陳新一

(西北民族大學(xué) 中國民族信息技術(shù)研究院,甘肅 蘭州 730030)

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一類具有時(shí)滯和避難所的捕食系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

陳新一

(西北民族大學(xué) 中國民族信息技術(shù)研究院,甘肅 蘭州 730030)

文章研究了一類具有時(shí)滯和避難所的捕食者—被捕食模型的一致持久性和全局穩(wěn)定性. 利用比較原理得到了保證此系統(tǒng)持久性的充分條件,通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)的方法,得到了保證此系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分條件, 所得結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[1,2]的主要結(jié)果.

時(shí)滯; 一致持久性; 全局漸近穩(wěn)定性; 捕食系統(tǒng)

0　引言

捕食系統(tǒng)中的種群在某時(shí)刻的密度會(huì)受到之前一段時(shí)間種群間的種群密度及同種群密度的影響，同時(shí)被捕食種群總是盡力尋找庇護(hù)所來躲避捕食種群. 我們考慮如下具有時(shí)滯和避難所的捕食系統(tǒng).

其中xi(t)(i=1,2,3)表示t時(shí)刻的種群密度;τ1,τ2為非負(fù)常數(shù);p≥0,q≥0是整數(shù);系數(shù)ai(t),bi(t),ci(t),di(t),ei(t),gi(t),Di(t)(i=1,2),f(t),a3(t),t∈[0,+∞]都是連續(xù)有界嚴(yán)格正的函數(shù);hi(t)(i=1,2)是非負(fù)的有界連續(xù)函數(shù).假定系統(tǒng)(1)滿足如下初始條件:

xi(s)=φi(s),φi(s)∈C[-τ,0]≥0,φi(0)>0,(i=1,2);x3(0)>0.

(2)

這里τ=max{τ1,τ2}.

1　正解的存在性與一致持久性

利用文獻(xiàn)(1)相應(yīng)定理的類似證明即可獲得證明.同樣利用文獻(xiàn)(1)的類似方法,我們還可得到如下兩個(gè)定理.

定理2設(shè)x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))是系統(tǒng)(1)的滿足初始條件(2)的任意正解,若系統(tǒng)(1)滿足如下條件(H1)：

則存在正常數(shù)T*(>τi)，使得t>T*時(shí)，有xi(t)≤Mi(i=1,2,3),其中

定理3設(shè)x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))是系統(tǒng)(1)的滿足初始條件(2)的任意正解,若系統(tǒng)(1)滿足條件(H0)和如下條件(H2)：

則存在正常數(shù)T＇(>τi),使得當(dāng)t>T＇時(shí)有xi(t)≥mi(i=1,2,3),其中

取m=min{m1,m2,m3},M=max{M1,M2,M3},則可知緊區(qū)域Γ={(x1(t)x2(t),x3(t))|m≤xi(t)≤M(i=1,2,3)}是系統(tǒng)(1)滿足條件(2)的解的最終有界區(qū)域,從而直接可以得到下面的定理.

定理4若系統(tǒng)(1)滿足條件(H0),(H1)和(H2),則系統(tǒng)(1)是一致持久的.

2　全局漸近穩(wěn)定性

定理5若系統(tǒng)(1)滿足條件(H0),(H1)和(H2)和如下條件(H3)：

則系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的任意正解是全局漸近穩(wěn)定的.

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

由定理的條件可知，存在一個(gè)正常數(shù)η>0，使得

兩端從τ+T到t積分得

(3)

因此有

由此得

故系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的任意正解是全局漸近穩(wěn)定的.定理證畢.

系統(tǒng)(1)中p=q時(shí),系統(tǒng)(1)即為文獻(xiàn)[1]的系統(tǒng)(1),由此可得文獻(xiàn)[1]的主要結(jié)果.p=q=0時(shí)即可得文獻(xiàn)[2]的結(jié)果.

[1] 陳新一.一類具有時(shí)滯和避難所的捕食者—兩共存食餌模型[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2015,30(3):436-442.

[2] 宋愛麗,阿吉木·優(yōu)力達(dá)西.具有時(shí)滯和避難所的捕食者—兩共存食餌模型[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2012,27(2):290-296.

[3] 陳蘭蓀,陳健. 非線性生物動(dòng)力系統(tǒng)[M]. 北京: 科學(xué)出版社,1993.54-90.

[4] 徐瑞,陳蘭蓀.具有時(shí)滯和基于比率的三種群捕食系統(tǒng)的持久性與全局漸近穩(wěn)定性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2001,21(2):204-212.

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2015-12-10

陳新一(1957—)，男，江蘇武進(jìn)人，教授，主要從事微分方程方面的研究.

O175.1

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1009-2102(2016)01-0001-03