條件（式（2））， 整理得

由于δy的任意性， 式（5）可以變換為

在微分學(xué)中， 函數(shù)的微分表示為dy， 自變量的微分表示為dx， 微商表示為又稱導(dǎo)數(shù)。在變分學(xué)中， 泛函的變分表示為δV， 自變函數(shù)的變分表示為δy， 變商表示為， 又稱變導(dǎo)。

經(jīng)典分析動力學(xué)中的Lagrange方程表示為

其中， （）tq=q為廣義坐標(biāo)， 一般分析動力學(xué)中均將其處理為廣義坐標(biāo)列陣:

在變分學(xué)中， 基本上存在三級變量——自變量、可變函數(shù)和泛函。簡單函數(shù)和泛函的區(qū)別在于， 簡單函數(shù)是自變量的函數(shù)， 而泛函是可變函數(shù)的函數(shù)， 獨立自主地變化的可變函數(shù)稱為自變函數(shù)。從不獨立的可變函數(shù)也是自變函數(shù)的函數(shù)的角度看問題， 不獨立的可變函數(shù)也是泛函， 可稱其為子泛函。明確變分學(xué)中的三級變量， 對區(qū)分微積分中的導(dǎo)數(shù)和變積分學(xué)中的變導(dǎo)很有幫助。對自變量求導(dǎo)為微積分中的導(dǎo)數(shù)， 對可變函數(shù)的求導(dǎo)則為變積分中的變導(dǎo)。

Lagrange 已經(jīng)注意到微分符號用d而變分符號用δ， 而且應(yīng)用了符號， 所以變導(dǎo)的概念已經(jīng)隱含在其著作中。例如， 在文獻(xiàn)［1］中， Lagrange 方程表示為

變積分學(xué)中變導(dǎo)與微積分學(xué)中導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則， 有時相同， 有時不同， 在后面研究具體問題時可以明顯地表現(xiàn)出來。

2　Lagrange方程應(yīng)用于線性彈性動力學(xué)

2.1一類變量Lagrange方程應(yīng)用于線性彈性動力學(xué)

線性彈性動力學(xué)的動能表示為

線性彈性動力學(xué)的勢能表示為

其中， a為剛度系數(shù)張量， u為位移矢量， f為體力矢量， T為面力矢量， n為外法向矢量， ▽為Hamilton算子， ρ為質(zhì)量密度， Sσ為力學(xué)邊界面， Su為位移邊界面， V為空間體積域。為彈性體的應(yīng)變能； U2=為外力勢能。

位移邊界條件為Lagrange方程表示為

推導(dǎo)計算Lagrange方程中的各項:

勢能變導(dǎo)項的推導(dǎo)比較復(fù)雜:

由于

應(yīng)用Green定理:

將式（19）和（20）代入式（18）， 則得

將相關(guān)各式代入Lagrange方程， 可得

去掉積分號， 可得彈性動力學(xué)方程:

先決條件為式（13）。

2.2兩類變量Lagrange方程應(yīng)用于線性彈性動力學(xué)

兩類變量 Lagrange方程表示為

彈性動力學(xué)的動能表示為

彈性動力學(xué)的勢能表示為

其中， ε 為應(yīng)變張量， v 為速度適量，1U=為彈性體的應(yīng)變能，2U=為外力勢能。先決條件為

推導(dǎo)計算Lagrange方程中的各項:

勢能變導(dǎo)項的推導(dǎo)比較復(fù)雜:

考慮到

利用剛度系數(shù)張量的對稱性， 則有

應(yīng)用Green定理， 并考慮到式（36）， 可得

將式（38）代入式（37）， 則得

將相關(guān)各式代入Lagrange方程， 可得

去掉積分號， 可得彈性動力學(xué)方程:

先決條件為式（28）， （29）和（30）。

2.3算例

彈性平板是工程結(jié)構(gòu)中的重要構(gòu)件， 亦可以單獨組成一個工程結(jié)構(gòu)。將 Lagrange 方程應(yīng)用于彈性平板的動力學(xué)比較有代表性。這里討論線性彈性平板的動力學(xué)問題。

彈性平板的動能表示為

彈性平板的勢能包括兩部分。第一部分為板的應(yīng)變能:

第二部分為橫向分布載荷的勢能:

總勢能為

設(shè)為四邊簡支矩形板， 位移邊界條件為

力學(xué)邊界條件為

其中， w 為板的撓度， D 為板的抗彎剛度， h 為板的厚度， μ

為泊松比， ρ為質(zhì)量密度， q 為分布載荷。

Lagrange方程表示為

推導(dǎo)計算Lagrange方程中的各項:

勢能的變導(dǎo)項的推導(dǎo)比較復(fù)雜:

由于

應(yīng)用Green定理:

將式（54）～（59）代入式（53）， 考慮到式（47）和（48）， 則

將相關(guān)各式代入Lagrange方程， 可得

去掉積分號， 可得彈性動力學(xué)方程：

位移邊界條件為式（47）， 力學(xué)邊界條件為式（48）， 都是強(qiáng)制邊界條件。當(dāng)然， 也可以將力學(xué)邊界條件處理為自然邊界條件， 這需要通過變導(dǎo)運(yùn)算獲得。

3　Lagrange方程應(yīng)用于非線性彈性動力學(xué)

3.1一類變量Lagrange方程應(yīng)用于非線性彈性動力學(xué)非線性彈性動力學(xué)的動能表示為

非線性彈性動力學(xué)的勢能表示為

位移邊界條件為

Lagrange方程表示為

推導(dǎo)計算Lagrange方程中的各項:

勢能變導(dǎo)項的推導(dǎo)比較復(fù)雜:

由于

應(yīng)用Green定理， 并考慮到式（65）， 可得

將式（71）和（72）代入式（70）， 則得

將相關(guān)各式代入Lagrange方程， 可得

去掉積分號， 可得彈性動力學(xué)方程:

先決條件為式（65）。

3.2兩類變量Lagrange方程應(yīng)用于非線性彈性動力學(xué)

非線性彈性動力學(xué)的動能表示為

非線性彈性動力學(xué)的勢能表示為

其中， E為Green應(yīng)變張量， u為位移矢量， f為體力矢量， T為面力矢量， v為速度矢量， ρ為質(zhì)量密度， （）AE為應(yīng)變能函數(shù)， n為法向矢量， ▽為Hamilton算子， Sσ為力的邊界， Su為位移邊界， V為空間體積域。

Lagrange方程表示為

推導(dǎo)計算Lagrange方程中的各項:

勢能變導(dǎo)項的推導(dǎo)較為復(fù)雜:

考慮到

則有

應(yīng)用Green定理， 并且考慮到

可得

將式（88）和（90）代入式（86）， 則得

將相關(guān)各式代入Lagrange方程， 可得

去掉積分號， 可得彈性動力學(xué)方程:

3.3算例

非線性彈性直梁也是工程結(jié)構(gòu)中的重要構(gòu)件，亦可以單獨組成一個工程結(jié)構(gòu)。將 Lagrange 方程應(yīng)用于非線性彈性直梁的動力學(xué)問題， 也具有一定的代表性。這里討論非線性彈性Bernoulli直梁的動力學(xué)問題。

非線性彈性直梁的動能表示為非線性彈性直梁的勢能包括三部分。第一部分為梁的應(yīng)變能:

第二部分是軸向拉力的勢能， 包括拉伸應(yīng)變能和拉彎耦合勢能:

第三部分為橫向分布載荷的勢能:

總勢能為

其中， w為梁的撓度， u為梁的軸向變形， E為梁的彈性模量， A為梁的橫截面積， I為梁的抗彎截面系數(shù)，ρ 為質(zhì)量密度， q 為分布載荷。

設(shè)為懸臂梁， 位移邊界條件為

Lagrange方程表示為

推導(dǎo)計算Lagrange方程中的各項:

勢能的變導(dǎo)項的推導(dǎo)比較復(fù)雜:

式（108）和（109）可以進(jìn)一步表示為

應(yīng)用Green定理:

將式（112）～（116）代入式（110）和（111）， 根據(jù)邊界條件（式（101））， 并且考慮到在lx=處取定值， 可得

將相關(guān)各式代入Lagrange方程， 可得

去掉積分號， 可得彈性直梁的動力學(xué)方程和自然邊界條件:

式（121）和（122）是域中的控制方程， 式（123）～（125）是力的邊界條件。

［1］ Lagrange J L. Mécanique analytique. Paris: Ve Courcier， 1811

［2］ Hamilton W R. On a general method in dynamics: PartⅠ. Philosophical Transaction of the Royal Society， 1834: 247-308 Ⅱ. Philosophical Transaction of the Royal Society， 1835: 95-144

［3］ Hamilton W R. On ageneral method in dynamics: Part Ⅱ. Philosophical Transaction of the Royal Society， 1835: 95-144

［4］ 汪家訸. 分析動力學(xué).

［5］北京: 高等教育出版社， 1958

［6］ Goldstein H. Classical mechanics. 2nd ed. Reading，MA: Addison-Wesley Publishing， 1980

［7］ 趙俊偉， 李雪鋒， 陳國強(qiáng). 基于Lagrange方法的3-PRS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)分析. 機(jī)械設(shè)計與研究， 2015，31（2）: 1-5

［8］ 林良明， 吳俊. 用 Lagrange 方程描述假手機(jī)構(gòu)動力學(xué)的研究. 中國生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)報， 1989， 8（1）: 1-8

［9］ 王啟明， 汪勁松， 劉辛軍， 等. 二移動自由度并聯(lián)操作臂的動力學(xué)建模. 清華大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版，2002， 42（11）: 1469-1472

［10］ 孫偉， 汪博， 魯明， 等. 基于拉格朗日方程的直線滾動導(dǎo)軌系統(tǒng)解析建模. 計算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2012， 18（4）: 781-786

［11］ 盧長福， 傅鵬， 黃誠， 等. Lagrange方程在振動系統(tǒng)中的應(yīng)用. 江西科學(xué)， 2013， 3（2）: 148-150

［12］ 趙曉兵， 方秦. Lagrange 方程在防護(hù)工程中的應(yīng)用及其相關(guān)的力學(xué)問題. 防護(hù)工程， 2000（2）: 28-32

［13］ 靳希， 魯煒. Lagrange 方程應(yīng)用于電系統(tǒng)和機(jī)電系統(tǒng)運(yùn)動分析. 上海電力學(xué)院學(xué)報， 2003， 19（4）: 1-4

［14］ 顏振玨. 非慣性參照系中的 Lagrange 方程. 黔南民族師范學(xué)院學(xué)報， 2004， 24（6）: 8-11

［15］ 廖旭. 非慣性系中的 Lagrange 方程及其應(yīng)用. 云南大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版， 2004， 26（B07）: 122-124

［16］ 和興鎖， 宋明， 鄧峰巖. 非慣性系下考慮剪切變形的柔性梁的動力學(xué)建模. 物理學(xué)報， 2011， 60（4）: 323-328

［17］ 沈惠川. 彈性力學(xué)的 Lagrange 形式: 用Routh方法建立彈性有限變形問題的基本方程. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報，1998， 18（1）: 78-88

［18］ 方剛， 張斌. 彈性介質(zhì)的 Lagrange 動力學(xué)與地震波方程. 物理學(xué)報， 2013， 62（15）: 248-253

［19］ 薛紜， 翁德瑋， 陳立群. 精確Cosserat彈性桿動力學(xué)的分析力學(xué)方法. 物理學(xué)報， 2013， （4）: 312-318

［20］ 馬善鈞， 徐學(xué)翔， 黃沛天， 等. 完整系統(tǒng)三階Lagrange 方程的一種推導(dǎo)與討論. 物理學(xué)報， 2004，53（11）: 3648-3651

［21］ 丁光濤. 狀態(tài)空間Lagrange函數(shù)和運(yùn)動方程. 中國科學(xué): G輯， 2009， 39（6）: 813-820

［22］ 梅鳳翔. 分析力學(xué)（下卷）. 北京: 北京理工大學(xué)出版社， 2013

［23］ Liang Lifu， Shi Zhifei. On the inverse problem in calculus of variations. Applied Mathematics and Mechanics， 1994， 15（9）: 815-830

［24］ Liang Lifu， Hu Haichang. Generalized variational principle of three kinds of variables in general mechanics. Science in China: Series A， 2001， 44（6）: 770-776

［25］ 梁立孚. 變分原理及其應(yīng)用. 哈爾濱: 哈爾濱工程大學(xué)出版社， 2005

［26］ 陳濱. 分析動力學(xué). 2版. 北京: 北京大學(xué)出版社，2010

Lagrange Equation Applied to Continuum Mechanics

FENG Xiaojiu1， LIANG Lifu2，?
1. School of Environmental and Safety Engineering， Changzhou University， Changzhou 213164； 2. College of Aerospace and Civil Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001； ? Corresponding author， E-mail: lianglifu@hrbeu.edu.cn

How to apply the Lagrange equation to the continuous medium mechanics has been a theoretical issue of academic circles. Using variational derivative concepts and operational rules， the properties of variational derivative in Lagrange equation are studied. The Lagrange equation is applied to linear elastic dynamics and nonlinear elastic dynamics， and some corresponding numerical examples are given. The result shows that it is a feasible way to solve the problem of the application of Lagrange equation to the mechanics of continuous media by using the variational integral calculus.

continuum mechanics； Lagrange equation； variational derivative； linear elastic dynamics； nonlinear elastic dynamics

O313

10.13209/j.0479-8023.2016.076

國家自然科學(xué)基金（10272034）資助

2015-10-23；

2016-04-02； 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-14