岳寶增　閆玉龍

北京理工大學(xué)宇航學(xué)院， 北京100081； ? E-mail: bzyue@bit.edu.cn

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基于能量-Casimir方法的剛-液-柔耦合航天器系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

岳寶增?閆玉龍

北京理工大學(xué)宇航學(xué)院， 北京100081； ? E-mail: bzyue@bit.edu.cn

采用能量-Casimir法對含有柔性附件的充液航天器系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行研究。首先， 將燃料晃動和柔性附件分別簡化為彈簧-質(zhì)量塊模型和剪切梁模型， 建立航天器系統(tǒng)的剛-液-柔耦合模型， 通過分析主剛體、液體燃料和柔性附件各部分的動能和勢能， 推導(dǎo)得到系統(tǒng)的能量-Casimir函數(shù)； 然后， 計算能量-Casimir函數(shù)的一階變分和二階變分， 從而推導(dǎo)出航天器系統(tǒng)的非線性穩(wěn)定條件； 最后， 通過數(shù)值計算， 得到參數(shù)空間中系統(tǒng)的穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域。研究結(jié)果顯示， 航天器剛體的轉(zhuǎn)動慣量、剪切梁的長度、航天器自旋角速度及儲液腔的充液比對航天器的姿態(tài)穩(wěn)定性有較大影響。

航天器動力學(xué)與控制； 非線性穩(wěn)定； 能量-Casimir法； 液體晃動

北京大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

隨著航天事業(yè)的發(fā)展， 現(xiàn)代航天器需要攜帶大量的液體燃料， 并且?guī)в刑柲芊?、天線、機械臂等柔性附件， 多為剛-液-柔耦合系統(tǒng)。相關(guān)研究表明， 由于耦合效應(yīng)的存在， 航天器系統(tǒng)存在著靜止、周期運動、準(zhǔn)周期運動和混沌運動等復(fù)雜的非線性現(xiàn)象， 且在不同的外激勵參數(shù)下， 面內(nèi)/外模態(tài)的穩(wěn)態(tài)動力學(xué)行為會發(fā)生變化［1-2］。

很多學(xué)者對剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的穩(wěn)定性進行了深入研究。Krishnaprasad 等［3］通過 Poisson 流形和簡化方法得到剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的 Poisson 括號， 并采用Poisson 括號及系統(tǒng)的能量函數(shù)得到系統(tǒng)的運動方程， 通過能量-Casimir 法對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析，得到非線性穩(wěn)定性條件?；?Krishnaprasad 等［3］的研究， Posbergh 等［4］對帶有柔性附件剛體的非線性穩(wěn)定性分析進行詳細(xì)推導(dǎo)， 得到系統(tǒng)自旋穩(wěn)定的條件。Kane 等［5］討論帶有柔性附件剛體平動和轉(zhuǎn)動相互耦合的情況， 對由科氏力造成的離心剛化效應(yīng)進行研究， 并對結(jié)果進行數(shù)值仿真。Bloch［6］針對由平面剛體和柔性附件組成的系統(tǒng)， 分別建立存在離心剛化和不存在離心剛化的兩種模型， 并運用能量-動量法對兩種情況的平衡點非線性穩(wěn)定進行分析。

岳寶增等［7］以及 Ahmad 等［8］分別采用能量-Casimir 法對部分充液航天器姿態(tài)運動的穩(wěn)定性進行研究， 通過將液體晃動分別等效為質(zhì)量彈簧模型和球擺模型， 建立充液航天器的力學(xué)模型， 并通過能量-Casimir 法得到耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。楊旦旦等［9］基于 Lyapunov 穩(wěn)定性理論， 研究帶輕質(zhì)懸臂梁附件充液航天器的姿態(tài)機動控制問題， 將晃動液體用黏性力矩球擺模型等效， 利用 Lyapunov 穩(wěn)定性理論得到姿態(tài)機動的穩(wěn)定性判據(jù)， 并通過數(shù)值仿真驗證了控制算法的有效性。

本文基于能量-Casimir 法， 研究含有柔性附件充液航天器系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為簡化起見， 將晃動液體燃料簡化為質(zhì)量-彈簧模型， 僅考慮液體燃料沿本體坐標(biāo)系某一坐標(biāo)軸方向的橫向晃動。設(shè)定航天器的儲液腔為橢球形， 將柔性附件簡化為線性剪切梁。

1　航天器動力學(xué)建模

考慮如圖 1 所示的含有柔性附件和橢球形儲液腔的剛體航天器。

設(shè)慣性坐標(biāo)系原點為儲液腔的幾何中心 O， 航天器剛體部分的質(zhì)量（除燃料和柔性附件之外的質(zhì)量）為Hm， 選擇點 O 為本體坐標(biāo)系原點， 本體坐標(biāo)系沿剛體航天器慣性主軸方向， 其中坐標(biāo)軸的單位向量為， 本體坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系中的角速度為Ω， 剛體航天器關(guān)于本體標(biāo)架慣性矩陣為

液體燃料晃動的簡化力學(xué)模型通過質(zhì)量-彈簧模型描述， 如圖 2 所示?；蝿淤|(zhì)量為在本體坐標(biāo)系中為， 晃動質(zhì)量靜止位置記為

不參與晃動燃料的質(zhì)量為Fm， 在本體坐標(biāo)系為。對任意向量 a=， 定義a的反對稱矩陣S（a）為

未晃動質(zhì)量Fm和航天器的剛體部分Hm的動能分別表示為

根據(jù)式（2）～（4）可得到剛液耦合航天器系統(tǒng)的動能為

下面將柔性附件簡化為線性可伸展的剪切梁模型， 設(shè)定梁在靜止?fàn)顟B(tài)下沿著本體坐標(biāo)系的 e3軸方向， 柔性附件與剛體的連接點在本體坐標(biāo)下為b=（0， 0， b）T。令ρ0為單位長度的剪切梁的質(zhì)量， L為剪切梁的長度， 剪切梁在靜止?fàn)顟B(tài)下點 s∈［0， L］在梁發(fā)生小變形時對應(yīng)的位置為 rb（s）， 動量密度為σ（s）， 令K 為剪切梁彈性系數(shù)的對角陣， 則剪切梁的能量函數(shù)為

剪切梁的邊界方程為

因此， 由式（7）和（8）可以得到耦合航天器系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為

可推出剛-液耦合系統(tǒng)總的角動量及晃動質(zhì)量線動量的表達(dá)式為

因此， 考慮邊界條件， 可得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

2　穩(wěn)定性分析

考慮耦合系統(tǒng)不受到外力和外力矩， 則系統(tǒng)的能量和角動量為守恒量?？赏ㄟ^能量函數(shù)以及定義

Casimir函數(shù)， 運用能量-Casimir法判斷剛-液-柔系統(tǒng)的穩(wěn)定性。令

因此能量函數(shù)和Casimir函數(shù)的和為

下面求函數(shù)H+Ψ 的一階變分。定義

分別表示剛-液系統(tǒng)的能量函數(shù)及剪切梁的動能和勢能函數(shù)。對以上各式進行變分， 則有

表示耦合航天器系統(tǒng)的總角動量， 則 Casimir 函數(shù)Ψ 的一階變分為

根據(jù)式（15）～（17）和（19）可以得到函數(shù) H+Ψ的一階變分:

在平衡點 D（D+Ψ）=0， 下面求二階變分 D2（H +Ψ）。首先考慮能量函數(shù)H的二階變分， 對式（15）進行一階變分， 可得到f1的二階變分:

其中，

類似地， 根據(jù)式（15）和（17）， 并考慮邊界條件， 可得到f2和 f3的二階變分:

設(shè)定K為對角陣， 可采用Pioncare類不等式，對式（23）的下界進行估計:

下面考慮表達(dá)式 Casimir 函數(shù)二階變分， 對應(yīng)的表達(dá)式為， 因此

展開式（26）右端的后兩項， 可得

因此， 式（25）可重新表示為

由式（25）和（28）可得

其中，

展開式（30）中的第一項， 可得

其中， 矩陣的R2的表達(dá)式為

令

其中，

對于式（30）中的第3項， 有

下面對式（33）中第一項進行處理， 合并該項及式（30）中δΩ 的平方項， 得

令

則式（34）可表示為

其中，

類似地， 可對式（33）中第二項和第三項進行處理， 令

類似于式（36）， 有

因此，

式（40）右端前三項顯然為正， 下面考慮右端第四項，可表示為

其中，

設(shè)定λ2

因此，

因此， 式（29）可表示為

根據(jù)表達(dá)式（47）， 可得如下定理。

定理若矩陣 R4和 T2在平衡點是正定的， 則剛-液-柔耦合航天器系統(tǒng)（式（10））是非線性穩(wěn)定的， 其中，

3　耦合系統(tǒng)平凡解和數(shù)值仿真

3.1耦合系統(tǒng)平凡解

下面考慮剛-液-柔耦合航天器系統(tǒng)的平凡解（即系統(tǒng)繞著線性剪切梁的軸向進行旋轉(zhuǎn)）， 設(shè)定該情況下平衡點的形式為， 系統(tǒng)的角速度為表示角速度沿著第三慣性主軸方向。由于梁是未拉伸的， 則有晃動質(zhì)量m的平衡解為對應(yīng)于晃動質(zhì)量塊靜止在平衡位置， 不發(fā)生運動。平衡點位置的角動量為根據(jù)上式可得到′和在平衡點的值為

矩陣T2在平衡點的表達(dá)式為

其中，

考慮矩陣4R在平衡點的形式， 可得到矩陣的各階順序主子式均為零， 因此， 矩陣

為半正定。因此， 若滿足式（51）， 則耦合航天器系統(tǒng)為非線性穩(wěn)定的。式（51）的前兩個條件是系統(tǒng)穩(wěn)定自旋的條件，與僅考慮剛體自旋穩(wěn)定性的條件相比， 由于液體晃動和柔性附件的影響， 對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量需要進行修正。當(dāng)不考慮液體和柔性附件的影響時， 式（51）退化為剛體自旋穩(wěn)定的條件。式（51）的后兩個條件是對系統(tǒng)轉(zhuǎn)速的限制， 表明剛體的角頻率不能超過橫截梁的修正特征頻率。在不考慮液體晃動的情況下， 穩(wěn)定性條件（式（51））與文獻(xiàn)［6］中含有柔性附件的剛體穩(wěn)定性條件一致。

3.2數(shù)值仿真

下面考慮儲液腔內(nèi)液體燃料的變化， 即充液比的改變對耦合系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。航天器剛體的慣系統(tǒng)的角速度為梁的密度為剪切梁的彈性系數(shù)為 kx=ky=kz=84 N/m， 梁的長為L=6.4 m， 半徑為 r=0.02 m， b=1.428 m， 梁的單位長度的質(zhì)量為ρ0=0.3768 kg/m。設(shè)定儲液腔的幾何形狀為球形， 半徑R=0.4135 m， 儲液腔內(nèi)液體燃料最大質(zhì)量 mliquid=300 kg， 儲液腔內(nèi)實際燃料質(zhì)量為mtotal=mslosh+mrest， 其中mslosh， mrest分別表示晃動液體質(zhì)量和靜止液體質(zhì)量。令η=mtotal/mliquid表示儲液腔的充液比（0≤η ≤1）。通過文獻(xiàn)［10-11］可以得到mslosh/mtotal， mrest/mtotal， a1， a2隨充液比的變化， 結(jié)合等效晃動質(zhì)量可得到等效模型彈簧的剛度。圖 5 給出了柔性附件和剛體航天器在參數(shù)不變的情況下，0.1≤η ≤0.9 時穩(wěn)定區(qū)域的分布。從圖 5 可以看出，隨著充液比的增加， 穩(wěn)定性區(qū)域呈現(xiàn)先減小后增加的趨勢。

4　結(jié)論

耦合航天器穩(wěn)定性分析在航天器動力學(xué)與控制研究中起著重要作用。本文針對含有柔性附件的充液航天器系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析。首先， 給出剛-液-柔耦合航天器的力學(xué)模型， 通過分析各個部分的能量函數(shù)， 得到系統(tǒng)的總能量函數(shù)和 Casimir 函數(shù)；接著， 計算能量-Casimir 函數(shù)的一階變分， 得到耦合系統(tǒng)平衡點所滿足的條件， 然后計算能量-Casimir 函數(shù)的二階變分， 得到耦合系統(tǒng)的非線性穩(wěn)定性條件； 最后， 給出繞三軸穩(wěn)定自旋的情況，得到非線性穩(wěn)定性條件， 并通過數(shù)值仿真驗證了相關(guān)結(jié)論。研究結(jié)果顯示， 剛體的轉(zhuǎn)動慣量、剪切梁的長度以及儲液腔的充液比對系統(tǒng)穩(wěn)定性有較大的影響。

［1］ 岳寶增， 楊旦旦， 吳文軍. 微重力環(huán)境下剛液耦合系統(tǒng)液體晃動混沌現(xiàn)象研究. 動力學(xué)與控制學(xué)報，2013， 11（4）: 306-313

［2］ 岳寶增， 宋曉娟. 具有剛-柔-液-控耦合的航天器動力學(xué)研究進展. 力學(xué)進展， 2013， 43（1）: 163-173

［3］ Krishnaprasad P S， Marsden J E. Hamiltonian structures and stability for rigid bodies with flexible attachments. Archive for Rational Mechanics and Analysis， 1987， 98（1）: 71-93

［4］ Posbergh T A， Krishnaprasad P S， Marsden J E. Stability analysis of a rigid body with a flexible attachment using the energy-Casimir method. Contemp Math， 1987， 68: 253-273

［5］ Kane T R， Ryan R， Banerjee A K. Dynamics of a cantilever beam attached to a moving base. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 1987， 10（2）: 139-151

［6］ Bloch A M. Stability analysis of a rotating flexible system. Acta Applicandae Mathematica， 1989， 15（3）: 211-234

［7］ 岳寶增， Ahmad S， 宋曉娟. 充液航天器姿態(tài)穩(wěn)定分析的 Casimir 方法. 中國科學(xué): 物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)，2013， 43（4）: 401-406

［8］ Ahmad S， Yue B Z. Bifurcation and stability analysis of the Hamiltonian Casimir model of liquid sloshing. Chinese Physics Letters， 2012， 29（6）: 060501

［9］ 楊旦旦， 岳寶增. 一類帶柔性附件充液航天器姿態(tài)機動控制. 力學(xué)學(xué)報， 2012， 44（2）: 415-424

［10］ Bauer H F， Eidel W. Liquid oscillations in a prolate spheroidal container. Ingenieur-Archiv， 1989， 59（5）: 371-381

［11］ Dodge F T. The new dynamic behavior of liquids in moving containers ［R］. Hampton， VA: NASA STI/ Recon Technical Report N， 2000

Stability Analysis of Rigid-Liquid-Flexible Coupling Dynamics of Spacecraft Systems by Using the Energy-Casimir Method

YUE Baozeng?， YAN Yulong

School of Aerospace Engineering， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081； ? E-mail: bzyue@bit.edu.cn

The stability of liquid filled spacecraft with flexible appendage was researched by using energy-Casimir method. Liquid sloshing dynamics was simplified by spring-mass model， and flexible appendage was modeled as a linear shearing beam. Rigid-liquid-flexible coupling dynamics of spacecraft was built. The energy function and the Casimir function were derived by analyzing the energy function of a rigid body， liquid sloshing and a flexible appendage. The nonlinear stability condition of coupled spacecraft system was derived by computing the first and second variation of energy-Casimir function. The stable and unstable regions of the parameter space were given in the final section with numerical computation. Related results show that the inertia matrix， the length of shearing beam， the spacecraft spinning rate， and the filled ratio of liquid fuel tank have strong influence on the stability of coupled spacecraft system.

spacecraft dynamic and control； nonlinear stability； energy-Casimir method； liquid sloshing

O31

10.13209/j.0479-8023.2016.095

高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金（20131101110002）和國家自然科學(xué)基金（11472041， 11532002）資助

2016-05-07；

2016-06-12； 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-14