黃景濤 邱聯(lián)奎

摘要：在碩士研究生的課堂教學(xué)中，案例教學(xué)起著重要的作用。本文通過總結(jié)在線性動態(tài)系統(tǒng)理論與設(shè)計(jì)課程教學(xué)的改革與實(shí)踐，提煉和設(shè)計(jì)了直線二級倒立擺系統(tǒng)教學(xué)案例，通過系統(tǒng)原理介紹和任務(wù)設(shè)計(jì)，將課程主要內(nèi)容有機(jī)串聯(lián)，為學(xué)生學(xué)習(xí)該門課程提供了一個(gè)直觀形象的實(shí)物載體，結(jié)合案例進(jìn)行課程教學(xué)，改變了該課程理論性強(qiáng)、數(shù)學(xué)味濃帶來的學(xué)生學(xué)習(xí)困難問題，起到了較好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：線性動態(tài)系統(tǒng)；教學(xué)改革；案例教學(xué)；直線二級倒立

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）31-0085-03

一、引言

線性動態(tài)系統(tǒng)理論與設(shè)計(jì)是電氣工程、控制科學(xué)與工程等學(xué)科的專業(yè)基礎(chǔ)課程，包括清華大學(xué)、浙江大學(xué)、斯坦福大學(xué)、麻省理工學(xué)院等國內(nèi)外重點(diǎn)大學(xué)均開設(shè)了類似課程。該課程的研究對象是各種實(shí)際系統(tǒng)抽象出來的、形式上具有統(tǒng)一性的具有線性屬性的一類動態(tài)系統(tǒng)，借助線性代數(shù)和矩陣分析的方法，進(jìn)行系統(tǒng)分析與控制器設(shè)計(jì)方法的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、分析與推理能力，使學(xué)生具備利用數(shù)學(xué)工具對控制系統(tǒng)進(jìn)行理論描述、系統(tǒng)分析和控制器設(shè)計(jì)的綜合能力[1-3]。

該課程作為控制科學(xué)與工程、電氣工程等學(xué)科碩士研究生核心課程之一，以往教學(xué)過程主要注重基礎(chǔ)理論和基本方法的講授，作為分析工具的數(shù)學(xué)在教學(xué)過程中所占比例較大。隨著研究生教育規(guī)模的擴(kuò)大，根據(jù)地方普通高校研究生的現(xiàn)狀，需要在講授基礎(chǔ)理論和基本方法的基礎(chǔ)上，突出相關(guān)理論、方法的工程應(yīng)用背景[4]。

二、教學(xué)案例設(shè)計(jì)

根據(jù)線性動態(tài)系統(tǒng)理論與設(shè)計(jì)課程的特點(diǎn)及在學(xué)科中的基礎(chǔ)性，教學(xué)案例需要在教學(xué)過程中結(jié)合學(xué)生基礎(chǔ)知識及課程基本理論、方法進(jìn)行選擇與設(shè)計(jì)。根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，本課程選擇典型的直線二級倒立擺作為教學(xué)案例。直線二級倒立擺作為典型的機(jī)電一體化抽象模型，是人形機(jī)器人等實(shí)際系統(tǒng)的物理模型。該系統(tǒng)是一個(gè)非線性自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，通過該系統(tǒng)可更直觀地展現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性以及系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度等抽象概念[3]。由于該系統(tǒng)的典型性，已有大量文獻(xiàn)資料可供參考，便于在Matlab/Simulink仿真環(huán)境中分析、驗(yàn)證，結(jié)合實(shí)驗(yàn)室原有的物理實(shí)驗(yàn)裝置，可對線性動態(tài)系統(tǒng)的分析、綜合進(jìn)行實(shí)際實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[5]。

（一）直線二級倒立擺物理模型

直線倒立擺是在直線運(yùn)動模塊上裝有擺體組件，直線運(yùn)動模塊有一個(gè)自由度，小車可以沿導(dǎo)軌水平運(yùn)動，從而保持倒立擺系統(tǒng)的平衡與穩(wěn)定，系統(tǒng)組成如圖1所示。為簡化系統(tǒng)，在建模時(shí)忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。

其中，M為小車質(zhì)量，m1為擺桿1的質(zhì)量，m2為擺桿2的質(zhì)量，m3為質(zhì)量塊的質(zhì)量，l1為擺桿1中心到轉(zhuǎn)動中心的距離，l2為擺桿2中心到轉(zhuǎn)動中心的距離，θ1為擺桿1與豎直方向的夾角，θ2擺桿2與豎直方向的夾角，F(xiàn)為作用在系統(tǒng)上的外力。

三、案例化教學(xué)方式實(shí)踐

結(jié)合實(shí)例在建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型后，可基于該系統(tǒng)模型對系統(tǒng)的能控性、能觀測性等進(jìn)行分析，在課程內(nèi)容的運(yùn)動分析、能控性、能觀測性以及穩(wěn)定性分析相關(guān)的基本理論與方法時(shí)，結(jié)合該系統(tǒng)進(jìn)行講解，使抽象的、數(shù)學(xué)化的理論方法具有明確的物理含義，便于學(xué)生理解與掌握相關(guān)原理、方法。

1.系統(tǒng)開環(huán)仿真。結(jié)合該案例，要求學(xué)生利用Matlab/Simulink仿真環(huán)境建立系統(tǒng)模型，并進(jìn)行相關(guān)算例的編程計(jì)算、系統(tǒng)分析。系統(tǒng)的Matlab/Simulink模型如圖2所示。

其中“State-Space”模塊為直線兩級倒立擺的狀態(tài)方程，雙擊模塊可打開模型進(jìn)行參數(shù)設(shè)定。

建立好系統(tǒng)仿真模型后，對系統(tǒng)進(jìn)行開環(huán)仿真，仿真結(jié)果如圖3所示。從仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)發(fā)散，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，需要對其添加控制器。

2.控制器設(shè)計(jì)與仿真。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，需要針對該系統(tǒng)設(shè)計(jì)閉環(huán)控制器，采取狀態(tài)反饋的形式進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，控制率采用線性二次型最優(yōu)控制（LQR）方法，仿真模型如圖4所示。根據(jù)LQR控制方法的原理，可計(jì)算出控制器狀態(tài)反饋矩陣的參數(shù)為K=[1 73.818 -83.941 2.0162 4.2791 -13.036]，仿真結(jié)果如圖5所示。

由圖5可見，系統(tǒng)雖然可以穩(wěn)定，但系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間過長，根據(jù)LQR的基本原理，可知要增加系統(tǒng)響應(yīng)速度，需增加權(quán)重Q的值。

設(shè)Q11=300，Q22=500，Q33=500，對應(yīng)的LQR控制器參數(shù)為K=[17.321 110.87 -197.57 18.468 2.7061 -32.142]，仿真結(jié)果如圖6所示。

由圖6可以看出，系統(tǒng)可以很好的穩(wěn)定，在給定倒立擺干擾后，系統(tǒng)在2.5秒內(nèi)可以恢復(fù)到平衡點(diǎn)附近。通過對參數(shù)的重新設(shè)置，觀察仿真結(jié)果，進(jìn)而加深對相應(yīng)控制方法的理解和掌握。

3.實(shí)時(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。根據(jù)上述仿真結(jié)果，選取具有較好響應(yīng)的控制器參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)，對比驗(yàn)證控制方法在實(shí)際系統(tǒng)上的控制效果，由于實(shí)際系統(tǒng)存在干擾信號、檢測信號噪聲、機(jī)械摩擦等實(shí)際情況，一般而言，實(shí)物系統(tǒng)上的控制效果與仿真結(jié)果會有一定差異。

實(shí)物實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證在實(shí)驗(yàn)室的直線二級倒立擺平臺上進(jìn)行，控制算法仍可基于Matlab/Simulink進(jìn)行。實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)如圖7所示。

四、結(jié)論

案例化教學(xué)方式的實(shí)施，除了教學(xué)案例的引入、課程教學(xué)組織的變化，學(xué)生的深度參與對于教學(xué)效果更為重要，在教學(xué)過程中要求學(xué)生在仿真環(huán)境中自行建立系統(tǒng)模型，對系統(tǒng)性質(zhì)進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上，嘗試設(shè)計(jì)控制器，可覆蓋課程大部分內(nèi)容，通過案例將各知識模塊和方法有機(jī)聯(lián)系在一起，使學(xué)生進(jìn)一步明確課程內(nèi)容對于實(shí)際系統(tǒng)的作用，一方面可提升學(xué)生學(xué)習(xí)的目的性、積極性，同時(shí)訓(xùn)練了學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭大鐘.線性系統(tǒng)理論[M].第2版.北京：清華大學(xué)出版社，2002.

[2]Chi-Tsong Chen. Linear system theory and design，3rd edition. New York：Oxford University Press，1999.

[3]王曉蘭，李恒杰.“線性系統(tǒng)理論”課程教學(xué)案例的設(shè)計(jì)[J].電子電氣教學(xué)學(xué)報(bào)，2013，35（2）：21-23.

[4]齊曉慧，王永川，董海瑞.研究生“線性系統(tǒng)理論”課程教學(xué)改革與實(shí)踐[J].中國電力教育，2010，（32）：82-84.

[5]高榮，劉曉華.線性系統(tǒng)理論教學(xué)改革探討與實(shí)踐[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2008，（30）：85.